,返回總目錄,振動(dòng)理論與應(yīng)用,第1章 振動(dòng)的基本理論,Theory of Vibration with Applications,Theory of Vibration with Applications,引 言,振動(dòng)是一種運(yùn)動(dòng)形態(tài)，是指物體在平衡位置附近作往復(fù)運(yùn)動(dòng)。 物理學(xué)知識(shí)的深化和擴(kuò)展物理學(xué)中研究質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)；工程力學(xué)研究研究系統(tǒng)的振動(dòng)，以及工程構(gòu)件和工程結(jié)構(gòu)的振動(dòng)。 振動(dòng)屬于動(dòng)力學(xué)第二類(lèi)問(wèn)題已知主動(dòng)力求運(yùn)動(dòng)。,返回首頁(yè),Theory of Vibration with Applications,振動(dòng)理論與應(yīng)用,振動(dòng)問(wèn)題的研究方法與分析其他動(dòng)力學(xué)問(wèn)題相類(lèi)似：,選擇合適的廣義坐標(biāo)； 分析運(yùn)動(dòng)； 分析受力； 選擇合適的動(dòng)力學(xué)定理； 建立運(yùn)動(dòng)微分方程； 求解運(yùn)動(dòng)微分方程，利用初始條件確定積分常數(shù)。,返回首頁(yè),引 言,Theory of Vibration with Applications,振動(dòng)理論與應(yīng)用,振動(dòng)問(wèn)題的研究方法與分析其他動(dòng)力學(xué)問(wèn)題不同的是：一般情形下，都選擇平衡位置作為廣義坐標(biāo)的原點(diǎn)。,研究振動(dòng)問(wèn)題所用的動(dòng)力學(xué)定理：,矢量動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)中的動(dòng)量定理； 動(dòng)量矩定理； 動(dòng)能定理； 達(dá)朗伯原理。 分析動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)中的拉格朗日方程。,返回首頁(yè),引 言,Theory of Vibration with Applications,振動(dòng)理論與應(yīng)用,振動(dòng)概述,所考察的系統(tǒng)既有慣性又有彈性。 運(yùn)動(dòng)微分方程中，既有等效質(zhì)量，又有等效剛度。,振動(dòng)問(wèn)題的共同特點(diǎn),返回首頁(yè),Theory of Vibration with Applications,振動(dòng)理論與應(yīng)用,Theory of Vibration with Applications,返回首頁(yè),Theoretical Mechanics,第1章 振動(dòng)的基本理論,1.1 振動(dòng)系統(tǒng) 1.2 簡(jiǎn)諧振動(dòng) 1.3 周期振動(dòng)的諧波分析 1.4 非周期函數(shù)的連續(xù)頻譜,目 錄,返回首頁(yè),Theory of Vibration with Applications,1.1 振動(dòng)系統(tǒng),第1章 振動(dòng)的基本理論,返回首頁(yè),Theory of Vibration with Applications,1.1 振動(dòng)系統(tǒng),振動(dòng)系統(tǒng)一般可分為連續(xù)系統(tǒng)或離散系統(tǒng)。 具有連續(xù)分布的質(zhì)量與彈性的系統(tǒng)，稱(chēng)為連續(xù)彈性體系統(tǒng)。彈性體是具有無(wú)限多自由度的系統(tǒng)，它的振動(dòng)規(guī)律要用時(shí)間和空間坐標(biāo)的函數(shù)來(lái)描述，其運(yùn)動(dòng)方程是偏微分方程。,在一般情況下，要對(duì)連續(xù)系統(tǒng)進(jìn)行簡(jiǎn)化，用適當(dāng)?shù)臏?zhǔn)則將分布參數(shù)“凝縮”成有限個(gè)離散的參數(shù)，這樣便得到離散系統(tǒng)。所建立的振動(dòng)方程是常微分方程。由于所具有的自由度數(shù)目上的區(qū)別，離散系統(tǒng)又稱(chēng)為多自由度系統(tǒng)。,按系統(tǒng)的自由度劃分：,振動(dòng)問(wèn)題的分類(lèi),單自由度振動(dòng)一個(gè)自由度系統(tǒng)的振動(dòng)。 多自由度振動(dòng)兩個(gè)或兩個(gè)以上自由度系統(tǒng)的 振動(dòng)。 連續(xù)系統(tǒng)振動(dòng)連續(xù)彈性體的振動(dòng)。這種系統(tǒng) 具有無(wú)窮多個(gè)自由度。,返回首頁(yè),振動(dòng)概述,Theory of Vibration with Applications,1.1 振動(dòng)系統(tǒng),按系統(tǒng)特性或運(yùn)動(dòng)微分方程類(lèi)型劃分：,振動(dòng)問(wèn)題的分類(lèi),線性振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為線性方程的振動(dòng)。,非線性振動(dòng)系統(tǒng)的剛度呈非線性特性時(shí)，將得到非線性運(yùn)動(dòng)微分方程，這種系統(tǒng)的振動(dòng)稱(chēng)為非線性振動(dòng)。,返回首頁(yè),Theory of Vibration with Applications,1.1 振動(dòng)系統(tǒng),返回首頁(yè),Theory of Vibration with Applications,1.1 振動(dòng)系統(tǒng),線性振動(dòng)：相應(yīng)的系統(tǒng)稱(chēng)為線性系統(tǒng)。 線性振動(dòng)的一個(gè)重要特性是線性疊加原理成立。 非線性振動(dòng)：相應(yīng)的系統(tǒng)稱(chēng)為非線性系統(tǒng)。 非線性振動(dòng)的疊加原理不成立。,按激勵(lì)特性劃分：,振動(dòng)問(wèn)題的分類(lèi),自由振動(dòng)沒(méi)有外部激勵(lì)，或者外部激勵(lì)除去后，系統(tǒng)自身的振動(dòng)。 受迫振動(dòng)系統(tǒng)在作為時(shí)間函數(shù)的外部激勵(lì)下發(fā)生的振動(dòng)，這種外部激勵(lì)不受系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的影響。 自激振動(dòng)系統(tǒng)由系統(tǒng)本身運(yùn)動(dòng)所誘發(fā)和控制的激勵(lì)下發(fā)生的振動(dòng)。 參激振動(dòng)激勵(lì)源為系統(tǒng)本身含隨時(shí)間變化的參數(shù)，這種激勵(lì)所引起的振動(dòng)。,返回首頁(yè),振動(dòng)概述,Theory of Vibration with Applications,1.1 振動(dòng)系統(tǒng),返回首頁(yè),Theory of Vibration with Applications,1.2 簡(jiǎn)諧振動(dòng),第1章 振動(dòng)的基本理論,返回首頁(yè),Theory of Vibration with Applications,1.2 簡(jiǎn)諧振動(dòng),1.2.1簡(jiǎn)諧振動(dòng)的表示,1. 用正弦函數(shù)表示簡(jiǎn)諧振動(dòng) 用時(shí)間t的正弦（或余弦）函數(shù)表示的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。其一般表達(dá)式為,一次振動(dòng)循環(huán)所需的時(shí)間T 稱(chēng)為周期；單位時(shí)間內(nèi)振動(dòng)循環(huán)的次數(shù)f 稱(chēng)為頻率。,周期T的單位為秒（s），頻率f的單位為赫茲（Hz），,圓頻率 的單位為弧度/秒（rad/s）。,返回首頁(yè),Theory of Vibration with Applications,1.2 簡(jiǎn)諧振動(dòng),1.2.1簡(jiǎn)諧振動(dòng)的表示,圖描述了用正弦函數(shù)表示的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，它可看成是該圖中左邊半徑為A的圓上一點(diǎn)作等角速度 的運(yùn)動(dòng)時(shí)在x軸上的投影。,如果視x為位移，則簡(jiǎn)諧振動(dòng)的速度和加速度就是位移表達(dá)式關(guān)于時(shí)間t的一階和二階導(dǎo)數(shù)，即,返回首頁(yè),Theory of Vibration with Applications,1.2 簡(jiǎn)諧振動(dòng),1.2.1簡(jiǎn)諧振動(dòng)的表示,可見(jiàn)，若位移為簡(jiǎn)諧函數(shù)，其速度和加速度也是簡(jiǎn)諧函數(shù)，具有相同的頻率。,在相位上，速度和加速度分別超前位移 和 。,重要特征:簡(jiǎn)諧振動(dòng)的加速度大小與位移成正比，但方向總是與位移相反，始終指向平衡位置。,可得到加速度與位移有如下關(guān)系,返回首頁(yè),Theory of Vibration with Applications,1.2 簡(jiǎn)諧振動(dòng),1.2.1簡(jiǎn)諧振動(dòng)的表示,旋轉(zhuǎn)矢量OM 的模為振幅A，角速度為圓頻率 ，任一瞬時(shí)OM 在縱軸上的投影ON 即為簡(jiǎn)諧振動(dòng)表達(dá)式,2. 用旋轉(zhuǎn)矢量表示簡(jiǎn)諧振動(dòng),返回首頁(yè),Theory of Vibration with Applications,1.2 簡(jiǎn)諧振動(dòng),1.2.1簡(jiǎn)諧振動(dòng)的表示,記 , 復(fù)數(shù),復(fù)數(shù)Z的實(shí)部和虛部可分別表示為,簡(jiǎn)諧振動(dòng)的位移x與它的復(fù)數(shù)表示z的關(guān)系可寫(xiě)為,3. 用復(fù)數(shù)表示簡(jiǎn)諧振動(dòng),返回首頁(yè),Theory of Vibration with Applications,1.2 簡(jiǎn)諧振動(dòng),1.2.1簡(jiǎn)諧振動(dòng)的表示,由于,用復(fù)數(shù)表示的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的速度加速度為,也可寫(xiě)成,是一復(fù)數(shù)，稱(chēng)為復(fù)振幅。它包含了振動(dòng)的振幅和相角兩個(gè)信息。用復(fù)指數(shù)形式描述簡(jiǎn)諧振動(dòng)將給運(yùn)算帶來(lái)很多方便。,返回首頁(yè),Theory of Vibration with Applications,1.2 簡(jiǎn)諧振動(dòng),1.2.2簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成,1. 兩個(gè)同頻率振動(dòng)的合成,有兩個(gè)同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng),由于A1 、A2的角速度相等，旋轉(zhuǎn)時(shí)它們之間的夾角( )保持不變，合矢量A也必然以相同的角速度 作勻速轉(zhuǎn)動(dòng),返回首頁(yè),Theory of Vibration with Applications,1.2 簡(jiǎn)諧振動(dòng),1.2.2簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成,由矢量的投影定理,A =A1 +A2,即兩個(gè)同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成的結(jié)果仍然是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其角頻率與原來(lái)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的相同，其振幅和初相角用上式確定。,返回首頁(yè),Theory of Vibration with Applications,1.2 簡(jiǎn)諧振動(dòng),1.2.2簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成,2、兩個(gè)不同頻率振動(dòng)的合成 有兩個(gè)不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng),返回首頁(yè),Theory of Vibration with Applications,1.2 簡(jiǎn)諧振動(dòng),1.2.2簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成,當(dāng)頻率比為有理數(shù)時(shí)，合成為周期振動(dòng)，但不是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，合成振動(dòng)的周期是兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)周期的最小公倍數(shù)。,若 與 之比是無(wú)理數(shù)，則無(wú)這樣一個(gè)周期。其合成振動(dòng)是非周期的。,若 ，對(duì)于 ，則有,返回首頁(yè),Theory of Vibration with Applications,1.2 簡(jiǎn)諧振動(dòng),1.2.2簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成,令,式中的正弦函數(shù)完成了幾個(gè)循環(huán)后，余弦函數(shù)才能完成一個(gè)循環(huán)。這是一個(gè)頻率為 的變幅振動(dòng)，振幅在2A與零之間緩慢地周期性變化。,它的包絡(luò)線,返回首頁(yè),Theory of Vibration with Applications,1.2 簡(jiǎn)諧振動(dòng),1.2.2簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成,這種特殊的振動(dòng)現(xiàn)象稱(chēng)為“拍”，或者說(shuō)“拍”是一個(gè)具有慢變振幅的振動(dòng),返回首頁(yè),Theory of Vibration with Applications,1.3 周期振動(dòng)的諧波分析,第1章 振動(dòng)的基本理論,返回首頁(yè),Theory of Vibration with Applications,1.3 周期振動(dòng)的諧波分析,周期振動(dòng),展成傅氏級(jí)數(shù),n=1,2,3,n=1,2,3,返回首頁(yè),Theory of Vibration with Applications,1.3 周期振動(dòng)的諧波分析,一個(gè)周期振動(dòng)可視為頻率順次為基頻 及整倍數(shù)的若干或無(wú)數(shù)簡(jiǎn)諧振動(dòng)分量的合成振動(dòng)過(guò)程。,在振動(dòng)力學(xué)中將傅氏展開(kāi)稱(chēng)為諧波分析,周期函數(shù)的幅值頻譜圖，相位頻譜圖。,周期函數(shù)的譜線是互相分開(kāi)的，故稱(chēng)為離散頻譜。,返回首頁(yè),Theory of Vibration with Applications,1.3 周期振動(dòng)的諧波分析,函數(shù)的頻譜，說(shuō)明了組成該函數(shù)的簡(jiǎn)諧成分，反映了該周期函數(shù)的特性。 這種分析振動(dòng)的方法稱(chēng)為頻譜分析。 由于自變量由時(shí)間改變?yōu)轭l率，所以頻譜分析實(shí)際上是由時(shí)間域轉(zhuǎn)入頻率域。 這是將周期振動(dòng)展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)的另一個(gè)物理意義。,返回首頁(yè),Theory of Vibration with Applications,1.3 周期振動(dòng)的諧波分析,周期振動(dòng)的諧波分析以無(wú)窮級(jí)數(shù)出現(xiàn)，但一般可以用有限項(xiàng)近似表示周期振動(dòng)。 例1.1 已知一周期性矩形波如圖所示，試對(duì)其作諧波分析。,解矩形波一個(gè)周期內(nèi)函數(shù)F (t)可表示為,表示F(t)的波形關(guān)于t軸對(duì)稱(chēng)，故其平均值為零。,返回首頁(yè),Theory of Vibration with Applications,1.3 周期振動(dòng)的諧波分析,n=1，2，3,于是，得F(t)的傅氏級(jí)數(shù),F(t)是奇函數(shù)，在它的傅氏級(jí)數(shù)中也只含正弦函數(shù)項(xiàng)。在實(shí)際的振動(dòng)計(jì)算中，根據(jù)精度要求，級(jí)數(shù)均取有限項(xiàng)。F(t)的幅值頻譜如圖所示。,返回首頁(yè),Theory of Vibration with Applications,1.4 非周期函數(shù)的連續(xù)頻譜,第1章 振動(dòng)的基本理論,返回首頁(yè),Theory of Vibration with Applications,1.4 非周期函數(shù)的連續(xù)頻譜,函數(shù)f ( t )的傅氏積分公式,f ( t )的傅氏變換,又稱(chēng)非周期函數(shù)f ( t )的頻譜函數(shù)。頻譜函數(shù)的值一般是復(fù)數(shù)。,連續(xù)頻譜,返回首頁(yè),Theory of Vibration with Applications,1.4 非周期函數(shù)的連續(xù)頻譜,例1-2 試求圖所示的單個(gè)矩形脈沖的頻譜圖形。,可求得頻譜函數(shù),f (t)的傅氏積分為,解: f ( t )可表示為,返回首頁(yè),Theory of Vibration with Applications,1.4 非周期函數(shù)的連續(xù)頻譜,其振幅頻譜,頻譜圖,傅氏積分和變換，是研究瞬態(tài)振動(dòng)與隨機(jī)振動(dòng)的重要工具。實(shí)際應(yīng)用時(shí)，可使用計(jì)算機(jī)運(yùn)算或應(yīng)用各種快速傅氏分析儀器(FFT)。,謝謝,