第4章 拉普拉斯變換與連續(xù)系統(tǒng)復頻域分析4.6本章習題全解4.1 求下列函數(shù)的拉普拉斯變換（注意：為變量，其它參數(shù)為常量）。（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）（9） （10）（11） （12）（13） （14）（15） （16）（17） （18）（19） （20）（21） （22）（23） （24）解： （2）（3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） （12） （13） （14） (15) (16) (17) (18) ()(19) (20) (21) （22） （23） （24） 4.2 已知，求下列信號的拉普拉斯變換。（1） （2）（3） （4）（5）解：（1）（2）（3）（4）（5）所以4.3 已知信號的拉普拉斯變換如下，求其逆變換的初值和終值。（1） （2）（3） （4）解（1）初值：終值： （2）初值：終值：（3）初值：終值：（4）初值：終值：4.4 求題圖4.4所示信號的單邊拉普拉斯變換。題圖4.4解（1）所以根據(jù)微分性質(zhì)所以注：該小題也可根據(jù)定義求解，可查看（5）小題（2）根據(jù)定義（3）根據(jù)（1）小題的結(jié)果再根據(jù)時移性質(zhì)所以根據(jù)微分性質(zhì)得（4）根據(jù)定義注：也可根據(jù)分部積分直接求?。?）根據(jù)單邊拉氏變換的定義， 本小題與（1）小題的結(jié)果一致。（6）根據(jù)單邊拉氏變換的定義，在是，對比（3）小題，可得4.5 已知為因果信號，求下列信號的拉普拉斯變換。（1） （2）（3） （4）解：（1）根據(jù)尺度性質(zhì)再根據(jù)s域平移性質(zhì)（2）根據(jù)尺度性質(zhì)根據(jù)s域微分性質(zhì)根據(jù)時移性質(zhì)（3）根據(jù)尺度性質(zhì)再根據(jù)s域平移性質(zhì)（4）根據(jù)時移性質(zhì)再根據(jù)尺度性質(zhì)本小題也可先尺度變化得到，再時移單位，得到結(jié)果4.6 求下列函數(shù)的拉普拉斯逆變換。（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）（9） （10）（11） （12）（13） （14）（15） （16）（17） （18）（19） （20）（21） （22）（23） （24）解： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） （12） （13） （14）=（15） =（16） =（17）=（18）=（19） = （20）=（21）=（22）=(23) =(24) ()=4.7 求如題圖4.7所示的單邊周期信號的拉普拉斯變換。題圖4.7（1） 矩形脈沖信號第一周期的時間信號為：則 (2) 第一個周期時間信號為 則 （3） 第一個周期時間信號為：則 (4) 一個周期內(nèi)：則 4.8 已知線性連續(xù)系統(tǒng)的單位沖激響應為。（1）若系統(tǒng)輸入，求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應；（2）若，求系統(tǒng)輸入。解：將系統(tǒng)的單位沖激響應作拉氏變換得系統(tǒng)函數(shù)（1）系統(tǒng)輸入的拉氏變換為根據(jù)系統(tǒng)的S域分析，所以零狀態(tài)響應的拉氏變換為，所以（2）根據(jù)系統(tǒng)的S域分析，所以輸入的拉氏變換為求拉氏反變換得4.9 已知系統(tǒng)微分方程為，求下列輸入時的零狀態(tài)響應。（1）； （2）；（2）。解：系統(tǒng)微分方程在零狀態(tài)下兩邊做拉氏變換得整理得：（1）輸入信號的拉氏變換為所以得做拉氏反變換得零狀態(tài)響應（2）輸入信號的拉氏變換為所以得做拉氏反變換得零狀態(tài)響應（3）輸入信號的拉氏變換為所以得做拉氏反變換得零狀態(tài)響應4.10 利用拉普拉斯變換求解下列系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)、零狀態(tài)響應、零輸入響應和全響應。（1）。（2）（3）； （4）；，解： （1） 將系統(tǒng)方程兩邊拉氏變換得： （2）將系統(tǒng)方程兩邊拉氏變換得：把代入上式，（3） 系統(tǒng)函數(shù)：(4) 4.11 求下列微分方程描述的連續(xù)系統(tǒng)的零輸入響應。（1）；（2）；（3）。解：（1）考慮輸入，將微分方程兩邊做拉氏變換得代入初始條件， 整理得，做拉氏反變換得零輸入響應（2）考慮輸入，將微分方程兩邊做拉氏變換得代入初始條件， 整理得，做拉氏反變換得零輸入響應（3）考慮輸入，將微分方程兩邊做拉氏變換得代入初始條件， 整理得，做拉氏反變換得零輸入響應4.12 已知連續(xù)系統(tǒng)的微分方程為，求在下列輸入時的零輸入響應、零狀態(tài)響應和全響應。（1）；（2）；解：將系統(tǒng)方程兩邊拉氏變換得整理得即令狀態(tài)，得零狀態(tài)響應的拉氏變換為令，即，得零輸入響應的拉氏變換為（1） 輸入的拉氏變換，和初始狀態(tài)得對上式求拉氏反變換得，零狀態(tài)響應零狀態(tài)響應完全響應（2） 輸入的拉氏變換，和初始狀態(tài)得對上式求拉氏反變換得，零狀態(tài)響應零狀態(tài)響應完全響應4.13 已知線性連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)和輸入信號，求系統(tǒng)的完全響應。（1）；（2）。解：根據(jù)系統(tǒng)得s域分析，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應的拉氏變換為（1）所以根據(jù)系統(tǒng)方程可得二階系統(tǒng)特征方程的系數(shù)為1，4，3所以系統(tǒng)的零輸入響應的拉氏變換為所以求拉氏反變換得系統(tǒng)的完全響應為（2）所以根據(jù)系統(tǒng)方程可得三階系統(tǒng)特征方程的系數(shù)為1，3，2，0所以系統(tǒng)的零輸入響應的拉氏變換為所以求拉氏反變換得系統(tǒng)的完全響應為4.14 一線性系統(tǒng)，當輸入為時，零狀態(tài)響應為，求系統(tǒng)的單位沖激響應。解：輸入的拉氏變換為，輸出的拉氏變換為求反拉氏變換得系統(tǒng)的單位沖激響應4.15 已知系統(tǒng)的階躍響應為，為使其零狀態(tài)響應為，求激勵信號。解： 4.16已知線性連續(xù)系統(tǒng)在相同的初始狀態(tài)下，輸入為時，完全響應為；輸入為時，完全響應為；求在相同的初始狀態(tài)下，輸入為時系統(tǒng)的全響應。解：根據(jù)線性系統(tǒng)的s域分析可知，設系統(tǒng)函數(shù)為，零輸入響應的拉氏變換為則有 （1） （2）其中， （3）， （4）將（3）、（4）代入（1）、（2）聯(lián)立解得，所以輸入為時，系統(tǒng)的全響應為4.17 已知系統(tǒng)函數(shù)，試求系統(tǒng)在下列信號激勵時的穩(wěn)態(tài)響應。（1）； （2）(1) 系統(tǒng)函數(shù)：系統(tǒng)的極點分別是 ，位于平面的左半平面，所以可得系統(tǒng)的頻率響應函數(shù)所以系統(tǒng)的正弦穩(wěn)態(tài)響應為(2) 系統(tǒng)函數(shù)：系統(tǒng)的極點分別是 ，位于平面的左半平面，所以可得系統(tǒng)的頻率響應函數(shù)所以系統(tǒng)的正弦穩(wěn)態(tài)響應為4.18 已知系統(tǒng)函數(shù)的零、極點分布如題圖4.18所示，單位沖激響應的初值。（1）求系統(tǒng)函數(shù)；（2）求系統(tǒng)的頻率響應函數(shù)；（3）求系統(tǒng)的單位沖激響應；（4）求系統(tǒng)在激勵下系統(tǒng)的正弦穩(wěn)態(tài)響應。解：（1）根據(jù)題圖可知，系統(tǒng)函數(shù)的極點為，零點為根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)的零極點，可寫出零極點形式為利用初值定理得所以所以（2）系統(tǒng)的頻率響應函數(shù)為（3）對求拉氏反變換得（4）所以，所以正弦穩(wěn)態(tài)響應4.19 已知下列各系統(tǒng)函數(shù)，畫出零、極點圖，求單位沖激響應，畫出波形，并判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。（1）； （2）；（3）； （4）解：(1) 系統(tǒng)零極點圖如下：該系統(tǒng)的所有極點都在左半開平面，所以系統(tǒng)穩(wěn)定。(2) 系統(tǒng)零級點圖如下：該系統(tǒng)的所有極點都在左半開平面，所以系統(tǒng)穩(wěn)定。(3) 系統(tǒng)零極點圖如下： 該系統(tǒng)的所有極點都在左半開平面，所以系統(tǒng)穩(wěn)定。(4) 系統(tǒng)零極點圖如下： 該系統(tǒng)有一個極點位于虛軸上，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。4.20 線性系統(tǒng)如題圖4.20所示，圖中，。（1）求系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)和單位沖激響應；（2）若輸入，求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應。題圖4.20解：（1），根據(jù)題圖可知，求拉氏反變換得單位沖激響應（2），所以求拉氏反變換得系統(tǒng)的零狀態(tài)響應4.21 線性連續(xù)系統(tǒng)如題圖4.21所示。（1）求系統(tǒng)函數(shù)；（2）為使系統(tǒng)穩(wěn)定，求系數(shù)的取值范圍；（3）在臨界穩(wěn)定狀態(tài)下，求系統(tǒng)單位沖激響應。題圖4.21解：根據(jù)題圖的系統(tǒng)框圖，可得出輸入輸出關(guān)系式整理得， 根據(jù)勞斯判據(jù)準則，要使系統(tǒng)穩(wěn)定必須滿足，這里的分別表示分母的各項系數(shù)所以系統(tǒng)穩(wěn)定得條件為，即（3）在臨界穩(wěn)定狀態(tài)下，此時，所以求拉氏反變換得系統(tǒng)單位沖激響應4.22某連續(xù)系統(tǒng)的分母多項式為：，為使系統(tǒng)穩(wěn)定，應滿足什么條件？解： 這是一個三階系統(tǒng)，三階系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是D(s)中全部系數(shù)非零，且同符號，而且還要求滿足：所以根據(jù)題有： 4.23檢驗以下多項式是否為霍爾維茲多項式。（1）；（2）；（3）；解：(1) 根據(jù)羅斯霍爾維茲別準，排出羅斯陣列如下：第一行 1 4 4第二行 3 6 0第三行 2 4 0第四行 0 0 0羅斯陣列排列至此，出現(xiàn)一行元素全為0。可把第3行的一行元素寫為輔助多項式，將對求一階導數(shù)，再將輔助多項式導數(shù)的系數(shù)4，4重新列在第4行，這樣得到新的完整的羅斯陣列為第一行 1 4 4第二行 3 6 0第三行 2 4 0第四行 4 4 0第五行 2 0 0羅斯陣列中第1列元素全大于0，所以是霍爾維茲多項式。（2）；根據(jù)羅斯霍爾維茲別準，排出羅斯陣列如下：第一行 1 10 0第二行 25 4 0第三行 0 0第四行 4 0羅斯陣列中第1列元素全大于0，所以是霍爾維茲多項式。（3）；根據(jù)羅斯霍爾維茲別準，排出羅斯陣列如下：第一行 1 2 9第二行 4 3 4第三行 8 第四行 -22.6以上陣列的第一列元素不全為正，所以不是霍爾維茲多項式。4.24已知線性系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)如下，試判斷各系統(tǒng)的穩(wěn)定性。（1） （2）（3）解：（1）這是一個二階系統(tǒng)，其系統(tǒng)（二階重根系統(tǒng)除外）穩(wěn)定的充要條件是：分母中全部系數(shù)不缺項且同符號，該題目中全部系數(shù)分別為 1，5，4.不缺項且全為正，因此該系統(tǒng)穩(wěn)定。（2）首先將的特征多項式排列羅斯陣列第一行 1 17 6第二行 7 17 0第三行 6 0第四行 0 0第五行 6 0 0因為系數(shù)的羅斯陣列第一列元素全大于零，所以H (s)對應的系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)。（3）H (s)的分母多項式的系數(shù)，H (s)分母多項式的系數(shù)符號不完全相同，所以H (s)對應的系統(tǒng)為不穩(wěn)定系統(tǒng)。4.25已知因果信號的拉氏變換分別如下所示，試問的傅里葉變換是否存在？若存在，寫出的表達式。（1） （2）（3）解：（1）極點：s1=-1+j, s2=-1-j 因為系統(tǒng)所有極點都在左半開平面，所以系統(tǒng)穩(wěn)定，X（jw）存在 X（jw）=X(s)|s=jw=(2) 極點：s1=0,s2=-1 有一個極點在虛軸上，除了將中的以代換外，還要加一系列沖激函數(shù) (3) 極點: s1= -4, s2=1, 所有極點不是都在左半開半面，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定，X（jw）不存在。第5章 連續(xù)時間信號的抽樣與量化5.6本章習題全解5.1 試證明時域抽樣定理。證明： 設抽樣脈沖序列是一個周期性沖激序列，它可以表示為由頻域卷積定理得到抽樣信號的頻譜為： 式中為原信號的頻譜，為單位沖激序列的頻譜?？芍闃雍笮盘柕念l譜由以 為周期進行周期延拓后再與相乘而得到，這意味著如果，抽樣后的信號就包含了信號的全部信息。如果，即抽樣間隔，則抽樣后信號的頻譜在相鄰的周期內(nèi)發(fā)生混疊，此時不可能無失真地重建原信號。 因此必須要求滿足，才能由完全恢復，這就證明了抽樣定理。5.2 確定下列信號的最低抽樣頻率和奈奎斯特間隔： （1）（2）（3） （4）解：抽樣的最大間隔稱為奈奎斯特間隔，最低抽樣速率稱為奈奎斯特速率，最低采樣頻率稱為奈奎斯特頻率。（1），由此知，則，由抽樣定理得：最低抽樣頻率，奈奎斯特間隔。（2）脈寬為400，由此可得，則，由抽樣定理得最低抽樣頻率，奈奎斯特間隔。（3），該信號頻譜的,該信號頻譜的信號頻譜的,則，由抽樣定理得最低抽樣頻率，奈奎斯特間隔。（4）,該信號頻譜的，該信號頻譜的所以頻譜的, 則，由抽樣定理得最低抽樣頻率，奈奎斯特間隔。5.3 系統(tǒng)如題圖5.3所示，。 （1）為從中無失真地恢復，求最大采樣間隔。（2）當時，畫出的幅度譜。題圖 5.3解：（1）先求的頻譜。由此知的頻譜寬度為，且，則，抽樣的最大允許間隔（2），所以為用沖激序列對連續(xù)時間信號為進行采樣，設原輸入信號的頻譜密度為，而單位沖激序列的頻譜密度為： 其中 則根據(jù)頻域卷積定理得抽樣信號的頻譜為： 而，則，幅度譜如下圖所表示。5.4 對信號進行抽樣，為什么一定會產(chǎn)生頻率混疊效應？畫出其抽樣信號的頻譜。解： 由第三章知識知，該單邊指數(shù)信號的頻譜為：其幅度頻譜和相位頻譜分別為單邊非因果指數(shù)函數(shù)的波形、 幅度譜、相位譜如下圖所示，其中。單邊指數(shù)信號的波形和頻譜顯然該信號的頻譜范圍為整個頻域，故無論如何抽樣一定會產(chǎn)生頻率混疊效應。抽樣后的頻譜是將原信號頻譜以抽樣頻率為周期進行周期延拓，幅度變?yōu)樵瓉淼亩玫?。圖略。5.5 題圖5.5所示的三角形脈沖，若以20Hz頻率間隔對其頻率抽樣，則抽樣后頻率對應的時域波形如何？以圖解法說明。題圖 5.5 解：三角形脈沖的頻譜可根據(jù)傅里葉變換的時域微分特性得到，具體求解可參考課本第三章。由此可知，脈寬為幅度為的三角形脈沖其頻譜為。其波形如圖所示。三角函數(shù)的頻譜在中，易求得的頻譜為：在處，為零，圖略。由頻域卷積定理，抽樣信號的頻譜為：其中，。抽樣后的頻譜是將三角形頻譜以為周期做了周期延拓，幅度則變?yōu)樵瓉淼模梢姲l(fā)生了頻譜混疊現(xiàn)象。5.6 若連續(xù)信號的頻譜是帶狀的，利用卷積定理說明當時，最低抽樣頻率只要等于就可以使抽樣信號不產(chǎn)生頻譜混疊。證明：由頻域卷積定理的抽樣信號的頻譜為 抽樣后的頻譜是以抽樣頻率為周期做了周期延拓，幅度則變?yōu)樵瓉淼摹Ｓ捎陬l譜是帶狀的且，所以當時頻譜不會混疊。5.7 如題圖5.7所示的系統(tǒng)。求：（1）求沖激響應函數(shù)與系統(tǒng)函數(shù)；（2）求系統(tǒng)頻率響應函數(shù)，幅頻特性和相頻特性，并畫出幅頻和相頻特性曲線；（3）激勵，求零狀態(tài)響應，畫出其波形；（4）激勵，其中為奈奎斯特抽樣間隔，為點上 的值，求響應。