數(shù)學(xué) 特殊三角形 第五章 圖形的性質(zhì) (一 ) 1 計(jì) 算有關(guān) 線(xiàn) 段 長(zhǎng)問(wèn)題 ， 如果所求 線(xiàn) 段是在直角三角形中 ， 一 般 應(yīng) 用勾股定理求解 ， 即直角三角形斜 邊 的平方等于兩直角 邊 的 平方之和 2 有關(guān)等腰三角形的 問(wèn)題 ， 若條件中沒(méi)有明確底和腰 時(shí) ， 一般 應(yīng) 從某一 邊 是底 還 是腰 這 兩個(gè)方面 進(jìn) 行 討論 ， 還 要特 別 注意構(gòu)成 三角形的條件；同 時(shí) ， 在底角沒(méi)有被指定的等腰三角形中 ， 應(yīng) 就 某角是 頂 角 還 是底角 進(jìn) 行 討論 注意運(yùn)用分 類(lèi)討論 的方法 ， 將 問(wèn) 題 考 慮 全面 ， 不能想當(dāng)然 3 面 積 法：用面 積 法 證題 是常用的技巧方法之一 ， 使用 這 種方 法 時(shí) 一般是利用某個(gè) 圖 形的多種面 積 求法或面 積 之 間 的和差關(guān) 系 列出等式 ， 從而得到要 證 明的 結(jié)論 4 在涉及折疊的相關(guān) 問(wèn)題 中 ， 若原 圖 形中含有直角或折疊后 產(chǎn) 生直角 ， 常常把所求的量與已知條件利用折疊的性 質(zhì) ， 借助等量 代 換轉(zhuǎn) 化到一個(gè)直角三角形中 ， 利用勾股定理建立方程求解 1 ( 2015 鹽城 ) 若一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是 2 和 5 ， 則它的周長(zhǎng)為 ( ) A 12 B 9 C 12 或 9 D 9 或 7 2 ( 2015 廣西 ) 如圖 ， 在 ABC 中 ， AB AC ， B AC 100 ， AB 的 垂直平分線(xiàn) DE 分別交 AB ， BC 于點(diǎn) D ， E ， 則 B A E ( ) A 80 B 60 C 50 D 40 A D 3 ( 2015 廣西 ) 下列各組線(xiàn)段中 ， 能夠組成直角三角形的一組是 ( ) A 1 ， 2 ， 3 B 2 ， 3 ， 4 C 4 ， 5 ， 6 D 1 ， 2 ， 3 4 ( 20 15 青島 ) 如圖 ， 在 A BC 中 ， C 90 ， B 30 ， AD 是 ABC 的角平分線(xiàn) ， DE AB ， 垂足為點(diǎn) E ， DE 1 ， 則 BC ( ) A. 3 B 2 C 3 D. 3 2 D C 5 (2015陜西 )如圖 ， 在 ABC中 ， A 36 ， AB AC， BD 是 ABC的角平分線(xiàn)若在邊 AB上截取 BE BC， 連接 DE， 則圖 中等腰三角形共有 ( ) A 2個(gè) B 3個(gè) C 4個(gè) D 5個(gè) D 【 例 1】 (1)(2015荊門(mén) )已知一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是 2和 4， 則該等腰三角形的周長(zhǎng)為 ( ) A 8或 10 B 8 C 10 D 6或 12 (2)(2014濰坊 )等腰三角形一條邊的邊長(zhǎng)為 3， 它的另兩條邊的邊 長(zhǎng)是關(guān)于 x的一元二次方程 x2 12x k 0的兩個(gè)根 ， 則 k的值是 ( ) A 27 B 36 C 27或 36 D 18 解析：分兩種情況： 當(dāng)其他兩條邊中有一個(gè)為 3時(shí) ， 將 x 3代入 原方程 ， 得 32 12 3 k 0， k 27， 將 k 27代入原方程 ， 得 x2 12x 27 0， 解得 x 3或 9.3， 3， 9不能夠組成三角形； 當(dāng) 3為底時(shí) ， 則其他兩條邊相等 ， 即 0， 此時(shí) 144 4k 0， k 36.將 k 36代 入原方程 ， 得 x2 12x 36 0， 解得 x 6.3， 6， 6能夠組成三角形 ， 故答案為 B 【 點(diǎn)評(píng) 】 在等腰三角形中 ， 如果沒(méi)有明確底 邊 和腰 ， 某一 邊 可 以是底 ， 也可以是腰同 樣 ， 某一角可以是底角也可以是 頂 角 ， 必 須 仔 細(xì) 分 類(lèi)討論 C B 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 1 ( 1) ( 2015 南寧 ) 如圖 ， 在 ABC 中 ， AB AD DC ， B 70 ， 則 C 的度數(shù)為 ( ) A 35 B 40 C 45 D 50 (2) ( 2015 烏魯木齊 ) 等腰三角形的一個(gè)外角是 60 ， 則它的頂角的度 數(shù)是 _ _ A 120 【例 2 】 ( 20 15 北京 ) 如圖 ， 在 ABC 中 ， AB AC ， AD 是 BC 邊上 的中線(xiàn) ， BE AC 于點(diǎn) E. 求證： CBE BA D. 解：證明： AB AC ， AD 是 BC 邊上的中線(xiàn) ， AD BC ， AD 平分 BAC ， BE AC ， CBE C CAD C 90 ， 又 CAD BAD ， CBE B A D 【點(diǎn)評(píng)】 等腰三角形的 頂 角平分 線(xiàn) 、底 邊 上的中 線(xiàn) 、底 邊 上的高相互重 合 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 2 ( 2014 菏澤 ) 在 ABC 中 ， AD 平分 BAC ， BD AD ， 垂足為點(diǎn) D ， 過(guò)點(diǎn) D 作 DE AC ， 交 AB 于點(diǎn) E ， 若 AB 5 ， 求線(xiàn)段 DE 的長(zhǎng) 解： ( 1 ) AD 平分 BAC ， BAD CAD ， DE AC ， C A D A DE ， BAD A DE ， AE DE ， AD DB ， A DB 90 ， E A D ABD 90 ， A DE B DE A DB 90 ， ABD B DE ， DE BE ， AB 5 ， DE BE AE 2.5 【例 3 】 如圖在等邊 ABC 中 ， AB C 與 ACB 的平分線(xiàn)相交于點(diǎn) O ， 且 OD AB ， OE AC . (1) 試判定 O DE 的形狀 ， 并說(shuō)明你的理由； (2) 線(xiàn)段 BD ， DE ， EC 三者有什么關(guān)系？寫(xiě)出你的判斷過(guò)程 解： ( 1 ) ODE 是等邊三角形 ， 其理由是： ABC 是等邊三角形 ， ABC A CB 60 ， OD AB ， OE AC ， O DE A BC 60 ， OED A CB 60 O DE 是等邊三角形 ( 2 ) 答： BD DE EC ， 其理由是： OB 平分 ABC ， 且 ABC 60 ， ABO OBD 30 ， OD AB ， BO D ABO 30 ， DB O DOB ， DB DO ， 同理 ， EC EO ， DE OD OE ， BD DE EC 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 3 ( 1) ( 2014 益陽(yáng) ) 如圖 ， 將等邊 AB C 繞頂點(diǎn) A 順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) ， 使邊 AB 與 AC 重合得 ACD ， BC 的中點(diǎn) E 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為 F ， 則 E A F 的度數(shù)是 _ (2) ( 2015 銅仁 ) 已知 ， 如圖 ， 點(diǎn) D 在等邊三角形 AB C 的邊 AB 上 ， 點(diǎn) F 在邊 AC 上 ， 連接 DF 并延長(zhǎng)交 BC 的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn) E ， EF F D . 求證： AD CE. 解：證明：作 DG BC 交 AC 于 G ， 如圖所示： 則 DGF ECF ， 在 DF G 和 E FC 中 ， D GF E CF ， DFG E FC ， FD EF ， DFG EFC ( AAS ) ， GD CE ， A BC 是等邊三角形 ， A B ACB 60 ， DG BC ， AD G B ， AGD A CB ， A AD G A GD ， AD G 是等 邊三角形 ， AD GD ， AD CE 60 【例 4 】 (1) ( 2015 北京 ) 如圖 ， 公路 AC ， BC 互相垂直 ， 公路 AB 的中點(diǎn) M 與點(diǎn) C 被湖隔開(kāi)若測(cè)得 AM 的長(zhǎng)為 1.2 km ， 則 M ， C 兩點(diǎn)間的距離為 ( ) A 0.5 km B 0.6 km C 0.9 km D 1.2 km (2) ( 2015 桂林 ) 下列各組線(xiàn)段能構(gòu)成直角三角形的一組是 ( ) A 30 ， 40 ， 50 B 7 ， 12 ， 13 C 5 ， 9 ， 12 D 3 ， 4 ， 6 D A 【 點(diǎn)評(píng) 】 (1)在直角三角形中 ， 斜 邊 上的中 線(xiàn) 等于斜 邊 的一半 理解 題 意 ， 將 實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn) 化 為 數(shù)學(xué) 問(wèn)題 是解 題 的關(guān) 鍵 (2)在 應(yīng) 用勾股定理的逆定理 時(shí) ， 應(yīng) 先 認(rèn) 真分析所 給邊 的大小關(guān)系 ， 確 定最大 邊 后 ， 再 驗(yàn)證 兩條 較 小 邊 的平方和與最大 邊 的平方之 間 的關(guān)系 ， 進(jìn) 而作出判斷 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 4 ( 1) ( 2015 大連 ) 如圖 ， 在 ABC 中 ， C 90 ， AC 2 ， 點(diǎn) D 在 BC 上 ， ADC 2 B ， AD 5 ， 則 BC 的長(zhǎng)為 ( ) A. 3 1 B. 3 1 C. 5 1 D. 5 1 ,第 ( 1) 題圖 ) ,第 ( 2) 題圖 ) (2) ( 2015 蘇州 ) 如圖 ， 四邊形 ABCD 為矩形 ， 過(guò)點(diǎn) D 作 對(duì)角線(xiàn) BD 的垂 線(xiàn) ， 交 BC 的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn) E ， 取 BE 的中點(diǎn) F ， 連接 DF ， DF 4. 設(shè) AB x ， AD y ， 則 x 2 (y 4) 2 的值為 _ _ D 16 試題 ( 2015 營(yíng)口 ) 【問(wèn)題探究】 ( 1 ) 如圖 ， 銳角 ABC 中分別以 AB ， AC 為邊向外作等腰 AB E 和等腰 A CD ， 使 AE AB ， AD AC ， BAE CAD ， 連接 BD ， CE ， 試猜想 BD 與 CE 的大小關(guān)系 ， 并說(shuō)明理由 【深入探究】 ( 2 ) 如圖 ， 四邊形 ABC D 中 ， AB 7 cm ， BC 3 cm ， ABC AC D A DC 45 ， 求 BD 的長(zhǎng) 審題視角 ( 1 ) 首先根據(jù)等式的性 質(zhì)證 明 EAC BAD ， 則 根據(jù) SA S 即 可 證 明 E AC BA D ， 根據(jù)全等三角形的性 質(zhì) 即可 證 明； ( 2 ) 在 A BC 的外 部 ， 以 A 為 直角 頂 點(diǎn)作等腰直 角 BAE ， 使 BAE 90 ， AE AB ， 連 接 EA ， EB ， EC ， 證 明 E AC BA D ， 證 明 BD CE ， 然后在直角三角形 BCE 中利用勾股定理即可求解 規(guī)范答題 解： (1) 證明解： (1 ) BD C E. 理由是： B AE C AD ， B AE B AC C AD B AC ， 即 E AC B AD ， 在 EAC 和 B A D 中 ， AE AB ， EAC B AD ， AC AD ， EAC B AD ， BD CE ； (2) 如圖 ， 在 ABC 的外部 ， 以 A 為直角頂點(diǎn)作等腰直角 BAE ， 使 BAE 90 ， AE AB ， 連接 EA ， EB ， EC. ACD A DC 45 ， AC AD ， CAD 90 ， BAE BAC CA D B AC ， 即 EAC BA D ， 在 EAC 和 B A D 中 ， AE AB ， EAC BAD ， AC AD ， EAC B AD ， BD CE. AE AB 7 ， BE 7 2 7 2 7 2 ， ABE AEB 45 ， 又 ABC 45 ， ABC ABE 45 45 90 ， EC BE 2 BC 2 （ 7 2 ） 2 3 2 107 ， BD CE 107 . 答題思路 第一步：通 讀問(wèn)題 ， 根據(jù) 問(wèn)題選擇 合理的幾何分析 方法； 第二步： (1)綜 合法 (由因 導(dǎo) 果 )：從命 題 的 題設(shè) 出 發(fā) ， 通 過(guò) 一系 列的有關(guān)定理、公理、定 義 的運(yùn)用 ， 逐步向前推 進(jìn) ， 直到 問(wèn)題 的 解決； (2)分析法 (執(zhí) 果索因 )， 從命 題 的 結(jié)論 考 慮 ， 推敲使其成立 需必 備 的條件 ， 然后再把條件看成要 證 的 結(jié)論繼續(xù) 推敲 ， 如此逐 步向上逆推 ， 直到已知的條件 為 止； (3)兩 類(lèi)結(jié) 合法 ， 將分析法與 綜 合法合并使用 比 較 起來(lái) ， 分析法利于思考 ， 綜 合法宜于表達(dá) 因此 ， 在 實(shí)際 思考 問(wèn)題時(shí) ， 可 綜 合使用 ， 靈活 處 理 ， 以 縮 短 題 設(shè) 與 結(jié)論 之 間 的距離 ， 直到完全溝通； 第三步： 視問(wèn)題 需要 ， 添加合理的 輔 助 線(xiàn) ， 把已知與未知集中 在一起； 第四步：從已知出 發(fā) ， 一步一步作推理 ， 使得 問(wèn)題 得以 證 明； 第五步：反思回 顧 ， 查 看關(guān) 鍵 點(diǎn)、易 錯(cuò) 點(diǎn) ， 完善解 題 步 驟 試題 1 在 ABC中 ， 高 AD和高 BE相交于 H， 且 BH AC， 求 ABC的度數(shù) 剖析 當(dāng) ABC是銳角三角形時(shí) ， 高 AD和高 BE的交點(diǎn) H在三角形內(nèi) ；當(dāng) ABC是為鈍角三角形時(shí) ， 高 AD和高 BE的交點(diǎn) H在三角形 外在解與高有關(guān)的問(wèn)題時(shí) ， 應(yīng)考慮全面 錯(cuò)解 解：如圖 ， 在 Rt BHD和 Rt ACD中 ， C CAD 90 ， C HBD 90 ， HBD CAD.又 BH AC ， BHD ACD， BD AD. ADB 90 ， ABC 45 . 正解 這里的 ABC有兩種情況 ， ABC是銳角 (圖 )或 ABC是鈍角 ( 圖 )如圖 ， 在 Rt BHD和 Rt ACD中 ， 易得 DCA DHB.又 AC BH， DHB DCA， AD DB， DBA 45 ， ABC 135 .綜上： ABC 試題 2 已知 ABC 是等腰三角形 ， 由 A 所引 BC 邊上的高恰好等于 BC 邊長(zhǎng)的一半 ， 試求 BAC 的度數(shù) 錯(cuò)解 解：如圖 ， AD BC ， AD 1 2 BC BD CD ， BAD B C CAD 45 ， B AC 90 . 剖析 ( 1 ) 對(duì) 于等腰三角形 問(wèn)題 ， 當(dāng) 給 出的條件 ( 如 邊 、角情況 ) 不明 時(shí) ， 一般要 分情況逐一考察 ， 否 則 容易出 現(xiàn)錯(cuò) 解或漏解的 錯(cuò)誤 ( 2 ) 當(dāng) 頂 角是 銳 角 時(shí) ， 腰上的高在三角形內(nèi)；當(dāng) 頂 角 為 直角 時(shí) ， 腰上的高 與另一腰重合；當(dāng) 頂 角 為鈍 角 時(shí) ， 腰上的高在三角形外 這 是在解與等腰三 角形腰上的高有關(guān)的 問(wèn)題時(shí) ， 應(yīng) 考 慮 的幾個(gè)方面 正解 題目中并沒(méi)有指明 BC 是等腰 ABC 的底或腰當(dāng) BC 為底時(shí) ， 可 求得 BAC 90 ；當(dāng) BC 為腰時(shí) ， 還應(yīng)對(duì) B 的大小進(jìn)行討論： ( 1 ) 當(dāng)頂角 B 是銳角時(shí) ， 如圖 ， AD 1 2 BC 1 2 AB ， AD BC ， B 30 ， 從而 BAC C 75 . ( 2 ) 當(dāng)頂角 B 為直角時(shí) ， 高 AD 和腰 AB 重合 ， 與已知矛盾 ， 故 B 90 . ( 3 ) 當(dāng)頂角 B 為鈍角時(shí) ， 如圖 ， AD 1 2 BC 1 2 AB ， AD BC ， DBA 30 ， 從而 B AC C 1 2 DBA 1 2 30 15 .綜上 ， BA C 的度數(shù) 為 90 或 75 或 15