山西省 數(shù)學 第一章 數(shù)與式 因式分解 1 因式分解 把一個多項式化成幾個 _積的形式叫做分解因式 ， 也叫做 因式分解 ， 因式分解與 _是互逆變形 2 基本方法 (1)提取公因式法： ma mb mc _ (2)公式法： 運用平方差公式： a2 b2 _； 運用完全平方公式： a2 2ab b2 _； (3)x2 (p q)x pq (x p)(x q) 整式 整式乘法 m(a b c) (a b)(a b) (a b)2 3 因式分解的一般步驟 ( 1 ) 如果多項式的各項有公因式 ， 那么必須先提取公因式； ( 2 ) 如果各項沒有公因式 ， 那么盡可能嘗試用公式法來分解； ( 3 ) 分解因式必須分解到不能再分解為止 ， 每個因式的內部不 再有括號 ， 且同類項合并完畢 ， 若有相同因式寫成冪的形式； ( 4 ) 注意因式分解中的范圍 ， 如 x 4 4 ( x 2 2 )( x 2 2 ) ， 在實 數(shù)范圍內分解因式 ， x 4 4 ( x 2 2 )( x 2 )( x 2 ) ， 題目不作說 明的 ， 表明是在有理數(shù)范圍內因式分解 1 公因式確定的步驟： (1)看系數(shù)：取各 項 整數(shù)系數(shù)的最大公 約 數(shù) (2)看字母：取各 項 相同的字母 (3)看指數(shù)：取各 項 相同字母的最低次 冪 如：分解因式 6xy2 2xy， 第一步取系數(shù) 為 6和 2的最大公 約 數(shù) 2 ， 第二步取相同字母 為 xy， 第三步取 xy的最低次 冪為 1， 故公因 式 為 2xy. 2 因式分解的思考步驟 (1)提取公因式； (2)看有幾 項 ：如果 為 二 項時 ， 考 慮 使用平方差公式；如果 為 三 項時 ， 考 慮 使用完全平方公式； (3)檢查 是否分解 徹 底 在分解出的每個因式化 簡 整理后 ， 把它 作 為 一個新的多 項 式 ， 再重復以上 過 程 進 行思考 ， 試 探分解的可 能性 ， 直至不可能分解 為 止 以上步 驟 可以概括 為 “ 一提二套三 查 ” 3 變形技巧 ( 1 ) 當 n 為 奇數(shù) 時 ， (a b) n (b a) n ； 當 n 為 偶數(shù) 時 ， (a b) n (b a) n . ( 2 ) a 2 b 2 c 2 ab bc ac 1 2 (a b) 2 (b c) 2 (a c) 2 2m(m 5) 分解因式： 1 (2014沈陽 )2m2 10m _ 2 (2015沈陽 )ma2 mb2 _ 3 (2015錦州 )m2n 2mn n _ 4 (2015葫蘆島 )4m2 9n2 _ 5 (2015本溪 )9a3 ab2 _ 6 (2015丹東 )3x2 12x 12 _ 7 (2015營口 ) a2c b2c _ 8 (2015撫順 )ab3 ab _ 9 (2014本溪 )a3 4a _ 10 (2014丹東 )x3 4x2y 4xy2 _ m(a b)(a b) n(m 1)2 (2m 3n)(2m 3n) a(3a b)(3a b) 3(x 2)2 c(a b)(a b) ab(b 1)(b 1) a(a 2)(a 2) x(x 2y)2 因式分解的意義 【 例 1】 (鐵嶺模擬 )下列式子從左到右變形是因式分解的是 ( B ) A a2 4a 21 a(a 4) 21 B a2 4a 21 (a 3)(a 7) C (a 3)(a 7) a2 4a 21 D a2 4a 21 (a 2)2 25 【 點評 】 因式分解是將一個多 項 式化成幾個整式 積 的形式的 恒等 變 形 ， 若 結 果不是 積 的形式 ， 則 不是因式分解 ， 還 要注意分 解要 徹 底 D 對應訓練 1 下列等式從左到右的變形 ， 屬于因式分解的是 ( ) A a(x y) ax ay B x2 2x 1 x(x 2) 1 C (x 1)(x 3) x2 4x 3 D x3 x x(x 1)(x 1) 提取公因式法分解因式 【 例 2】 閱讀下列文字與例題： 將一個多項式分組后 ， 可提取公因式或運用公式繼續(xù)分解的方法是分 組分解法 例如： (1)am an bm bn (am bm) (an bn) m(a b) n(a b) (a b)(m n)； (2)x2 y2 2y 1 x2 (y2 2y 1) x2 (y 1)2 (x y 1)(x y 1) 試用上述方法分解因式： a2 2ab ac bc b2 _(a b)(a b c)_ 【 點評 】 (1)首 項 系數(shù) 為負 數(shù) 時 ， 一般公因式的系數(shù)取 負 數(shù) ， 使括號內 首 項 系數(shù) 為 正； (2)當某 項 正好是公因 式 時 ， 提取公因式后 ，該項應為 1 ， 不可漏掉； (3)公因式也可以是多 項 式 A 對應訓練 2 (1)(2015臨沂 )多項式 mx2 m與多項式 x2 2x 1的公因式 是 ( ) A x 1 B x 1 C x2 1 D (x 1)2 (2)把多項式 (m 1)(m 1) (m 1)提取公因式 (m 1)后 ， 余下 的部分是 ( ) A m 1 B 2m C 2 D m 2 (3)(營口模擬 )分解因式： (x y)2 3(x y) 解： (x y)2 3(x y) (x y)(x y 3) D 運用公式法分解因式 【 例 3】 (1) (2015哈爾濱 )把多項式 9a3 ab2因式分解的結果是 _a(3a b)(3a b)_； (2015巴中 )分解因式： 2a2 4a 2 _2(a 1)2_ (2)分解因式： (遼陽模擬 )x2(x 2) 16(x 2) _(x 2)(x 4)(x 4)_； (營口模擬 )x3y 2x2y xy _xy(x 1)2_ 【 點評 】 (1)用平方差公式分解因式 ， 其關 鍵 是將多 項 式 轉 化 為 a2 b2的形式 ， 需注意 對 所 給 多 項 式要善于 觀 察 ， 并作適當 變 形 ， 使之符合 平方差公式的特點 ， 公式中的 “ a”“b”也可以是多 項 式 ， 可將 這 個多 項 式看作一個整體 ， 分解后注意合并同 類項 ； (2)用完全平方公式分解因式 時 ， 其關 鍵 是掌握公式的特征 對應訓練 3 分解因式： (1)(盤錦模擬 )9x2 1； (2)25(x y)2 9(x y)2； (3)(2015南京 )(a b)(a 4b) ab； (4)2x3 4x2 2x. 解： (1)9x2 1 (3x 1)(3x 1) (2)25(x y)2 9(x y)2 5(x y) 3(x y)5(x y) 3(x y) (8x 2y)(2x 8y) 4(4x y)(x 4y) (3)(a b)(a 4b) ab a2 5ab 4b2 ab a2 4ab 4b2 (a 2b)2 (4) 2x3 4x2 2x 2x(x2 2x 1) 2x(x 1)2 綜合運用多種方法分解因式 【例 4 】 給出三個多項式： 1 2 x 2 x 1 ， 1 2 x 2 3x 1 ， 1 2 x 2 x ， 請你選擇其中兩個進行加法運算 ， 并把結果分解因式 解： ( 1 2 x 2 x 1) ( 1 2 x 2 3x 1) x 2 4x x (x 4 ) ； ( 1 2 x 2 x 1) ( 1 2 x 2 x) x 2 1 (x 1 ) ( x 1 ) ； ( 1 2 x 2 3x 1) ( 1 2 x 2 x) x 2 2x 1 (x 1) 2 【點評】 靈活運用多種方法分解因式 ， 其一般 順 序是：首先提取公因式 ， 然后再考 慮 用公式 ， 最后 結 果 一定要分解到不能再分解 為 止 對應訓練 4 ( 1 ) ( 沈陽模擬 ) 分解因式： 9b x 2 y by 3 _ _ _ _ _ _ ； ( 2) ( 201 5 黃岡 ) 分解因式： x 3 2x 2 x _ _ _ _ _ ； ( 3) ( 錦州模擬 ) 分解因式： (x 2) ( x 4) x 2 4 ； 解： (x 2) ( x 4) x 2 4 (x 2 ) ( x 4) (x 2) ( x 2 ) ( x 2 )(x 4 x 2) (x 2 ) ( 2x 2) 2 ( x 2 )(x 1) ( 4) 在實數(shù)范圍內分解因式： m 4 9 ； 解： m 4 9 (m 2 3 ) ( m 2 3) (m 2 3 ) ( m 3 )(m 3 ) ( 5) 分解因式： a 2 2 ab b 2 1. 解： a 2 2 ab b 2 1 (a b) 2 1 (a b 1) ( a b 1 ) x(x 1)2 by(3x y)(3x y) 因式分解的應用 【 例 5】 (1)(大連模擬 )計算： 852 152 ( D ) A 70 B 700 C 4900 D 7000 (2)已知 a2 b2 6a 10b 34 0， 求 a b的值 解： a2 b2 6a 10b 34 0， a2 6a 9 b2 10b 25 0， 即 (a 3)2 (b 5)2 0， a 3 0且 b 5 0， a 3， b 5， a b 3 5 2 【 點評 】 (1)利用因式分解 ， 將多 項 式分解之后整體代入求 值 ； (2)一個 問題 有兩個未知數(shù) ， 只有一個條件 ， 根據(jù)已知式右 邊 等 于 0， 若將左 邊轉 化成兩個完全平方式的和 ， 而它 們 都是非 負 數(shù) ， 要使和 為 0， 則 每個完全平方式都等于 0， 從而使 問題 得以求解 對應訓練 5 ( 1 ) ( 2015 大連 ) 若 a 49 ， b 1 0 9 ， 則 ab 9a 的值為 _ _ _ ( 2 ) 已知 a 2015x 2 0 1 6 ， b 2 0 1 5 x 2 0 1 7 ， c 2 0 1 5 x 2 0 1 8 ， 則多項式 a 2 b 2 c 2 ab bc ac 的值為 ( ) A 0 B 1 C 2 D 3 解析： a 2 b 2 c 2 ab bc ac 1 2 (a b) 2 1 2 (a c) 2 1 2 (b c) 2 1 2 ( 1) 2 1 2 ( 2) 2 1 2 ( 1) 2 3 4900 D ( 3 ) ( 鐵嶺模擬 ) 已知 x y 3 ， 求代數(shù)式 (x 1) 2 2x y (y 2 x ) 的值 解：原式 x 2 2 x y y 2 1 (x y) 2 1 ， 把 x y 3 代 入 ， 原式 3 1 4 3.分解因式不熟練致誤 ) 試題 分解因式： (1)20m3n 15m2n2 5m2n； (2)4x2 16y2； (3)m(a b) n(b a)； (4) 3x2 18x 27. 錯解 (1)20m3n 15m2n2 5m2n 5m2n(4m 3n)； (2)4x2 16y2 (2x 4y)(2x 4y)； (3)m(a b) n(b a) (a b)(m n)； (4) 3x2 18x 27 3(x2 6x 9) 剖析 學 習 因式分解 ， 若 對 分解因式的方法不熟 練 ， 理解不透 徹 ， 可能會出 現(xiàn) 各種各 樣 的 錯誤 因式分解提取公因式后 ， 括號 內的 項 一定要與原來的 項 數(shù)一 樣 多 ， 錯 解主要是 對 分配律理解不 深或粗心大意造成的 ， 提取公因式 還 有符號方面的 錯誤 ；分解因 式 時 ，應 先 觀 察是否有公因式可提 ， 公因式包括系數(shù) ，錯 解忽 視 提取系數(shù)的最大公 約 數(shù)；分解因式 還 要使分解后的每個因式都不 能再分解 正解 (1)20m3n 15m2n2 5m2n 5m2n(4m 3n 1) (2)4x2 16y2 4(x 2y)(x 2y) (3)m(a b) n(b a) m(a b) n(a b) (a b)(m n) (4) 3x2 18x 27 3(x2 6x 9) 3(x 3)2