（二十一）數學分析期終考試題一 敘述題：（每小題5分，共15分）1 開集和閉集2 函數項級數的逐項求導定理3 Riemann可積的充分必要條件二 計算題：（每小題7分，共35分）1、2、求繞x軸旋轉而成的幾何體的體積3、求冪級數的收斂半徑和收斂域4、5、，l為從點P0(2,-1,2)到點（-1，1，2）的方向， 求fl(P0)三 討論與驗證題：（每小題10分，共30分）1、已知，驗證函數的偏導數在原點不連續(xù)，但它在該點可微2、討論級數的斂散性。3、討論函數項級數的一致收斂性。四 證明題：（每小題10分，共20分）1 若收斂，且f（x）在a,+）上一致連續(xù)函數，則有2 設二元函數在開集內對于變量x是連續(xù)的，對于變量y滿足Lipschitz條件：其中為常數證明在D內連續(xù)。參考答案一、1、若集合S中的每個點都是它的內點，則稱集合S為開集；若集合S中包含了它的所有的聚點，則稱集合S為閉集。2 設函數項級數滿足（1）在a，b連續(xù)可導a) 在a，b點態(tài)收斂于b) 在a，b一致收斂于則=在a，b 可導，且3、有界函數在a，b上可積的充分必要條件是，對于任意分法，當時Darboux大和與Darboux小和的極限相等二、1、令（2分）（5分）2、，（2分）所求的體積為：（5分）3、解：由于收斂半徑為(4分），當時，所以收斂域為 (3分）4、（7分）5、解： 設極坐標方程為（4分）（3分）三、1、解、（4分）由于當趨于（0，0）無極限。所以不連續(xù)，同理可的也不連續(xù)，（2分） 2、解：（5分）收斂，所以原級數收斂（5分）3、解：部分和（3分）， 取，時有，所以級數一致收斂（7分）四、證明題（每小題10分，共20分）1、證明：用反證法若結論不成立，則 ，使得，（3分）又因為在f（x）在a,）上一致連續(xù)函數，只要，有，（3分）于是，取上述使的點，不妨設，則對任意滿足的，有取A和A分別等于和，則有，由Cauchy收斂定理，不收斂，矛盾（4分）2、證明：，由Lipschitz條件（1），（6分）又由二元函數在開集內對于變量x是連續(xù)的，（1）式的極限為0，在連續(xù)，因此在D內連續(xù)（4分）（二十二）數學分析期末考試題一 敘述題：（每小題5分，共15分）1 Darboux和 2 無窮限反常積分的Cauchy收斂原理3 Euclid空間二 計算題：（每小題7分，共35分）1、2、求由下列兩條曲線圍成的平面圖形的面積 3、(n是非負整數）4、設具有二階連續(xù)偏導數，求5、求的冪級數展開式三 討論與驗證題：（每小題10分，共20分）1、討論二元函數連續(xù)、偏可導、可微之間的關系。對肯定的結論任選一進行證明；對否定的結論，給出反例2、討論級數的絕對和條件收斂性。四 證明題：（每小題10分，共30分）1 f（x）在0，+）上連續(xù)且恒有f（x）>0，證明在0，+）上單調增加2 設正項級數收斂，單調減少，證明3 ，證明：不存在參考答案一、1、有界函數定義在上，給一種分法，和記，則分別稱為相應于分法的Darboux大和和Darboux小和。2、使得，成立3、向量空間上定義內積運算構成Euclid空間二、1、由于（7分）2、解：兩曲線的交點為（2，2），（0，0），（2分）所求的面積為：（5分）3、 解：=+=+（6分）(1分）4、：=（3分）（4分）5、解： 由于余項，（3分）所以（4分）三、1、解、可微必可偏導和連續(xù)，證明可看課本133頁（4分），可偏導不一定連續(xù)和可微例子可看課本135頁（6分）2、解：當時，級數絕對收斂，（4分）當，由Dirichlet定理知級數收斂，但，所以發(fā)散，即級數條件收斂（4分），當時，級數的一般項不趨于0，所以級數不收斂（2分）四、證明題（每小題10分，共30分）1 證明：（8分）所以函數單調增加（2分）2 證明：，有由此得，（4分）由級數收斂，故可取定使得，又，故使得時，有，（4分）于是當時，有，得證（2分）3、證明：，所以不存在（10分）（二十三）數學分析期末考試題一 敘述題：(每小題5分，共15分）1 微積分基本公式 2 無窮項反常積分3 緊幾合二 計算題：(每小題7分，共35分）1、2、求由下列兩條曲線圍成的平面圖形的面積 3、求的收斂半徑和收斂域4、設，求偏導數和全微分5、三 討論與驗證題：(每小題10分，共30分）1 討論的二重極限和二次極限2 討論的斂散性3、討論函數項的一致收斂性。四 證明題：(每小題10分，共20分）1 設f（x）連續(xù)，證明2 證明滿足參考答案一、1、設在連續(xù)，是在上的一個原函數，則成立。2、設函數在有定義，且在任意有限區(qū)間上可積。若極限存在，則稱反常積分收斂，否則稱反常積分發(fā)散3、如果S的任意一個開覆蓋中總存在一個有限子覆蓋，即存在中的有限個開集，滿足，則稱S為緊集二、1、=（7分）2、解：兩曲線的交點為（-2，4），（1，1），（2分）所求的面積為：（5分）3 ：，收斂半徑為1（4分），由于時，級數不收斂，所以級數的收斂域為（-1，1）（3分）4：=（4分）（3分）5、解：（7分）三、1、解、由于沿趨于（0，0）時，所以重極限不存在（5分），（5分）2：，由于故收斂（4分）；，由于（4分）故收斂，發(fā)散（2分）。3、（3分），所以函數列一致收斂（7分）四、證明題（每小題10分，共20分）1 證明：=（10分）2、證明：，（6分）（4分）