量綱和諧原理 我們經(jīng)常遇到許多物理量，如長(zhǎng)度、時(shí)間、質(zhì)量、力、速度、密度及動(dòng)量等。它們的名稱、記號(hào)和量綱如表所示。 表1 流體力學(xué)中常見物理量的量綱 名稱 記號(hào) 量綱 名稱 記號(hào) 量綱 長(zhǎng)度 壓力、切應(yīng)力 、 時(shí)間 重力加速度 質(zhì)量 密度 力 動(dòng)力粘性系數(shù) 速度 v 運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù) 加速度 動(dòng)量 流量 面積 速度v表示單位時(shí)間內(nèi)所經(jīng)歷的距離，它的單位是[米/秒]。距離是長(zhǎng)度l，它的量綱是[]，而時(shí)間t的量綱是[]，故速度v的量綱是[]。 動(dòng)量是質(zhì)量和速度v之積。質(zhì)量的量綱是[]，故動(dòng)量的量綱是[]。 如果我們選定三個(gè)相對(duì)對(duì)立的，例如長(zhǎng)度的量綱[]、時(shí)間的量綱[]、質(zhì)量的量綱[]為基本量綱，那么其他物理量的量綱都可用這三個(gè)基本量綱來表示。如表5-1中所示，例如，加速度的量綱可表示為[]，力的量綱可表示為[]。當(dāng)我們把一些物理量進(jìn)行組合、分析或作比較時(shí)，用量綱表示就比較便利。 如果我們要寫出一個(gè)流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)方程 式子左邊是作用在微團(tuán)的各力和，它可以包括：重力、壓力、粘滯、力彈性力等；右邊是微團(tuán)的慣性力。于是得到 （5-1） 上式中的每項(xiàng)都是力，所以各項(xiàng)的量綱都是[]。又如，關(guān)于理想流體的伯努利方程 表示流管中三項(xiàng)能頭之和保持常數(shù)，即等于總能頭。每項(xiàng)的單位都是米，故它們的量綱都是[L]。不僅如此，在力學(xué)上任何有物理意義的方程或關(guān)系式，每一項(xiàng)的量綱必定相同。這稱為力學(xué)方程的量綱和諧性原理，又稱為“量綱齊次性規(guī)律”。量綱和諧原理是由傅里葉1822年提出來的，它是量綱分析法中具有基本重要性的一個(gè)概念，也是量綱分析法的理論基礎(chǔ)，并可具體表達(dá)成：只有相同類型的物理量才能相加減，也就是相同量綱的物理量才可以相加減或比較大小；不同類型的物理量相加減沒有任何意義。例如，速度可以和速度相加減，但絕不可以加上粘性系數(shù)或壓力。當(dāng)然，相同量綱和不同單位的物理量之間是可以相互加減和比較大小的，因?yàn)橹灰獙⑵鋯挝簧约訐Q算即可完成。 一個(gè)量綱齊次性的方程，可以化為無量綱方程，只要用方程中的任意一項(xiàng)除其他各項(xiàng)。例如，在式（5-1）中，用慣性力項(xiàng)遍除其他各項(xiàng)，于是各項(xiàng)都變成無量綱量，而各無量綱量之和等于，即 由以上討論可見，運(yùn)用量綱可以更明顯地指出物理量的性質(zhì)。 不同量綱的物理量不能相加減，但它們可以根據(jù)某種需要進(jìn)行乘除，從而導(dǎo)出另一量綱的物理量。 量綱和諧原理可以用來檢驗(yàn)新建方程或經(jīng)驗(yàn)公式的正確性和完整性，也可以用來確定公式中物理量的未知指數(shù)，還可以用來建立有關(guān)方程式。對(duì)于量綱齊次的方程，只要用方程的任一項(xiàng)量綱去除其余各項(xiàng)，就可以使方程的每一項(xiàng)都變成無量綱量，方程變?yōu)闊o量綱方程。量綱分析就是基于物理方程具有和諧原理，通過量綱分析和計(jì)算，將原來含有較多物理量的方程轉(zhuǎn)化為含有比原物理量少的無量綱方程，使得為研究這些變量關(guān)系而進(jìn)行的實(shí)驗(yàn)大大簡(jiǎn)化。 量綱分析法原理 在量綱和諧原理基礎(chǔ)上發(fā)展起來的量綱分析法分為瑞利法和定理白金漢定理法。 為了簡(jiǎn)單地說明量綱分析法，我們先來討論理論力學(xué)中熟悉的單擺周期，其關(guān)系式為 （5-2） 假設(shè)，我們先前只見過單擺的物理現(xiàn)象，而還不知這個(gè)表明單擺周期的關(guān)系式時(shí)，可以根據(jù)和擺動(dòng)有關(guān)的物理量，用量綱法進(jìn)行如下探索。 現(xiàn)把有關(guān)物理量和它們的量綱列出如表所示。 表2 單擺擺動(dòng)相關(guān)的物理量及其量綱 物理量 符號(hào) 量綱 物理量 符號(hào) 量綱 長(zhǎng)度 質(zhì)量 時(shí)間 重力加速度 從實(shí)驗(yàn)中觀察到，只要擺動(dòng)的幅度小，周期是隨著和變化的。按照瑞利的方法，假設(shè)和其余變量之間的關(guān)系，可以寫成下一函數(shù)形式，即 常量 （5-3） 其中的指數(shù)和，是待定的未知數(shù)。式中的變量用它們的量綱代替后，得到量綱關(guān)系式 由于上式的左邊可以寫成，故有 但一個(gè)具有物理意義的關(guān)系式，其各項(xiàng)的基本量綱必然相同，或者說，是滿足量綱的齊次性條件的。于是，上式兩邊的每個(gè)量綱的指數(shù)必然相同，即 ， ， 解這些方程后得 代入式（5-3），即得出 常量 或 常量 在解中沒有說明這個(gè)無量綱常量之值，故還得由實(shí)驗(yàn)來決定。 在實(shí)驗(yàn)中，用擺長(zhǎng)不同的擺，測(cè)量它們擺動(dòng)的時(shí)間。我們發(fā)現(xiàn)，只要擺幅小，若測(cè)得擺動(dòng)的時(shí)間各為……，桿的長(zhǎng)度各為……，將得出不變的結(jié)果，即 … 以此代入上式得到 （5-4） 可見，上式和按運(yùn)動(dòng)基本原理導(dǎo)出的式（5-2）完全一樣。 求解上式的過程說明，量綱分析法是個(gè)通過分析工程問題中各有關(guān)量的量綱，利用量綱齊次性條件，探索描述問題方程的有效方法。