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第五章 偏微分方程數(shù)值解 Numerical Methods for Partial Differential Equations,5.1 偏微分方程簡介 5.2 離散化公式 5.3 幾種常見偏微分方程的離散化計(jì)算 5.4吸附床傳熱傳質(zhì)模型中偏微分方程求解,本章要求,教學(xué)目的 講解： 偏微分方程離散格式及求解的一般過程 教學(xué)要求 熟記 一階及二階偏微分方程的離散格式； 精通 用EXCEL迭代對(duì)偏微分方程求解； 探索 用兩數(shù)組交替更新的辦法進(jìn)行編程求解； 延伸 對(duì)化學(xué)反應(yīng)工程中物理場(chǎng)的模擬進(jìn)行嘗試。 教學(xué)重點(diǎn) 各種偏微分方程的離散與求解 EXCEL 循環(huán)迭代問題 教學(xué)難點(diǎn) 特殊邊界條件的引入與應(yīng)用,5. 1 偏微分方程簡介,偏微分方程 如果一個(gè)微分方程中出現(xiàn)多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，或者說如果未知函數(shù)和幾個(gè)變量有關(guān)，而且方程中出現(xiàn)未知函數(shù)對(duì)幾個(gè)變量的導(dǎo)數(shù)，那么這種微分方程就是偏微分方程。 在化工或化學(xué)動(dòng)態(tài)模擬方程中，常常有一個(gè)自變量是時(shí)間，其它的自變量為空間位置。如果只考慮一維空間，則只有兩個(gè)自變量；如果考慮兩維空間，則有3個(gè)自變量。 許多化工過程均是通過對(duì)偏微分方程的求解進(jìn)行工藝參數(shù)的確定或數(shù)值模擬。,5.1 偏微分方程簡介,偏微分方程的分類,?線性微分方程 Linear partial differencial equation ?擬線性微分方程 Quasilinear partial differencial equation ?非線性微分方程 Nonlinear partial differencial equation,5.1 偏微分方程簡介,數(shù)學(xué)上的分類： 橢圓方程 Elliptic 拋物線方程 Parabolic 雙曲線方程 Hyperbolic 物理實(shí)際問題的歸類： 波動(dòng)方程(雙曲型）一維弦振動(dòng)模型： 熱傳導(dǎo)方程（拋物線型）一維線性熱傳導(dǎo)方程 拉普拉斯方程（橢圓型）穩(wěn)態(tài)靜電場(chǎng)或穩(wěn)態(tài)溫度分布場(chǎng)）,5.1 微分方程的求解思路,求微分方程數(shù)值解的一般步驟： Step1區(qū)域剖分：首先按一定規(guī)則將整個(gè)定義域分成若干小塊 Step2微分方程離散：構(gòu)造離散點(diǎn)或片的函數(shù)值遞推公式或方程 Step3初始、邊界條件離散：根據(jù)遞推公式，將初值或邊界值離散化，補(bǔ)充方程，啟動(dòng)遞推運(yùn)算 Step4 數(shù)值解計(jì)算：求解離散系統(tǒng)問題 微分方程的定解問題 離散系統(tǒng)的求解問題,,5.2 離散化公式,將自變量在時(shí)間和空間上以一定的間隔進(jìn)行離散化，則應(yīng)變量就變成了這些離散變量的函數(shù)。 一階偏導(dǎo)的離散化公式 一般采用歐拉公式表示 有時(shí)為了保證系統(tǒng)和穩(wěn)定性， 對(duì)時(shí)間的差分往往采用向后公式,,5.2 離散化公式,對(duì)于二階偏導(dǎo)，我們可以通過對(duì)泰勒展開式處理技術(shù)得到下面離散化計(jì)算公式：,5.2 離散化公式推導(dǎo),將uk+1在uk處按二階泰勒式展開： 將uk-1在uk處按二階泰勒式展開： 二式相加得：,5.3幾種常見偏微分方程的離散化計(jì)算,1、 波動(dòng)方程 其中： 為初值條件 為邊值條件 當(dāng)該波動(dòng)方程只提供初值條件時(shí)，稱此方程為波動(dòng)方程的初值問題，二者均提供時(shí)稱為波動(dòng)方程的混合問題。,5.3.1 波動(dòng)方程求解,對(duì)于初值問題，是已知t=0時(shí)，u與 依賴于x的函數(shù)形式，求解不同位置，不同時(shí)刻的u值。而 u是定義在 的二元函數(shù)，即上半平面的函數(shù)。 對(duì)于混合問題除初值外，還有邊值。是已知初值及x=0及x=l 時(shí)u依賴于t的函數(shù)，求解不同位置x，不同時(shí)刻的u值。此時(shí)u是定義在 的帶形區(qū)域上的二元函數(shù)。,5.3.1 波動(dòng)方程求解,方程離散化,整理可得：,邊界條件 初始條件 離散化,,,,5.3.1 波動(dòng)方程求解,例5.1: 用數(shù)值法求解下面偏微分方程。,此微分方程，是在不考慮流體本身熱傳導(dǎo)時(shí)的套管傳熱微分方程.由計(jì)算結(jié)果可知，當(dāng)計(jì)算的時(shí)間序列進(jìn)行到72時(shí)，傳熱過程已達(dá)到穩(wěn)態(tài)，各點(diǎn)上的溫度已不隨時(shí)間的增加而改變。如果改變套管長度或傳熱系數(shù)，則達(dá)到穩(wěn)態(tài)的時(shí)間亦會(huì)改變。,,,EXCEL,5.3.2 一維流動(dòng)熱傳導(dǎo)方程,與波動(dòng)方程的情形類似，用差商近似代替偏商，可以得到一維流動(dòng)傳熱傳導(dǎo)方程的混合問題的差分方程，以其解作為流動(dòng)傳熱傳導(dǎo)方程的近似解。,2、一維流動(dòng)熱傳導(dǎo)方程的混合問題,離 散 化,,將上式進(jìn)行處理得到： 該式是顯式格式。只要保證式中各項(xiàng)系數(shù)大于零，一般情況下是穩(wěn)定的，可以獲得穩(wěn)定的解。 分析上式可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)為了提高數(shù)值精度取適當(dāng)小的Δx 時(shí)，最有可能小于零的系數(shù)是 uin的系數(shù)，若要保證此項(xiàng)系數(shù)大于零，此時(shí)Δt必須相應(yīng)地更小,會(huì)導(dǎo)致計(jì)算量將大大增加，這是顯式格式的缺點(diǎn)，為了克服此缺點(diǎn)，下面提出一種隱式格式： 偏微分方程在 點(diǎn)上進(jìn)行離散化，且對(duì)時(shí)間的偏微分采用向后歐拉公式得到原偏微分方程的離散化公式：,5.3.2 一維流動(dòng)熱傳導(dǎo)方程,從圖5-3中可見要由初值及邊界條件一排一排推上去是不行的，需解線性方程組,同時(shí)添上二邊界條件： 正好共有m+2個(gè)方程，同時(shí)有m+2個(gè)變量，就能解出n+1排上各點(diǎn)值。這樣，每解一個(gè)線性方程組，就可以往上推算一排點(diǎn)的u值，雖然引入了方程組的求解，有可能增加計(jì)算量，但由于隱式格式無條件穩(wěn)定，Δt的取法與Δx 無關(guān)，可以少計(jì)算許多排節(jié)點(diǎn)上的u 值，相應(yīng)于顯式格式來說，最終反而節(jié)省了計(jì)算量。,5.3.2 一維流動(dòng)熱傳導(dǎo)方程,例5.2 考慮縱向?qū)岬奶坠軗Q熱器內(nèi)管各點(diǎn)溫度分布微分方程： 解：首先根據(jù)前面的知識(shí)，將所求 的方程離散化： 代入微分方程并化簡得： 分析上式可知，如果知道了某一時(shí)刻的各點(diǎn)t，（j=0,1,2….10,11），就可以求下一時(shí)刻的各點(diǎn)溫度值t(j=1,2….10),現(xiàn)在已經(jīng)知道了零時(shí)刻管內(nèi)各點(diǎn)的溫度分布及入口處在任何時(shí)刻的溫度，如想求下一時(shí)刻的溫度值，根據(jù)上面的離散化計(jì)算公式，還需知道在j=11處的溫度，這個(gè)溫度可利用給定的邊界條件離散化求得： 有了以上各式，上面的微分方程就可以求解了。,5.3.2 一維流動(dòng)熱傳導(dǎo)方程,EXCEL,,5.3.3 穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱/擴(kuò)散方程,3、穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱/擴(kuò)散方程 在化工導(dǎo)熱及擴(kuò)散過程中，沒有物流的流動(dòng)，僅靠導(dǎo)熱及擴(kuò)散進(jìn)行熱量及質(zhì)量的傳遞。如果此時(shí)系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，也就是說系統(tǒng)中每一個(gè)控制單元的各項(xiàng)性質(zhì)如溫度、濃度等不再隨時(shí)間的改變而改變，系統(tǒng)中的各種性質(zhì)只與其所處的位置有關(guān)，利用化工知識(shí)，我們可以得到下面二維、三維的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱或擴(kuò)散偏微分方程： 二維： 三維： 二維的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱或擴(kuò)散偏微分 方程又稱調(diào)和方程。,常見有三種邊界條件： 第一類邊界條件： 第二類邊界條件： 第三類邊界條件：,離散化公式： 取 ，經(jīng)化簡得： 外節(jié)點(diǎn)（邊界節(jié)點(diǎn)）和內(nèi)節(jié)點(diǎn) 求解方法 劃分網(wǎng)格 建立節(jié)點(diǎn)離散方程 迭代求解（或解稀疏方程組）,5.3.3穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱/擴(kuò)散方程求解,5.3.3穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱/擴(kuò)散方程求解,常用的3種迭代格式： (1)同步迭代： (2)異步迭代： (3)超松弛迭代： 當(dāng)計(jì)算范圍R 為 矩陣區(qū)域，x方向m等分，y方向n等分， 最佳松弛因子為： 由數(shù)學(xué)知識(shí)可知，用這些迭代法求解上面的偏微分方程均收斂。,緊湊迭代,5.3.3 穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱/擴(kuò)散方程求解,例5.3 ：處于傳熱平衡狀態(tài)的某保溫，假設(shè)其形狀為長方體，在x，y兩個(gè)方向上存在熱傳導(dǎo)，且導(dǎo)熱系數(shù)相等，已知邊界溫度分布如下圖所示： 解：取某一微元進(jìn)行能量衡算， 由于已達(dá)傳熱平衡狀態(tài)，故可得： 傳導(dǎo)入熱量-傳導(dǎo)出熱量=0,溫度分布,,5.3.3 穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱/擴(kuò)散方程求解,Microsoft Excel 迭代計(jì)算公式中的循環(huán)引用 在“工具”菜單上，單擊“選項(xiàng)”，再單擊“重新計(jì)算”選項(xiàng)卡。 選中“迭代”復(fù)選框。 若要設(shè)置 Microsoft Excel 進(jìn)行重新計(jì)算的最大次數(shù)，請(qǐng)?jiān)凇白疃嗟螖?shù)”框中鍵入迭代次數(shù)。迭代次數(shù)越高，Excel 用于計(jì)算工作表的時(shí)間越多。 若要設(shè)置兩次迭代結(jié)果之間可以接受的最大誤差，請(qǐng)?jiān)凇白畲笳`差”框中鍵入所需的數(shù)值。數(shù)值越小，結(jié)果越精確，Excel 用于計(jì)算工作表的時(shí)間也越多。,5.4 吸附床傳熱傳質(zhì)模型中 偏微分方程求解實(shí)例,5.4.1 基本設(shè)定及假設(shè) 1.吸附器結(jié)構(gòu)參數(shù)的設(shè)定 上圖所示的是套筒式吸附器，該吸附器的有效長度為L，其有效內(nèi)徑為D,環(huán)隙寬度為δ，吸附器壁厚為δb。導(dǎo)熱流體通過環(huán)隙將熱量傳入或傳出吸附器，吸附質(zhì)通過吸附器上端的小管進(jìn)入或離開吸附器。,5.4.1 基本設(shè)定及假設(shè),2.吸附床外流體傳熱的一些基本假設(shè)： 1). 忽略流體在環(huán)隙寬度δ上的溫度梯度； 2). 忽略熱損失； 3). 忽略吸附器壁厚δb上的溫度梯度，用集中參數(shù)法求取吸附器壁面溫度。 ３.吸附床內(nèi)傳熱傳質(zhì)的一些基本假設(shè)： 1). 吸附床內(nèi)的吸附質(zhì)氣體處于氣滯狀態(tài)； 2). 忽略蒸發(fā)器、冷凝器和吸附床之間的壓力差； 3). 吸附床內(nèi)各計(jì)算微元內(nèi)達(dá)到吸附平衡。吸附量可利用回歸方程計(jì)算； 4. 吸附熱利用微分吸附熱，隨吸附量和吸附溫度的改變而改變；比熱采用有效比熱，亦隨溫度改變，但在計(jì)算微元內(nèi)，可認(rèn)為是常數(shù)； 5. 床層活性炭導(dǎo)熱系數(shù)采用當(dāng)量導(dǎo)熱系數(shù)，可由實(shí)驗(yàn)測(cè)量得到。,5.4.2 流體傳熱模型的建立,在軸方向上取一環(huán)隙微元，作能量分析如下： 1.流體通過流動(dòng)流入環(huán)隙微元的能量為 2.流體通過流動(dòng)流出環(huán)隙微元的能量 3.流體熱傳導(dǎo)在x 處的熱量導(dǎo)入 7 總能量平衡方程,其中： ?f ——流體的密度 uf ——環(huán)隙的流體速度， Sf ——環(huán)隙的橫截面積， Cpf——流體的比熱。,4. 流體熱傳導(dǎo)在x+?x處的熱量導(dǎo)入 5. 微元體傳遞給吸附床的熱量 qt 6. 微元體內(nèi)的能量變化率 為流體的橫截面積,,,,5.4.3 吸附床內(nèi)吸附劑傳熱傳質(zhì)模型的建立,吸附床內(nèi)發(fā)生著熱量和質(zhì)量的傳遞，但質(zhì)量的傳遞是建立在熱量傳遞基礎(chǔ)上的，故只要建立熱量傳遞方程，就可以根據(jù)平衡吸附量方程求出各處的吸附量。吸附床內(nèi)的熱量傳遞主要以熱傳導(dǎo)為主，既有經(jīng)向的熱傳導(dǎo)，也有軸向的熱傳導(dǎo)，為了便于建模分析，選取如圖所示的吸附床微元體，進(jìn)行衡算：,1.軸向?qū)霟崃?:,2.軸向?qū)С鰺崃?3.徑向?qū)霟崃? 4.徑向?qū)С鰺崃?5.微元體內(nèi)的能量變化率 其中 為吸附床層內(nèi)的有效比熱。 6.總能量平衡方程,,5 .4 .4 吸附器內(nèi)/外無量綱化方程,吸附器內(nèi)/外無量綱化方程,無量綱化處理,5 .4 .4 吸附器內(nèi)/外無量綱化方程,整理可得：,其中：,5 .4 .4 吸附器內(nèi)/外無量綱化方程,初始條件：,邊界條件,5.4.6 模型的離散化,,偏導(dǎo)數(shù)的差分離散化,邊界條件離散化處理,5.4.6 模型的離散化,離散化 方 程,離散化系數(shù),5.4.7 模型求解,參數(shù)及求解區(qū)域初始化,偏微分方程系數(shù)計(jì)算,離散化方程系數(shù)計(jì)算,收斂性判斷 各偏導(dǎo)系數(shù)0,方程組迭代求解,輸出結(jié)果,Y,N,縮小時(shí)間步長 重新劃分網(wǎng)格,迭代循環(huán),