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1、一階線性微分方程和伯努利方程 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 8.3 8.3.1 一階線性微分方程 8.3.2 伯努利方程 第八章 8.3.1 一階線性微分方程 一階線性微分方程標(biāo)準(zhǔn)形式 : )()(dd xQyxPxy 若 Q(x) 0, 0)(dd yxPxy 若 Q(x) 0, 稱為上述方程 一階非齊次線性微分方程 . 1. 解一階齊次線性微分方程 分離變量 兩邊積分得 CxxPy lnd)(ln 故通解為 xxPeCy d)( 稱上述方程為 一階齊次線性微分方程 ; 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對應(yīng)齊次方程通解 xxPe

2、Cy d)( 一階齊次線性 微分方程通解 一階非齊次線性 微分方程特解 xxPCe d)( 2. 解一階非齊次線性微分方程 )()(dd xQyxPxy 用 常數(shù)變易法 : ,)()( d)( xxPexuxy 則 xxPeu d)( )(xP xxPeu d)( )( xQ 故原方程的通解 xexQe xxPxxP d)( d)(d)( CxexQey xxPxxP d)( d)(d)( y即 即 作變換 xxPeuxP d)()( CxexQu xxP d)( d)(兩端積分得 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 1. 解方程

3、解 : 先解 ,012dd x yxy 即 1d2d x xyy 積分得 即 2)1( xCy 用 常數(shù)變易法 求特解 . 令 ,)1()( 2 xxuy 則 )1(2)1( 2 xuxuy 代入非齊次的方程得 解得 Cxu 23)1(32 故原方程通解為 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 8.3.2 伯努利 ( Bernoulli )方程 伯努利方程的標(biāo)準(zhǔn)形式 : )()(dd 1 xQyxPxyy nn 令 ,1 nyz xyynxz n dd)1(dd 則 )()1()()1(dd xQnzxPnxz 求出此方程通解后 , 除方程兩邊 , 得 換回

4、原變量即得伯努利方程的通解 . 解法 : (線性方程 ) 伯努利 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 2. 求方程 的通解 . 解 : 這是 n = 2的伯努利方程 , 令 ,1 yz 代入原來已知方程得 到 dd zz xxx 這是一階線性微分方程，其通解為 將 1 yz 2 3 Cxz x 代入 , 得原方程通解 : 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2dz dyy dx dx 則 或 3 . 3 xx C y 此外方程還有解 y = 0. 例 3. 解方程 1 .dyd x x y 解 若把所給方程變形為 ,dx xydy 即為一階線性方

5、程 , 則按一階線性方程的解法可求得通解 . 也可用 變量代換 來解所給方程 : 令 ,xyu 則 , 1 .d y d uy u x d x d x 代入原方程 ,得 111 , .d u d u u d x u d x u 分離變量得 . 1 u d u d x u 常利用 變量代換 把微分方程化為可解的另一類微分方程。 兩端積分得 l n 1 .u u x C 以 u x y 代入上式 , 即得 l n 1 .y x y C 或 11 1.yCx C e y C e 內(nèi)容小結(jié) 1. 一階線性方程 方法 1 先解一階齊次方程 , 再用常

6、數(shù)變易法 . 方法 2 用通解公式 CxexQey xxPxxP d)( d)(d)( ,1 nyu 令 化為線性方程求解 . 2. 伯努利方程 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習(xí) 判別下列方程類型 : x yyxy x yx d d d d)1( )ln( l ndd)2( xyyxyx 0d2d)()3( 3 yxxxy 0d)(d2)4( 3 yxyxy yxxyxy dd)2ln()5( 提示 : x xy y y dd1 可分離 變量方程 x y x y x y ln d d 齊次方程 22 1 d d 2xy xx y 線性方程 22 1 d d 2yx yy x 線性方程 2si n2 d d y x xy xx y 伯努利 方程 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 P357 1 (1) , (3) , (5) ; 2 (1) , (3); 3 (2) . 作業(yè) 第五節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束