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1、Matlab教程 數(shù)學科學與技術學院 胡金燕 曲線擬合工具箱 曲線擬合定義 在實際工程應用和科學實踐中，經(jīng)常需要尋求 兩個（或多個）變量間的關系，而實際去只能 通過觀測得到一些離散的數(shù)據(jù)點。針對這些分 散的數(shù)據(jù)點，運用某種你和方法生成一條連續(xù) 的曲線，這個過程稱為曲線擬合。 曲線擬合可分為： （ 1）參數(shù)擬合 ---- 最小二乘法 （ 2）非參數(shù)擬合 ---- 插值法 一、數(shù)據(jù)預處理 在曲線擬合之前必須對數(shù)據(jù)進行與處理，去 除界外值、不定值和重復值，以減少認為誤 差，提高擬合的精度。 數(shù)據(jù)預處理包括： （ 1）數(shù)據(jù)輸入與查

2、看 （ 2）數(shù)據(jù)的預處理 傳輸數(shù)據(jù)通過數(shù)據(jù) GUI來實現(xiàn)，查看數(shù)據(jù)點 通過曲線擬合工具的散點圖來實現(xiàn)。 1.輸入和查看數(shù)據(jù)集 （ 1）打開曲線擬合工具界面 通過 cftool命令打開曲線擬合工具界面 5個命令按鈕 Data按鈕：可輸出、查看和平滑數(shù)據(jù)； Fitting按鈕：可擬合數(shù)據(jù)、比較擬合曲線和 數(shù)據(jù)集； Exclude按鈕：可以從擬合曲線中排除特殊 的數(shù)據(jù)點； Ploting按鈕：在選定區(qū)間后，單擊按鈕， 可以顯示擬合曲線和數(shù)據(jù)集； Analysis按鈕：可以做內(nèi)插法、外推法、微 分或積分擬合。 （ 2）輸入數(shù)據(jù)集 在輸入數(shù)據(jù)之前，數(shù)據(jù)變量必須存在于

3、 matlab的工作區(qū)間?？梢酝ㄟ^ load命令輸 入變量。單擊曲線擬合工具界面中的 Data 按鈕，打開 Data對話框，在對話框中進行設 置，可以輸入數(shù)據(jù)。 Data對話框 包括兩個選項卡： Data Sets 和 Smooth. Data Sets選項卡： .Import workspace vectors 把向量輸 入工作區(qū)，主要以變量必須具有相同的維數(shù) ，無窮大的值和不定值被忽略。 X data 用于選擇觀測數(shù)據(jù) Y data 用于選擇 X的響應數(shù)據(jù) Weight 用于選擇權(quán)重，與響應數(shù)據(jù)相聯(lián)系 的向量，如果沒選擇，默認值為 1. .Preview 對所選向

4、量進行圖形化預覽 .Data set name 設置數(shù)據(jù)集的名稱。工 具箱可以隨即產(chǎn)生唯一的文件名，但用戶 可以重命名。 .Data sets 選項以列表的形式顯示所有擬 合的數(shù)據(jù)集。當選擇一個數(shù)據(jù)集時，可以 對它做如下操作： .View 查看數(shù)據(jù)集，以圖標形式和列表形 式，可以選擇方法排除異常值； .Rename 重命名 .Delete 刪去數(shù)據(jù)組 例：輸入數(shù)據(jù)，采用 matlab自帶的文件 census census 有兩個變量： cdate和 pop。 cdate 是一個年向量，包括 1790-1990 年，間隔為 10年； pop是對應年份的美國人口。

5、whos -file census Name Size Bytes Class Attributes cdate 21x1 168 double pop 21x1 168 double load census cftool(cdate,pop) 散點圖 單擊 Data按鈕 在 X data和 Y data兩個下拉式列表框中選 擇變量名，將在 Data對話框中顯示散點圖的 預覽效果： 當選擇 Data sets列表框中的數(shù)據(jù)集時，單 擊 View按鈕，打開 View Data Set對話框 工作表

6、方式 2.數(shù)據(jù)的預處理 在曲線擬合工具箱中，數(shù)據(jù)的預處理主要包 括平滑法、排除法和區(qū)間排除法等。 (1)平滑數(shù)據(jù) 打開擬合工具箱，單擊 Data按鈕，打開 Data對話框，選擇 Smooth選項卡 Smooth選項卡各選項的功能： .Original data set 用于挑選需要擬合的 數(shù)據(jù)集； .Smoothed data set平滑數(shù)據(jù)的名稱； .Method用于選擇平滑數(shù)據(jù)的方法，每一個 相應數(shù)據(jù)用通過特殊的曲線平滑方法所計 算的結(jié)果來取代。平滑數(shù)據(jù)的方法包括： （ ） Moving average 用移動平均值進 行替換； （ ） Lowess局部加

7、權(quán)散點圖平滑數(shù)據(jù)， 采用線性最小二乘法和一階多項式擬合得 到的數(shù)據(jù)進行替換； （ ） Loess局部加權(quán)散點圖平滑數(shù)據(jù)，采 用線性最小二乘法和二階多項式擬合得到 的數(shù)據(jù)進行交換； （ ） Savitzky-Golay 采用未加權(quán)的線 性最小二乘法過濾數(shù)據(jù)，利用指定階數(shù)的 多項式得到的數(shù)據(jù)進行替換； （ ） Span用于進行平滑計算的數(shù)據(jù)點的 數(shù)目； （ ） Degree 用于 Savitzky-Golay方 法擬合多項式的階數(shù)。 .Smoothed data sets 對于所有平滑數(shù) 據(jù)集進行列表?？梢栽黾悠交瑪?shù)據(jù)集，通 過單擊 Create smoothed data s

8、et按 鈕，可以創(chuàng)建經(jīng)過平滑的數(shù)據(jù)集。 .View按鈕 打開查看數(shù)據(jù)集的 GUI，以散點 圖方式和工作表方式查看數(shù)據(jù)，可以選擇 排除異常值的方法。 .Rename用于重命名。 .Delete可刪去數(shù)據(jù)組。 .Save to workspace保存數(shù)據(jù)集。 （ 2）排除法和區(qū)間排除法 排除法是對數(shù)據(jù)中的異常值進行排除。 區(qū)間排除法是采用一定的區(qū)間去排除那些用 于系統(tǒng)誤差導致偏離正常值的異常值。 在曲線擬合工具中單擊 Exclude按鈕，可以 打開 Exclude對話框 Exclusion rule name指定分離規(guī)則的名稱 Existing exclusion rul

9、es列表產(chǎn)生的文件 名，當你選擇一個文件名時，可以進行如下操 作： Copy 復制分離規(guī)則的文件； Rename重命名； delete 刪去一個文件； View以圖形的形式展示分離規(guī)則的文件。 Select data set 挑選需要操作的數(shù)據(jù)集； Exclude graphically允許你以圖形的形式去 除異常值，排除個別的點用“ ”標記。 Check to exclude point 挑選個別的點 進行排除，可以通過在數(shù)據(jù)表中打勾來選 擇要排除的數(shù)據(jù)。 Exclude Sections 選定區(qū)域排除數(shù)據(jù)： Exclude X選擇預測數(shù)據(jù) X要排除的數(shù)據(jù)

10、 范圍； Exclude Y選擇響應數(shù)據(jù) Y要排除的數(shù)據(jù) 范圍。 （ 3）其他數(shù)據(jù)預處理方法 其他的預處理方法不便通過曲線擬合工具箱 來完成，主要包括兩部分： 響應數(shù)據(jù)的轉(zhuǎn)換和去除無窮大、缺失值和異 常值。 響應數(shù)據(jù)的轉(zhuǎn)換一般包括對數(shù)轉(zhuǎn)換、指數(shù)轉(zhuǎn) 換，用這些轉(zhuǎn)換可以使非線性的模型線性 化，便于曲線擬合。變量的轉(zhuǎn)換一般在命令 行里實現(xiàn)，然后把轉(zhuǎn)換后的數(shù)據(jù)輸入曲線擬 合工具箱，進行擬合。 無窮大、不定值在曲線擬合中可以忽略，如 果想把他們從數(shù)據(jù)集中刪除，可以用 isinf和 isnan置換無窮大值和缺失值。 二、曲線擬合 Matlab提供兩種曲線擬合方法： （

11、1）以函數(shù)的形式，使用命令對數(shù)據(jù)進行 擬合。這種方法比較繁瑣，需要對擬合函 數(shù)有比較好的了解。 （ 2）用圖形窗口進行操作，具有簡便、快 速，可操作性強的優(yōu)點。 1.多項式擬合函數(shù) (1)Polyfit函數(shù) P=polyfit(x,y,n) 用最小二乘法對數(shù)據(jù)進行擬合，返回 n次多 項式的系數(shù)，并用降序排列的向量表示，長 度為 n+1. 1 1 21)( nn nn pxpxpxpxp p,s=polyfit(x,y,n) 返回多項式系數(shù)向量 p和矩陣 s。 s與 polyval函數(shù)一起用時，可以得到預測值的 誤差估計。如數(shù)據(jù) y的誤差服從方差為常數(shù)的 獨立正態(tài)分布， p

12、olyval函數(shù)將生成一個誤 差范圍，其中包含至少 50%的預測值 . p,s,mu=polyfit(x,y,n) 返回多項式的系數(shù)， mu是一個二維向量 u1,u2,u1=mean(x),u2=std(x),對 數(shù)據(jù)進行預處理 x=(x-u1)/u2 (2)Polyval函數(shù) 利用該函數(shù)進行多項式曲線擬合評價 y=polyval(p,x) 返回 n階多項式在 x處的值， x可以是一個矩 陣或者是一個向量，向量 p是 n+1個以降序 排列的多項式的系數(shù)。 .y=polyval(p,x,,mu) 用 x=(x-u1)/u2代替 x，其中 mu是一個 二維向量 u1,u2

13、, u1=mean(x),u2=std(x),通過這 樣處理數(shù)據(jù)，使數(shù)據(jù)合理化。 y,delta=polyval(p,x,s) y,delta=polyval(p,x,s,mu) 產(chǎn)生置信區(qū)間 y delta。如果誤差結(jié)果服從 標準正態(tài)分布，則實測數(shù)據(jù)落在 y delta區(qū) 間內(nèi)的概率至少為 50%。 例 x=0 0.0385 0.0963 0.1925 0.2888 0.385; y=0.042 0.104 0.186 0.338 0.479 0.612; p,s,mu=polyfit(x,y,5) 輸出結(jié)果為： p = Columns 1 through 5 0

14、.0193 -0.0110 -0.0430 0.0073 0.2449 Column 6 0.2961 說明擬合的多項式為： 2961.02449.00073.0043.00110.00193.0 2345 xxxxx s = R: 6x6 double df: 0 normr: 2.3684e-016 mu = 0.1669 0.1499 自由度為 0 標準偏差為 2.3684e-016 例 :根據(jù)表中數(shù)據(jù)進行 4階多項式擬合 X 1 3 4 5 6 7

15、 8 9 10 F(x) 10 5 4 2 1 1 2 3 4 x=1 3 4 5 6 7 8 9 10; y=10 5 4 2 1 1 2 3 4; p,s=polyfit(x,y,4); y1=polyval(p,x); plot(x,y,go,x,y1,b--) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 poly2str(p,t) ans = -0.0049945 t4 + 0.11461 t3 - 0.61143 t2 - 1.1005 t + 11.5499 例：電阻和溫度的關系數(shù)據(jù)如下 求 60度時的電阻 . 溫度 20.

16、5 32.7 51.0 73.0 95.7 電阻 765 826 873 942 1032 T=20.5 32.7 51 73 95.7; R=765 826 873 942 1032; a=polyfit(T,R,1); y=poly2str(a,t) y = 3.3987 t + 702.0968 y=polyval(a,T) %計算多項式在某一 點處的值 y = 1.0e+003 * 0.7718 0.8132 0.8754 0.9502 1.0274 plot(T,R,k+,T,y,r*) hold on plot(T,y,b

17、) polyval(a,60) ans = 906.0212 20 30 40 50 60 70 80 90 1 0 0 7 5 0 8 0 0 8 5 0 9 0 0 9 5 0 1 0 0 0 1 0 5 0 例：已知年齡和運動能力的一組數(shù)據(jù)，試確定 二者的關系 (根據(jù)圖形指定次數(shù) ) 年齡 17 19 21 23 25 27 29 第一人 20.48 25.13 26.15 30.0 26.1 20.3 19.35 第二人 24.35 28.11 26.3 31.4 26.92 25.7 21.3 x1=17:2:29; x=x1 x1; y=20.48 25.

18、13 26.15 30.0 26.1 20.3 19.35 24.35 28.11 26.3 31.4 26.92 25.7 21.3; plot(x,y,r+) 16 18 20 22 24 26 28 30 18 20 22 24 26 28 30 32 a=polyfit(x,y,2) a = -0.2003 8.9782 -72.2150 poly2str(a,x) ans = -0.20031 x2 + 8.9782 x - 72.215 x1=17:0.1:29; y1=- 0.20031*x1.2+8.9782*x1- 72.215; hold on;plo

19、t(x1,y1,b) 16 18 20 22 24 26 28 30 18 20 22 24 26 28 30 32 數(shù)據(jù)擬合函數(shù)表 cfit 產(chǎn)生擬合的目標 fit 用庫模型、自定義模型、平滑樣條或 內(nèi)插方法來擬合數(shù)據(jù) fitoptions 產(chǎn)生或修改擬合選項 fittype 產(chǎn)生目標的擬合形式 cflibhelp 顯示一些信息，包括庫模型、三次樣 條和內(nèi)插方法等。 disp 顯示曲線擬合工具的信息 get 返回擬合曲線的屬性 set 對于擬合曲線顯示屬性值 數(shù)據(jù)擬合函數(shù)表 excludedata 指定不參與擬合的數(shù)據(jù) smooth 平滑響應數(shù)據(jù) confint 計算

20、擬合系數(shù)估計值的置信區(qū)間邊界 differentiate 對于擬合結(jié)果求微分 integrate 對于擬合結(jié)果求積分 predint 對于新的觀察量計算預測區(qū)間的邊界 datastates 返回數(shù)據(jù)的描述統(tǒng)計量 feval 估計一個擬合結(jié)果結(jié)果或擬合類型 plot 畫出數(shù)據(jù)點、擬合線、預測區(qū)間、異 常值點和殘差 2.曲線的參數(shù)擬合 第一步：在命令行鍵入 Cftool打開 curve fitting tool對話框； 第二步： 在 curve fitting tool對話框中 單擊 Data按鈕打開 data對話框指 定要分析的（預先存

21、在工作區(qū)間） 數(shù)據(jù)； 第三步：在 curve fitting tool對話框中 單擊 fitting按鈕打開 fitting對話 框，進行設置，實現(xiàn)曲線擬合。 Fitting對話框 包括兩個面板：“ Fit Editor”面板和 “ Tabe of Fits”面板。 （ 1） Fit editor 選擇擬合的文件名、數(shù)據(jù) 集，選擇排除數(shù)據(jù)的文件，比較數(shù)據(jù)擬合 的各種方法，包括庫函數(shù)、自定義的擬合 模型和擬合參數(shù)的選擇。 （ 2） Table of Fits 同時列出所有的擬合 結(jié)果。 兩個面板的詳細描述： New fit 和 Copy

22、fit 按鈕：開始進行曲線 擬合是，單擊 New fit按鈕，它采用默認 的線性多項式擬合數(shù)據(jù)。在原有的擬合形 式上，選擇不同的曲線擬合方法，可以用 Copy fit 按鈕。 Fit name 選項為當前擬合曲線的名字。單 擊 New fit 按鈕時系統(tǒng)會產(chǎn)生默認的文件 名。 Data set 選項為當前的數(shù)據(jù)集。 Exclusion rule 排除異常值的文件名，在 數(shù)據(jù)與處理前建立的文件名。 Center and scale X data 可對觀測數(shù)據(jù) 進行中心化和離散化處理。 Type of fit 擬合的類型，包括參數(shù)擬合和 非參數(shù)擬合兩種。具體包括： （ 1） Custo

23、m Equations 自定義擬合的 線性或非線性方程； （ 2） New equation 使用 Custom Equations 按鈕錢，必須單擊 New equation 按鈕選擇合適的方程； （ 3） Exponential指數(shù)擬合包括兩種形式： y=a*exp(b*x) y=a*exp(b*x)+c*exp(d*x) （ 4） Fourier傅立葉擬合，正弦和余弦之 和（共 8個多項式） )*8s i n ()*8c o s ()*s i n ()*c o s ( )*2s i n ()*2c o s ()*s i n ()*c o s ( )*s i n ()

24、*c o s ( 88110 22110 110 wxbwxawxbwxaa wxbwxawxbwxaa wxbwxaa （ 5） Gaussian 高斯法，包括 8個公式： )2)/)((e x p (*)2)/)((e x p (* )2)/)((e x p (* 888111 111 cbxacbxa cbxa （ 6） Interpolant 內(nèi)插法，包括線性內(nèi)插、 最近鄰內(nèi)插、三次樣條內(nèi)插和 shape- preserving內(nèi)插； （ 7） Polynomial多項式，從一次到九次； （ 8） Rational有理擬合，兩個多項式之比， 分子與分母都是多

25、項式； （ 9） Power指數(shù)擬合，包括兩種形式： y=a*xb y=a*xb+c （ 10） Smoothing spline 平滑樣條擬合， 默認的平滑參數(shù)由擬合的數(shù)據(jù)集來決定， 參數(shù)是 0產(chǎn)生一個分段的線性多項式擬合， 參數(shù)是 1產(chǎn)生一個分段三次多項式擬合； （ 11） Sum of Sin Functions 正弦函數(shù) 的和，采用以下 8個公式： a1*sin(b1*x+c1) a1*sin(b1*x+c1)++ a8*sin(b8*x+c8) （ 12） Weibull 兩個參數(shù)的 Weibull分布， 表達式如下： Y

26、=a*b*x(b-1)*exp(-a*xb) （ 3） Degree of Freedom Adjusted R-Square 調(diào)整自由度以后的殘差的平方， 數(shù)值越接近 1，曲線的擬合效果越好 （ 4） Root Mean Square Error 根的均 方誤差 Table of fits 擬合曲線的列表，可以對每 個列表做如下操作： Delete fit 刪除所選的擬合曲線； Save to workspace 儲存所有的擬合信 息； Table options 選擇與擬合相聯(lián)系的信息。 Fit options 包括一些擬合方法，如線性擬 合、非線性擬合，以及其他選項； 單擊

27、 Apply按鈕：采用上述所選各種方法進 行擬合； 單擊 Immediate apply按鈕，在選擇一個 擬合形式后立即輸出結(jié)果并存儲； Results羅列進行擬合的各種參數(shù)： （ 1） SSE-sum of squares due to error 誤差平方和，越接近 0曲線的擬合 效果越好 （ 2） R-square 越接近 1，曲線的擬合效 果越好 例：用三次和五次多項式擬合下列數(shù)據(jù) rand(state,0) x=1:0.1:3 9:0.1:10; c=2.5 -0.5 1.3 -0.1; y=c(1)+c(2)*x+c(3)*x.2+c(4)*x.3 +(rand(siz

28、e(x))-0.5); cftool(x,y); 建立一個 M文件，并運行上述文件，打開曲 線擬合工具 點擊 fitting按鈕 new fit cubic polynomial--apply results Linear model Poly3: f(x) = p1*x3 + p2*x2 + p3*x + p4 Coefficients (with 95% confidence bounds): p1 = -0.09837 (-0.1095, -0.08729) p2 = 1.275 (1.113, 1.437) p3 = -0.4351 (-

29、1.092, 0.2222) p4 = 2.56 (1.787, 3.332) Goodness of fit: SSE: 2.587 R-square: 0.9993 Adjusted R-square: 0.9993 RMSE: 0.3039 Results： Linear model Poly5: f(x) = p1*x5 + p2*x4 + p3*x3 + p4*x2 + p5*x + p6 Coefficients (with 95% confidence bounds): p1 = 0.001389 (-0.003589, 0.0063

30、67) p2 = -0.03441 (-0.1601, 0.09125) p3 = 0.1934 (-0.9131, 1.3) p4 = 0.2733 (-3.856, 4.402) p5 = 1.013 (-5.785, 7.811) p6 = 1.835 (-2.167, 5.837) Goodness of fit: SSE: 2.552 R-square: 0.9993 Adjusted R-square: 0.9992 RMSE: 0.3133 擬合圖形： 例：用有理擬合方法擬合數(shù)據(jù) hahn1.m hahn

31、1.m是 matlab自帶，描述銅的熱膨 脹與熱力學溫度的相關性，包括兩個向量 temp與 thermex。 load hahn1 cftool(temp,thermex) 分子分母均為 2次 分子分母均為 3次 分子三次、分母二次 分子三次、分母二次的有理多項式擬合鮮果 很好，擬合曲線充分體現(xiàn)了整個數(shù)據(jù)，殘 差隨機分布在 0附近。 3.非參數(shù)擬合 有時我們對擬合參數(shù)的提取或解釋不感 興趣，只想得到一個平滑的通過各數(shù)據(jù)點的 曲線，這種擬合曲線的形式稱之為非參數(shù)擬 合。 非參數(shù)擬合的方法包括 （ 1）插值法 Interpoants （ 2）平滑樣條

32、內(nèi)插法 Smoothing spline 內(nèi)插法： 在已知數(shù)據(jù)點之間估計數(shù)值的過程，包括 Linear 線性內(nèi)差，在每一隊數(shù)據(jù)之間用不 同的線性多項式擬合； Nearest neighbor 最近鄰內(nèi)插，內(nèi)差點 在最相鄰的數(shù)據(jù)點之間； Cubic spline 三次樣條內(nèi)插，在每一隊數(shù) 據(jù)之間用不同的三次多項式擬合； Shape-preserving 分段三次艾爾米特內(nèi) 插 . 平滑樣條內(nèi)插法： 是對雜亂無章的數(shù)據(jù)進行平滑處理，可以用 平滑數(shù)據(jù)的方法來擬合，平滑的方法在數(shù) 據(jù)的預處理中已經(jīng)介紹。 例：用內(nèi)插法擬合 carbon12alpha.mat數(shù)據(jù) load ca

33、rbon12alpha cftool(counts,angle) fit 1 Fitting type of fit Interpolant-- Nearest neighbor fit 2 Fitting type of fit Interpolant-- Shape-preserving 例：用三次樣條內(nèi)插和集中平滑樣條內(nèi)插法擬合下 列數(shù)據(jù) rand(state,0); x=(4*pi)*0 1 rand(1,25); y=sin(x)+.2*(rand(size(x))- .5); cftool(x,y) 曲線的平滑級別用 Smoothing Paramete

34、r選項給定，默認的平滑參數(shù) 值與數(shù)據(jù)集有關，并再單擊 Apply按鈕以 后由工具箱自動計算。對于本數(shù)據(jù)集，默 認的平滑參數(shù)值接近 1，表示平滑樣條接近 于三次樣條，并且?guī)缀跽么┻^每個數(shù)據(jù) 點?？梢宰约褐付▍?shù)值，為 0時，生成一 個分段線性多項式的擬合，為 1時，生成一 個分段三次多項式的擬合，它穿過所有的 數(shù)據(jù)點。 fit2默認平滑參數(shù)下的平滑樣條內(nèi)插擬合結(jié) 果效果最好。 4.基本的擬合界面 Matlab還提供了一個方便簡捷的擬合界面。 它具有擬合快速，操作簡便的有時，但擬 合方法較少。 使用步驟： （ 1）導入數(shù)據(jù)，并畫圖； （ 2）在 tool菜單中單擊 Basic Fi

35、tting對 話框 例：用基本擬合界面擬合 census.mat load census plot(cdate,pop,ro) 在 tool菜單中單擊 Basic Fitting對話框 1 7 5 0 1 8 0 0 1 8 5 0 1 9 0 0 1 9 5 0 2 0 0 0 - 1 0 -5 0 5 10 r e s i d u a l s C u b i c : n o r m o f r e s i d u a l s = 1 2 . 2 3 8 1 7 5 0 1 8 0 0 1 8 5 0 1 9 0 0 1 9 5 0 2 0 0 0 0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 y = 0 . 9 2 * z 3 + 2 5 * z 2 + 7 4 * z + 6 2 w h e r e z = ( x - 1 . 9 e + 0 0 3 ) / 6 2 d a t a 1 cu b i c Y = f ( X )