數(shù)學(xué) 不等式 (組 )及其應(yīng)用 第二章 方程與不等式 1 定義 (1)用 連接起來的式子叫做不等式； (2)使不等式成立的未知數(shù)的值叫做 ； (3)一個(gè)含有未知數(shù)的不等式的解的全體 ， 叫做 ； (4)求不等式的解集的過程或證明不等式無解的過程 ， 叫做解不等式 不等號(hào) 不等式的解 不等式的解集 2 不等式的基本性質(zhì) 性 質(zhì) 1 若 a b ， 則 a c b c 性 質(zhì) 2 若 a b ， c 0 ， 則 ac bc 或 a c b c 性 質(zhì) 3 若 a b ， c 0 ， 則 ac bc 或 a c b c 3 解一元一次不等式的步驟及程序 除了 “ 不等式兩邊都乘或除以一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí) ， 不等號(hào)的方向改變 ” 這個(gè)要求之外 ， 與解一元一次方程類似 4 列不等式解應(yīng)用題的一般步驟 (1)審題； (2)設(shè)元； (3)找出能夠包含未知數(shù)的不等量關(guān)系； (4)列 出不等式； (5)解不等式； (6)檢驗(yàn)并寫出答案 5 解不等式組 一般先分別求出不等式組中各個(gè)不等式的解集并表示在數(shù)軸上 ， 再求出它們的公共部分 ， 就得到不等式組的解集 6 一元一次不等式組的解集表示 類 型 ( a b ) 解集 在數(shù) 軸 上 的表 示 口 訣 x a x b x a 同大取大 x a x b x b 同小取小 x a x b b x a 大小小大中 間夾 x a x b 無解 大大小小取不了 1 “ 解與解集 ” 的聯(lián)系與區(qū)別 不等式的解是指使不等式成立的每一個(gè)數(shù) ， 而不等式的解集是 指由全體不等式的解 組 成的一個(gè)集合 因此 ， 不等式的解可以是 一個(gè)或多個(gè) 值 ， 而不等式的解集 應(yīng) 包含 滿 足不等式的所有解 不等式的解與不等式的解集的區(qū) 別 ：解集是能使不等式成立的 未知數(shù)的取 值 范 圍 ， 是所有解的集合 ， 而不等式的解 則 是使不等 式成立的未知數(shù)的 值 ， 二者的關(guān)系是：解集包括解 ， 所有的解 組 成了解集 2 在數(shù) 軸 上表示解集 時(shí) ， 大于號(hào)向右 ， 小于號(hào)向左 ， 有等號(hào)的 用 實(shí) 心 圓 點(diǎn) ， 無等號(hào)的用空心 圓 圈 3 利用列不等式解決 實(shí)際問題 ， 其關(guān) 鍵 是根據(jù) 題 中的 “ 超 過 ”“ 不足 ”“ 大于 ”“ 小于 ”“ 不低于 ”“ 不少于 ” 等反映數(shù)量 關(guān)系的 詞語 (特 別 要注意理解好生活和生 產(chǎn)實(shí)際 中 “ 不超 過 ”“ 至 少 ” 的含 義 ， 這 兩者 轉(zhuǎn) 化 為 相 應(yīng) 的不等號(hào) 應(yīng) 分 別 是 “ ” 和 “ ” ) ， 列出不等式 ， 迎刃而解 1 (2015懷化 )下列不等式變形正確的是 ( ) A 由 a b得 ac bc B由 a b得 2a 2b C 由 a b得 a b D由 a b得 a 2 b 2 2 (2015桂林 )下列數(shù)值中不是不等式 5x2x 9的解的是 ( ) A 5 B 4 C 3 D 2 C D 3 ( 2015 麗水 ) 如圖 ， 數(shù)軸上所表示關(guān)于 x 的不等式組的解集是 ( ) A x 2 B x 2 C x 1 D 1 x 2 4 ( 2015 臨沂 ) 不等式組 2x 6 ， x 2 0 的解集 ， 在數(shù)軸上表示正確的是 ( ) , A) , B) , C) , D) A C 5 (2015東營 )東營市出租車的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：起步價(jià) 8元 (即行駛 距離不超過 3千米都需付 8元車費(fèi) )， 超過 3千米以后 ， 每增加 1千米 ， 加收 1.5元 (不足 1千米按 1千米計(jì) )某人從甲地到乙地經(jīng)過的路 程是 x千米 ， 出租車費(fèi)為 15.5元 ， 那么 x的最大值是 ( ) A 11 B 8 C 7 D 5 B 【 例 1】 (2015樂山 )下列說法不一定成立的是 ( ) A 若 a b， 則 a c b c B若 a c b c， 則 a b C 若 a b， 則 ac2 bc2 D若 ac2 bc2， 則 a b 【 點(diǎn)評(píng) 】 “ 0”是很特殊的一個(gè)數(shù) ， 因此 ， 解答不等式的 問 題時(shí) ， 應(yīng) 密切關(guān)注 “ 0”存在與否 ， 以防掉 進(jìn) “ 0”的陷阱不等 式的基本性 質(zhì) ： (1)不等式兩 邊 加 (或減 )同一個(gè)數(shù) (或式子 )， 不等號(hào)的方向不 變 (2)不等式兩 邊 乘 (或除以 )同一個(gè)正數(shù) ， 不等號(hào)的方向不 變 (3)不等式兩 邊 乘 (或除以 )同一個(gè) 負(fù) 數(shù) ， 不等號(hào)的方向改 變 C 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 1 ( 1) ( 2015 南充 ) 若 m n ， 下列不等式不一定成立的是 ( ) A m 2 n 2 B 2 m 2 n C. m 2 n 2 D m 2 n 2 (2) ( 2015 黃石 ) 當(dāng) 1 x 2 時(shí) ， ax 2 0 ， 則 a 的取值范圍是 ( ) A a 1 B a 2 C a 0 D a 1 且 a 0 D A 【例 2 】 ( 2015 南京 ) 解不等式 2( x 1) 1 3x 2 ， 并把它的解集在 數(shù)軸上表示出來 解：去括號(hào) ， 得 2x 2 13x 2， 移項(xiàng) ， 得 2x 3x2 2 1， 合 并同類項(xiàng) ， 得 x1， 系數(shù)化為 1， 得 x 1， 這個(gè)不等式的解集在 數(shù)軸上表示為： 【 點(diǎn)評(píng) 】 整個(gè)解一元一次不等式的 過 程與解一元一次方程極 為 相 似 ， 只是最后一步把系數(shù)化 為 1時(shí) ， 需要看清未知數(shù)的系數(shù)是正數(shù) 還 是 負(fù) 數(shù) 如果是正數(shù) ， 不等號(hào)方向不 變 ；如果是 負(fù) 數(shù) ， 不等號(hào)方 向改 變 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 2 ( 1) ( 2015 銅仁 ) 不等式 5x 3 3x 5 的最大整數(shù)解是 _ (2) ( 2015 巴中 ) 解不等式： 2x 1 3 3x 2 4 1 ， 并把解集表示在數(shù)軸上 3 解：去分母得 ， 4(2x 1)3(3x 2) 12， 去括號(hào)得 ， 8x 49x 6 12， 移項(xiàng)得 ， 8x 9x6 12 4， 合并同類項(xiàng)得 ， x 2， 把 x的系數(shù)化為 1得 ， x2.在數(shù)軸上表示為： 【例 3 】 ( 2015 揚(yáng)州 ) 解不等式組 3x 4x 1 ， 5x 1 2 x 2 ， 并把它的解集在數(shù)軸上 表示出來 解： 3x 4x 1 ， 5x 1 2 x 2 ， 由 得： x 1 ；由 得： x 1 ， 不等式組 的解集為 1 x 1 ， 【 點(diǎn)評(píng) 】 求不等式 組 的解集 ， 不管 組 成 這 個(gè)不等式 組 的不 等式有幾個(gè) ， 都要先分 別 求解每一個(gè)不等式 ， 再利用口 訣 或利用 數(shù) 軸 求出它 們 的公共解集 ， 還 要確定其中的特殊解 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 3 ( 1) ( 2015 巴彥 淖爾 ) 不等式組 2x 3 4x 1 ， 1 3 （ x 3 ） 2 ， 的解集在數(shù)軸上表示 正確的是 ( ) , A) , B) , C) , D ) (2) ( 2015 綏化 ) 關(guān)于 x 的不等式組 x a ， x 1 ， 的解集為 x 1 ， 則 a 的取值 范圍是 ( ) A a 1 B a 1 C a 1 D a 1 D D (3) ( 2015 廣安 ) 不等 式組 3x 4 0 ， 1 2 x 24 1 ， 的所有整數(shù)解的積為 _ _ (4) ( 2015 上海 ) 解不等式組： 4x 2x 6 ， x 1 3 x 1 9 ， 并把解集在數(shù)軸上表示出 來 0 解： 4x 2x 6 ， x 1 3 x 1 9 ， 解不等式 得： x 3 ， 解不等式 得： x 2 ， 不等式組的解集為 3 x 2 ， 在數(shù)軸上表示不等式組的解集為： 【例 4 】 ( 2015 株洲 ) 為了舉行班級(jí)晚會(huì) ， 孔明準(zhǔn)備去商店購買 20 個(gè) 乒乓球做道具 ， 并買一些乒乓球拍做獎(jiǎng)品已知乒乓球每個(gè) 1.5 元 ， 球拍每 個(gè) 22 元如果購買金額不超過 200 元 ， 且買的球拍盡可能多 ， 那么孔明應(yīng) 該買多少個(gè)球拍？ 解：設(shè)購買球拍 x 個(gè) ， 依題意得： 1.5 20 22x 200 ， 解之得： x 7 8 11 ， 由于 x 取整數(shù) ， 故 x 的最大值為 7 ， 答：孔明應(yīng)該買 7 個(gè)球拍 【 點(diǎn)評(píng) 】 利用列不等式解決 實(shí)際問題 ， 其關(guān) 鍵 是根據(jù) 題 中的 “ 超 過 ”“ 不足 ”“ 大于 ”“ 小于 ”“ 不低于 ”“ 不少于 ” 等反 映數(shù)量關(guān)系的 詞語 ， 列出不等式或不等式 組 ， 問題 便迎刃 而解 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 4 ( 1) 小宏準(zhǔn)備用 50 元錢買甲、乙兩種飲料共 10 瓶 ， 已知甲飲料每瓶 7 元 ， 乙飲料每瓶 4 元 ， 則小宏最多能買 _ _ 瓶甲飲料 (2) ( 2015 益陽 ) 大學(xué)生小劉回鄉(xiāng)創(chuàng)辦小微企業(yè) ， 初期購得原材料若干噸 ， 每 天生產(chǎn)相同件數(shù)的某種產(chǎn)品 ， 單件產(chǎn)品所耗費(fèi)的原材料相同 當(dāng)生產(chǎn) 6 天后剩 余原材料 36 噸 ， 當(dāng)生產(chǎn) 10 天后剩余原材料 30 噸若剩余原材料數(shù)量小于或 等于 3 噸 ， 則需補(bǔ)充原材料以保證正常生產(chǎn) 求初期購得的原材料噸數(shù)與每天所耗費(fèi)的原材料噸數(shù)； 若生產(chǎn) 16 天后 ， 根據(jù)市場需求每天產(chǎn)量提高 20 % ， 則最多再生產(chǎn)多少 天后必須補(bǔ)充原材料？ 3 解： 設(shè)初期購得原材料 a 噸 ， 每天所耗 費(fèi)的原材料為 b 噸 ， 根據(jù)題意得： a 6b 36 ， a 10b 3 0. 解得 a 45 ， b 1.5. 答：初期購得原材料 45 噸 ， 每天所耗費(fèi)的原材料為 1. 5 噸 設(shè)再生產(chǎn) x 天后必須補(bǔ)充原材料 ， 依題意得： 45 16 1.5 1.5 ( 1 20 % ) x 3 ， 解得： x 1 0. 答：最多再生產(chǎn) 10 天后必須補(bǔ)充原材料 試題 已知關(guān)于 x 的不等式組 x a 0 ， 3 2x 1 的整數(shù)解共有 5 個(gè) ， 求 a 的取 值范圍 錯(cuò)解 解：由不等式組 x a 0 ， 3 2x 1 ， 得 x a ， x 2. 又因?yàn)椴坏仁浇M有 5 個(gè)整數(shù)解 ， 所以 a x 2 ， 這 5 個(gè)整數(shù)解應(yīng)是 3 ， 2 ， 1 ， 0 ， 1 ， 所以 a 3. 剖析 本 題 主要考 查 學(xué)生是否會(huì)利用逆向思 維 法解決含有待定字母的一元一 次不等式 組 的特解 ， 此例 錯(cuò) 在忽 視 了在 a x 2 中有 5 個(gè)整數(shù)解 時(shí) ， a 雖 不 唯一 ， 但也有一定限制 ， a 的取 值 范 圍 在 3 與 4 之 間 的任一 處 ， 其中包括 3 但不包括 4 ， 所以在確定 a 的取 值 范 圍時(shí)擴(kuò) 大了解的范 圍 正解 由 x a 0 ， 3 2x 1 ， 得 x a ， x 2 ， 不等式組有 5 個(gè)整數(shù)解 ， a x 2 ， 則 知這 5 個(gè)整數(shù)解應(yīng)是 3 ， 2 ， 1 ， 0 ， 1 ， a 的取值范圍是 4 a 3