5.6 二次曲線方程的化簡與分類 這一節(jié)，我們將在直角坐標(biāo)系下，利用坐標(biāo)變 換，使二次曲線的方程在新坐標(biāo)系里具有最簡形式， 然后在此基礎(chǔ)上進行二次曲線的分類。 1. 平面直角坐標(biāo)變換 我們知道，如果平面內(nèi)一點的舊坐標(biāo)與新坐標(biāo) 分別為 與 ，那么移軸公式為 （ 5.6-1） 或 （ 5.6-1） 式中 為新坐標(biāo)系原點在舊坐標(biāo)系里的坐標(biāo)。 o y x o/ y/ x/ ( , )xy ( , )xy 0 0 x x x y y y 0 0 x x x y y y 00( , )xy 先移軸使坐標(biāo)原點與新坐標(biāo)系的原點 重合 ,變成坐 標(biāo)系 （ 5.6-2） 或 （ 5.6-2） 式中的 為坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)角。 而在一般情形，由舊坐標(biāo)系 變成新坐 標(biāo)系 ，總可以分兩步來完成， 轉(zhuǎn)軸公式為 o y x O ,O x y 然后由輔助坐標(biāo)系 再轉(zhuǎn)軸而 .O x y 成新坐標(biāo)系 設(shè)平面上任意點 的舊坐標(biāo)與新坐標(biāo)分別為 c o s sin sin c o s x x y y x y c o s sin sin c o s x x y y x y O xy O x y .O x y P ( , ),xy 與 （圖 5-1） 由上兩式得一般坐標(biāo)變 換公式為 （ 5.6-3） o y x o/ y/ x/ 與 而在輔助坐標(biāo)系 中的坐標(biāo) 那么有 ( , )xy ( , )xy O x y 0 0 x x x y y y c o s sin sin c o s x x y y x y 0 0 c o s sin sin c o s x x y x y x y y 由（ 5.6-3）解出 便得逆變換公式 （ 5.6-4） 平面直角坐標(biāo)變換公式（ 5.6-3）是由新坐標(biāo)系原 點的坐標(biāo) 與坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)角 決定的。 確定坐標(biāo)變換公式，除了上 面的這種情況外，還可以有 其它的方法。 例如給出了新坐標(biāo)系 的兩坐標(biāo)軸在舊坐標(biāo) 系里的方程，并規(guī)定 了一個軸的正方向等。 現(xiàn)在我們就來介紹這 情況下的坐標(biāo)變換公式。 （圖 5-2） o y x M y/ x/ 1 1 1 0A x B y C 00 00 c o s sin ( c o s sin ) sin c o s ( sin c o s ) x x y x y y x y x y 00( , )xy ,xy 2 2 2 0A x B y C 設(shè)在直角坐標(biāo)系 里給定了兩條互相垂直的直線 ( , ),xy ( , ).xy 因為 是點 到 軸的距離，也就是 點 到 的距離，因此我們有 同理可得 o y x 1l 2l其中 1l 橫軸 縱軸 ,Oy 舊坐標(biāo)與新坐標(biāo)分別是 M y/ x/ 1 1 1 1 2 2 2 2 :0l A x B y C l A x B y C 2 2 2 22 22 A x B y C x AB 1 1 1 22 11 A x B y Cy AB 1 2 1 2 0A A B B Ox ( , )M x y xOy 2l M x Oy 2l M 于是在去掉絕對值符號以后，便有 （ 5.6-5） 為了使新坐標(biāo)系仍然是右手坐標(biāo)系，我們來決定（ 5.6-5） 中的符號 , 將（ 5.6-5）式與公式（ 5.6-4）比較得 （ 5.6-4） 2 2 2 22 22 1 1 1 22 11 A x B y C x AB A x B y C y AB 00 00 c o s sin ( c o s sin ) sin c o s ( sin c o s ) x x y x y y x y x y 22 2 2 2 2 2 2 2 2 c os , si n ,AB A B A B 11 2 2 2 2 1 1 1 1 si n , c os .AB A B A B 因此（ 5.6-5）中的第一式右端的 的系數(shù)應(yīng)與第二 式的右端 的實數(shù)相等，所以（ 5.6-5）的符號選取 要使得這兩項的系數(shù)是同號的。 例 1 已知兩垂直的直線 與 ，取 為 軸， 為 軸，求 坐標(biāo)變換公式。 解 設(shè) 的新坐標(biāo)為 ，那么有 根據(jù)上面的符號選取法則得變換公式為 2 2 2 2 , 55 2 3 2 3 ; 55 x y x y xx x y x y yy 或 。 2 2 2 3, 55 x y x yxy ( , )M x y ( , )xy 1 : 2 3 0l x y 2 : 2 2 0l x y x y Ox Oy 1l 2l 2. 二次曲線方程的化簡與分類 設(shè)二次曲線的方程為 （ 1） 現(xiàn)在我們要選取一個適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，也就是要確 定一個坐標(biāo)變換，使得曲線（ 1）在新坐標(biāo)系下的 方程最為簡單，這就是二次曲線方程的化簡。 為此，我們必須了解在坐標(biāo)變換下二次曲線方程的 系數(shù)是怎樣變化的。 因為一般坐標(biāo)變換是由移軸與轉(zhuǎn)軸組成，所以我們 分別考察在移軸與轉(zhuǎn)軸下， 二次曲線方程（ 1）的系數(shù)的變換規(guī)律。 22 11 12 22 13 23 33 ( , ) 2 2 2 0 , F x y a x a x y a y a x a y a 在移軸（ 5.6-1）即 下，二次曲線（ 1）的新方程為 化簡整理得： 0 0 x x x y y y 00 2 11 0 12 0 0 2 22 0 13 0 23 0 33 ( , ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) 0 F x x y y a x x a x x y y a y y a x x a y y a 22 1 1 1 2 2 2 1 3 2 3 3 32 2 2 0a x a x y a y a x a y a 這里 （ 5.6-6） 因此在移軸（ 5.6-1）下，二次曲線方程系數(shù)的變 換規(guī)律為： 二次項系數(shù)不變； 一次項系數(shù)變?yōu)?與 ； 常數(shù)項變?yōu)?。 o1 o3 o2 22 1 1 1 2 2 2 1 3 2 3 3 32 2 2 0a x a x y a y a x a y a 11 11 12 12 22 22 13 11 0 12 0 13 1 0 0 23 12 0 22 0 23 2 0 0 22 23 11 0 12 0 0 22 0 13 0 23 0 33 0 0 , , , ( , ) , ( , ) , 22 2 ( , ) . a a a a a a a a x a y a F x y a a x a y a F x y a a x a x y a y a x a y a F x y 1 0 02 ( , )F x y 2 0 02 ( , )F x y 00( , )F x y 所以當(dāng)二次曲線有中 心時，作移軸，使原點與二次曲線的中心重合，那 么在新坐標(biāo)系下二次曲線的新方程中一次項消失。 因為當(dāng) 為二次曲線（ 1）的中心時，有 ， 0),(,0),( 002001 yxFyxF 把轉(zhuǎn)軸公式（ 5.6-2）即 代入（ 1），得在轉(zhuǎn)軸（ 5.6-2）下二次曲線（ 1）的 新方程為 這里 c o s sin sin c o s x x y y x y 22 1 1 1 2 2 2 1 3 2 3 3 32 2 2 0a x a x y a y a x a y a 00( , )xy （ 5.6-7） 因此，在轉(zhuǎn)軸下，二次曲線方程（ 1）的系數(shù)變換 規(guī)律為： o1 o2 二次項系數(shù)一般要改變。新方程的二次 項系數(shù)僅與原方程的二次項系數(shù)及旋轉(zhuǎn)角有關(guān)，而 與一次項系數(shù)及常數(shù)項無關(guān)。 一次項系數(shù)一般要改變。新方程的一次 22 11 11 12 22 22 12 22 11 12 22 22 11 12 22 13 13 23 23 13 23 33 33 c os 2 si n c os si n , ( ) si n c os ( c os si n ) , si n 2 si n c os c os , c os si n , si n c os , . a a a a a a a a a a a a a a a a a a aa 項系數(shù) 解出 得 可以進一步看到，在轉(zhuǎn)軸下，二次曲線方程（ 1）的 一次項系數(shù) 的變換規(guī)律是與點的坐標(biāo) 的 變換規(guī)律完全一樣， 當(dāng)原方程有一次項時，通過轉(zhuǎn) 軸不能完全消去一次項，當(dāng)原方程無一次項時，通 過轉(zhuǎn)軸也不會產(chǎn)生一次項。 o3 常數(shù)項不變。 1 3 1 3 2 3 2 3 1 3 2 3 c o s sin , sin c o s , a a a a a a 1 3 1 3 2 3 2 3 1 3 2 3 c o s sin , sin c o s , a a a a a a 13 23,aa 13 23,aa ,xy 二次曲線方程（ 1）里，如果 ，我們往往 使用轉(zhuǎn)軸使新方程中的 。為此，我們只有取 旋轉(zhuǎn)角 ，使得 即 所以 （ 5.6-8） 因為余切的值可以是任意的實數(shù)，所以 總有 滿 足（ 5.6-8），也就是說總可以經(jīng)過適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)軸消 去（ 1）的 項。 例 2 化簡二次曲線方程 并畫出它的圖形。 221 2 2 2 1 1 1 2( ) s i n c o s ( c o s s i n ) 0 ,a a a a 2 2 1 1 1 2( ) s in 2 2 c o s 2 0 ,a a a 11 22 12 2 2 aac tg a 224 4 1 2 1 0 x x y y x y xy 12 0a 12 0a 解 因為二次曲線的方程含有 項，因此 我們總可以先通過轉(zhuǎn)軸消去 項。設(shè)旋轉(zhuǎn)角為 ， 那么由（ 5.6-8）得： 即 所以 從而得 取 ，那么 ， ，所以得 224 4 1 2 1 0 x x y y x y 32, 4c tg 213 , 24 tg tg 22 3 2 0 ,tg tg 1 2 2tg 或 。 2tg 2sin 5 1c os 5 xy xy 轉(zhuǎn)軸公式為 代入原方程化簡整理得轉(zhuǎn)軸后的新方程為 利用配方使上式化為 再作移軸 1 ( 2 ) 5 1 ( 2 ) 5 x x y y x y 5 , 5 xx yy 25( ) 5 0 5xy 25 2 5 5 5 1 0 x x y 曲線方程化為最簡形式 或?qū)懗蓸?biāo)準(zhǔn)方程為 這是一條拋物線，它 的頂點是新坐標(biāo)系 的原點。原 方程的圖形可以根據(jù) 它在坐標(biāo)系 中的標(biāo)準(zhǔn)方程作出， 它的圖形如圖 5 - 3所 示。 利用坐標(biāo)變換化簡二 次曲線的方程，如果曲線 有中心，那么為了計算方便，往往先移軸后轉(zhuǎn)軸。 （圖 5 - 3） y x o y/ x/ (x/) y/ o/ 2 50 xy 2 5xy O x y O x y 例 3 化簡二次曲線方程 并畫出它的圖形。 解 因為 所以曲線為中心二次曲線，解方程組 1 2 1 ( , ) 1 0 , 2 1 ( , ) 2 0 , 2 F x y x y F x y x y 2 1 1 132 1 0 , 1 44 1 2 I 22 2 4 0 x x y y x y 得中心的坐標(biāo)為 ，取 為新原點， 原方程變?yōu)?再轉(zhuǎn)軸消去 項，由（ 5.6-8）得 從而可取 ，故轉(zhuǎn)軸公式為 作移軸 1 ( ) , 2 1 ( ) , 2 x x y y x y , 2. xx yy 2 0 ,ctg 4 22 40 x x y y 0 , 2xy (0,2) xy 經(jīng)轉(zhuǎn)軸后曲線的方程 或?qū)懗蓸?biāo)準(zhǔn)形式 這是一個橢圓，它的 圖形如圖 5-4所示。 利用轉(zhuǎn)軸來消去 二次曲線方程的 項， 它有一個幾何意義， 就是把坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)到 與二次曲線的主方向 平行的位置。 （圖 5-4） o y x o/ y/ x/ /4 2213 40 22xy 22 1.8 8 3 xy xy 這是因為如果二次曲線的特征根 確定的主方向為 ，那么由（ 5.5-1）立刻得： 12 11 22 12 ,Y a atg X a a 212 2 22 12 22 12 11 11 2222 12 12 12 22 1 ( ) 1 2 2 2 1 ( ) ( ) 2 2 a tg a c t g atg a aa aaaa a a a 11 12 12 22 ( ) 0 , ( ) 0. a X a Y a X a Y :XY 因此，上面介紹的通過轉(zhuǎn)軸與移軸來化簡二 次曲線方程的方法，實際是把坐標(biāo)軸變換到與二 次曲線的主直徑（即對稱軸）重合的位置。 如果是線心曲線， 坐標(biāo)原點可以與曲線的任何一個中 心重合。 因此，二次曲線方程的化簡 ，只要先求 出曲線（ 1）的主直徑， 然后以它作為新坐標(biāo)軸， 作坐標(biāo)變換即可。 例 4 化簡二次曲線方程 并作出它的圖形。 如果是中心曲線， 如果是無心曲線， 坐標(biāo)原點與曲線的中心重合 ； 坐標(biāo)原點與曲線的頂點重合 ； 223 1 0 1 0 2 1 0 ,x x y y x y 解 已知二次曲線的矩陣是 所以曲線的特征方程是 解得兩特征根為 因而曲線的兩個主方向為 3 15 2 3 1 5 , 2 5 5 21 12 3 1 52 1 1 2 , , 3 4 1 2 II 2 52 0 , 4 12 15, 22 曲線的兩條主直徑為 與 即 取這兩條主直徑為新坐標(biāo)軸，由（ 5.6-5）得坐標(biāo) 變換公式為 11 22 31 : : ( 1 ) 1 : 1 , 22 35 : : ( 1 ) 1 : 1 ; 22 XY XY 33( 5 ) ( 5 ) 0 22x y x y 33( 5 ) ( 5 ) 0 , 22x y x y 0 4 0 .x y x y 與 解出 與 代入已知曲線方程，經(jīng)過整理得曲線在新坐標(biāo)系 下得方程為 所以曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為 這是一條雙曲線。 , 2 4 , 2 xy x xy y 22 2, 22 22 2, 22 x x y y x y x y 2215 1 0 , 22xy 22 1, 22 5 xy 例 5 化簡二次曲線方程 并作出它的圖形。 解 已知二次曲線的矩陣是 曲線為非中心曲線，它的特征方程為 特征根為 曲線的非漸近主方向為對應(yīng)于 的這方向 222 2 0 x x y y x y 1 1 1 1 1 1 , 2 1 10 2 12 11 1 1 2 , 0 , 11 II 2 2 0 , 122 , 0 , 1 2 : 1 : 1 ,XY 為新坐標(biāo)系的 軸，而過曲線的頂點 043 yx 所以曲線的主直徑為 即 求出主直徑于曲線的交點，即曲線的頂點為 所以過曲線頂點且以非漸近主方向為方向的直線為 即 這也是過頂點垂直于主直徑的直線，取主直徑 1( 1 ) ( ) 0 , 2x y x y 3 0. 4xy 3 15( , ) 16 16 3 1 5 1 6 1 6 11 xy 9 0, 8xy x 且垂直于主直徑的直線 為 軸，作 坐標(biāo)變換，它的變換公式為 解出 與 代入已知方程，經(jīng)過整理得 9 0 8xy y9 8 , 2 3 4 , 2 xy x xy y 2 2 3 , 2 2 16 2 2 15 , 2 2 16 x x y y x y x y 2 22 0 , 2yx 化為標(biāo)準(zhǔn)方程 這是一條拋物線。 2 2 , 4yx 例 6 化簡 。 解 已知曲線的矩陣為 它的第一，第二兩行成比例，曲線為線心曲線，它有唯 一的直徑即中心線，也是曲線的主直徑，其方程是 取它為新坐標(biāo)系的 軸， 為新坐標(biāo)系的 軸作坐標(biāo)變換，這時的變換公式為 再取任意垂直于這中心線的 直線，比如 222 2 2 3 0 x x y y x y 1 1 1 1 1 1 , 1 1 3 1 0 ,xy x 0,xy y 解出 與 代入已知方程，經(jīng)過整理得 即 或 ，這是兩條平行直線（圖 5-7）。 對于線心曲線，我們可以直接從原方程分解 （圖 5-7） o y x , 2 1 , 2 xy x xy y 2 2 1 , 2 2 2 2 2 1 , 2 2 2 x x y y x y x y 22 4 0 ,y 2 2y 2y