三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式（一） [學(xué)習(xí)目標(biāo)]　1.了解三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式的意義和作用.2.理解誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)過(guò)程.3.能運(yùn)用有關(guān)誘導(dǎo)公式解決一些三角函數(shù)的求值、化簡(jiǎn)和證明問(wèn)題． 知識(shí)點(diǎn)一　誘導(dǎo)公式一～四 (1)公式一：sin(α＋2kπ)＝sin α，cos(α＋2kπ)＝cos α， tan(α＋2kπ)＝tan α，其中k∈Z. (2)公式二：sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α， tan(π＋α)＝tan α. (3)公式三：sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α， tan(－α)＝－tan α. (4)公式四：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α， tan(π－α)＝－tan α. 思考1　任意角α與π＋α，－α，π－α的終邊之間有怎樣的對(duì)稱關(guān)系？ 思考2　設(shè)任意角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x0，y0)，分別寫(xiě)出π＋α，－α，π－α的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)． 知識(shí)點(diǎn)二　誘導(dǎo)公式的記憶 2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，π－α，－α的三角函數(shù)值，等于α的同名函數(shù)值，前面加上一個(gè)把α看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)．簡(jiǎn)記為“函數(shù)名不變，符號(hào)看象限”． 思考　你能用簡(jiǎn)潔的語(yǔ)言概括一下誘導(dǎo)公式一～四的作用嗎？ 題型一　給角求值 例1　求下列各三角函數(shù)值． (1)sin(－π)； (2)cos π； (3)sin[(2n＋1)π－π]． 解　(1)sin(－π)＝－sin π＝－sin(2π＋π) ＝－sin π＝－sin(π－) ＝－sin ＝－. (2)cos π＝cos(2π＋π) ＝cos(π＋)＝－cos ＝－. (3)sin[(2n＋1)π－π]＝sin[2nπ＋(π－π)] ＝sin ＝. 跟蹤訓(xùn)練1　求下列三角函數(shù)值． （1）sin； (2)cos π； (3)tan(－855)． 解　(1)sin＝－sin π＝－sin(6π＋π) ＝－sin π＝－sin＝sin ＝； (2)cos π＝cos(4π＋π) ＝cos π＝cos ＝－cos ＝－； (3)tan(－855)＝－tan 855 ＝－tan(2360＋135) ＝－tan 135＝－tan(180－45)＝tan 45＝1. 題型二　給值求值問(wèn)題 例2　已知cos(α－75)＝－，且α為第四象限角， 求sin(105＋α)的值． 解　∵cos(α－75)＝－<0，且α為第四象限角， ∴α－75是第三象限角． ∴sin(α－75)＝－ ＝－ ＝－. ∴sin(105＋α)＝sin ＝－sin(α－75)＝. 跟蹤訓(xùn)練2　已知cos(π＋α)＝－，π<α<2π，求sin(α－3π)＋cos(α－π)的值． 解　∵cos(π＋α)＝－cos α＝－，∴cos α＝， ∵π<α<2π，∴<α<2π，∴sin α＝－. ∴sin(α－3π)＋cos(α－π)＝－sin(3π－α)＋cos(π－α) ＝－sin(π－α)＋(－cos α)＝－sin α－cos α ＝－(sin α＋cos α)＝－＝. 題型三　三角函數(shù)式的化簡(jiǎn) 例3　化簡(jiǎn)下列各式． （1）； （2）. 解　(1)原式＝ ＝＝－＝－tan α. (2)原式＝ ＝＝ ＝＝－1. 跟蹤訓(xùn)練3　化簡(jiǎn)：(1)； （2）. 解　(1)原式＝ ＝ ＝＝－cos2α. (2)原式＝ ＝－cos θ. 分類討論思想在三角函數(shù)中的應(yīng)用 例4　證明：＝(－1)ncos α，n∈Z. 證明　當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，令n＝2k，k∈Z， 左邊＝ ＝＝＝cos α. 右邊＝(－1)2kcos α＝cos α， ∴左邊＝右邊． 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，令n＝2k－1，k∈Z， 左邊＝ ＝ ＝ ＝＝－cos α. 右邊＝(－1)2k－1cos α＝－cos α， ∴左邊＝右邊． 綜上所述，＝(－1)ncos α，n∈Z成立． 1．sin 585的值為(　　) A．－ B. C．－ D. 2．cos(－)＋sin(－)的值為(　　) A．－ B. C. D. 3．記cos(－80)＝k，那么tan 100等于(　　) A. B．－ C. D．－ 4． 化簡(jiǎn)：. 一、選擇題 1．cos 600的值為(　　) A. B. C．－ D．－ 2．sin2(π＋α)－cos(π＋α)cos(－α)＋1的值為(　　) A．1 B．2sin2α C．0 D．2 3．已知cos(α－π)＝－，且α是第四象限角，則sin α等于(　　) A．－ B. C. D． 4．若sin(－110)＝a，則tan 70等于(　　) A. B. C. D. 5．tan(5π＋α)＝m，則的值為(　　) A. B. C．－1 D．1 6．若sin(π－α)＝log8 ，且α∈，則cos(π＋α)的值為(　　) A. B．－ C． D．以上都不對(duì) 二、填空題 7．已知cos＝，則cos＝ . 8．若cos(π＋α)＝－，π<α<2π，則sin(α－2π)＝ . 9.的值等于 ． 10．已知函數(shù)f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(4)＝3，則f(2 017)的值為 ． 三、解答題 11．化簡(jiǎn)下列各式． (1)sin(－π)cos π； （2）sin(－960)cos 1 470－cos(－240)sin(－210)． 12．若cos(α－π)＝－，求 的值． 當(dāng)堂檢測(cè)答案： 1．答案　A 解析　sin 585＝sin(360＋225)＝sin(180＋45) ＝－sin 45＝－. 2．答案　C 解析　原式＝cos －sin ＝cos －sin ＝－cos ＋sin ＝. 3．答案　B 解析　∵cos(－80)＝k，∴cos 80＝k， ∴sin 80＝. ∴tan 80＝. ∴tan 100＝－tan 80＝－. 4．化簡(jiǎn)：. 解　原式＝ ＝ ＝＝1. 課時(shí)精煉答案 一、選擇題 1．答案　D 解析　cos 600＝cos(360＋240)＝cos 240 ＝cos(180＋60)＝－cos 60＝－. 2．答案　D 解析　原式＝(－sin α)2＋cos αcos(－α)＋1 ＝sin2α＋cos2α＋1＝2. 3．答案　A 解析　∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－， ∴cos α＝，又α是第四象限角， ∴sin α<0，則sin α＝－＝－. 4．答案　B 解析　∵sin(－110)＝－sin 110＝－sin(180－70) ＝－sin 70＝a，∴sin 70＝－a， ∴cos 70＝＝， ∴tan 70＝＝. 5．答案　A 解析　原式＝＝＝. 6．答案　B 解析　∵sin(π－α)＝sin α＝log232－2＝－， ∴cos(π＋α)＝－cos α＝－ ＝－＝－. 二、填空題 7．答案　－ 解析　cos＝cos ＝－cos＝－. 8．答案?。? 解析　由cos(π＋α)＝－，得cos α＝， 故sin(α－2π)＝sin α＝－＝－ ＝－(α為第四象限角)． 9.答案?。? 解析　原式＝ ＝ ＝＝＝＋2. 10．答案?。? 解析　∵f(4)＝asin(4π＋α)＋bcos(4π＋β) ＝asin α＋bcos β＝3， ∴f(2 017)＝asin(2 017π＋α)＋bcos(2 017π＋β) ＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＝－asin α－bcos β ＝－3. 三、解答題 11．解　(1)sin(－π)cos π ＝－sin(6π＋)cos(π＋)＝sin cos ＝. (2)sin(－960)cos 1 470－cos 240sin(－210) ＝－sin(180＋60＋2360)cos(30＋4360) ＋cos(180＋60)sin(180＋30) ＝sin 60cos 30＋cos 60sin 30＝1. 12．解　原式＝ ＝＝＝－tan α. ∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－， ∴cos α＝.∴α為第一象限角或第四象限角． 當(dāng)α為第一象限角時(shí)，cos α＝， sin α＝＝，∴tan α＝＝， ∴原式＝－. 當(dāng)α為第四象限角時(shí)，cos α＝， sin α＝－＝－， ∴tan α＝＝－，∴原式＝. 綜上，原式＝.