3.3.2 函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù) 函數(shù)的極 值與導(dǎo)數(shù) 內(nèi)容： 函數(shù)極值的概念及其與 導(dǎo)數(shù) 的關(guān)系 應(yīng)用 求函數(shù)的極值 給函數(shù)的極值求 函數(shù)的解析式 給函數(shù)的極值求函 數(shù)的單調(diào)區(qū)間 本課主要學(xué)習(xí) 函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù) 。 以視頻 擺錘極限 轉(zhuǎn)動(dòng)最高點(diǎn) 引入新課 ， 接著探討在 跳水運(yùn)動(dòng)中 ,運(yùn)動(dòng)員相 對(duì)于水面的高度與起跳后的時(shí)間的函數(shù)圖象 ， 從圖象的 增與減定義函數(shù) 極大值的概念 ， 類(lèi)似地借助函數(shù)圖象 定 義函數(shù)極小值的概念 ， 探討判斷函數(shù)極值的方法和步驟 。 重點(diǎn)是理解函數(shù)極值的概念 ， 會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大 值與極小值 ， 掌握利用導(dǎo)數(shù)求不超過(guò)三次的多項(xiàng)式函數(shù) 極值的一般方法 .難點(diǎn)是函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件 和充分條件 為了鞏固新知識(shí) ， 給出 3個(gè)例題和變式 ， 通 過(guò)解決問(wèn)題 說(shuō)明導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)極值問(wèn)題中的應(yīng)用 。 在講述 函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù) 時(shí) ， 采用例題與變式結(jié)合 的方法 ， 通過(guò)例 1和變式 1探討求已知函數(shù) 極值的方法 。 例 2和變式 2、 例 3和變式 3都是利用已知的極值點(diǎn)求函數(shù) 的解析式或函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 。 采用一講一練針對(duì)性講解 的方式 ， 重點(diǎn)理解 導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)極值中 應(yīng)用 。 通過(guò)觀(guān)看視頻，大家一起討論一下 擺錘極限 轉(zhuǎn)動(dòng)最高點(diǎn) 問(wèn)題 . 擺錘極限轉(zhuǎn)動(dòng)最高點(diǎn) 跳水運(yùn)動(dòng)中 ,運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高度 h(單位：米 ) 與起跳后的時(shí)間 t(單位：秒 )存在函數(shù)關(guān)系 h(t)=-4.9t 2+6.5t+10 其圖象如右 . t h o t h o a 0)( ah 0)( th 單調(diào)遞增 0)( th 單調(diào)遞減 y o xdb fca e hg 對(duì)于 d點(diǎn) , 函數(shù) y=f(x)在點(diǎn) x=d的函數(shù)值 f(d)比在其附 近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小， =0. 在點(diǎn) x=d 附近的左側(cè) 0 )(xf )(xf 我們把點(diǎn) d叫做函數(shù) y=f(x)的 極小值點(diǎn) ， f(d)叫做函數(shù) y=f(x)的 極小值 . y o xdb fca e hg 在點(diǎn) x=e 附近的左側(cè) 0 在點(diǎn) x=e 附近的右側(cè) 0 f(x) =0 f(x) <0 極大值 減 f(x) 0 請(qǐng)問(wèn)如何判斷 f (x0)是極大值或是極小值？ 左正右負(fù)為極大，右正左負(fù)為極小 函數(shù) y=f(x)的導(dǎo)數(shù) y/與函數(shù)值和極值之間的關(guān)系為 ( ) A、導(dǎo)數(shù) y/由負(fù)變正 ,則函數(shù) y由減變?yōu)樵?,且有極大值 B、導(dǎo)數(shù) y/由負(fù)變正 ,則函數(shù) y由增變?yōu)闇p ,且有極大值 C、導(dǎo)數(shù) y/由正變負(fù) ,則函數(shù) y由增變?yōu)闇p ,且有極小值 D、導(dǎo)數(shù) y/由正變負(fù) ,則函數(shù) y由增變?yōu)闇p ,且有極大值 D 例 1、求函數(shù) f(x)=x3-12x+12的極值 . 解： =3x2-12=3(x-2)(x+2) )(xf 令 =0 )(xf 得 x=2,或 x=-2 下面分兩種情況討論： (1)當(dāng) 0即 x2,或 x<-2時(shí) ; )(xf (2)當(dāng) <0即 -2<x0,得 x1, 所以 f(x)的單調(diào)增區(qū)間為 (-,-2) (1,+) )( xf )( xf 由 <0,得 -2<x0,列表如下 : x -1 (-1,1) 1 + 0 0 + f(x) 極大值 極小值 )(xf )1,( ),1( 由表可得 ,即 . 0 4 )1(0 )1(4 cba cba f f 又 5a=3b,解得 a=3,b=5,c=2. (2)設(shè) a<0,列表如下 : x -1 (-1,1) 1 - 0 0 0 - f(x) 極小值 極大值 )1,( ),1( )(xf 由表可得 ,即 . 0 4 )1(0 )1(4 cba cba f f 又 5a=3b,解得 a=-3,b=-5,c=2. 練習(xí) 2:已知函數(shù) f(x)=x3+ax2+bx+a2在 x=1處有極值 為 10,求 a、 b的值 . 解 : =3x2+2ax+b=0有一個(gè)根 x=1,故 3+2a+b=0. )(xf 又 f(1)=10,故 1+a+b+a2=10. 由 、解得 或 . 3 3 11 4 b a b a 當(dāng) a=-3,b=3時(shí) , ,此時(shí) f(x)在 x=1處無(wú) 極值 ,不合題意 . 0)1(3)( 2 xxf 當(dāng) a=4,b=-11時(shí) , ).1)(113(1183)( 2 xxxxxf 當(dāng) -11/3<x1時(shí) , ,此時(shí) x=1是 極值點(diǎn) . 0)(0)( xfxf 從而所求的解為 a=4,b=-11. )( xf )( xf 一般地 ,求函數(shù)的極值的方法是 : 解方程 =0.當(dāng) =0時(shí) . 如果在 x0附近的左側(cè) 右側(cè) 那么 ,f(x0)是極大值 ; 如果在 x0附近的左側(cè) 右側(cè) 那么 ,f(x0)是極小值 . 0)( xf 0)( xf 0)( xf0)( xf 即“峰頂” 即“谷底” a b x y )( xfy O 1.（ 2014年天津 )函數(shù) 的定義域?yàn)殚_(kāi)區(qū)間 )(xf 導(dǎo)函數(shù) 在 內(nèi)的圖像如圖所示 ,則函數(shù) 在開(kāi)區(qū)間 內(nèi)有（ ）個(gè)極小值點(diǎn)。 A.1 B.2 C.3 D. 4 )(xf ),( ba ),( ba ),( ba )(xf A f(x) 0 f(x) =0 注意： 數(shù)形結(jié)合以及原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖像的區(qū)別 必做題 : 2.函數(shù) 在 時(shí)有極值 10， 則 a， b的值為（ ） A. 或 B. 或 C. D. 以上都不對(duì) 223)( abxaxxxf 1x 3,3 ba 11,4 ba 1,4 ba 11,4 ba 11,4 ba C 解 :由題設(shè)條件得： 解之得 注意： f/(x0)=0是函數(shù)取得極值的必要不充分條件 注意代 入檢驗(yàn) 3.求下列函數(shù)的極值 : x x y 1 1）（ 161282 23 xxxy ）（ 1.函數(shù) f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+3既有極大值， 又有極小值，則 a的取值范圍為 . 注意： 導(dǎo)數(shù)與方程、不等式的結(jié)合應(yīng)用 選做題 : 32()f x a x b x c x 2.(2012年北京卷 )已知函數(shù) 在點(diǎn) 處取得極大值 5,其導(dǎo)函數(shù) 的圖像 (如圖 )過(guò)點(diǎn)（ 1,0） ,（ 2,0） , 求： （ 1) 的值；（ 2） a,b,c的值； 0 x ( )y f x 0 x 略解： (1)由圖像可知： (2) 注意： 數(shù)形結(jié)合以及函數(shù)與方程思想的應(yīng)用