第一部分 教材梳理,第3節(jié) 一元一次方程,第二章 方程與不等式,知識(shí)要點(diǎn)梳理,概念定理,1. 一元二次方程 (1)定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是 2 的整式方程，叫做一元二次方程. (2)一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a0)，它的特征是：等式左邊為一個(gè)關(guān)于未知數(shù)x的二次多項(xiàng)式，等式右邊是零，其中ax2叫做二次項(xiàng)， a 叫做二次項(xiàng)系數(shù)；bx叫做一次項(xiàng)， b 叫做一次項(xiàng)系數(shù)； c 叫做常數(shù)項(xiàng).,2. 一元二次方程的解法 (1)直接開平方法 利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法，叫做直接開平方法.直接開平方法適用于解形如(x+a)2=b的一元二次方程.根據(jù)平方根的定義可知，x+a是b的平方根，當(dāng)b0時(shí)，x+a=± ，x=-a± ，當(dāng)b0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根. (2)配方法 配方法的理論根據(jù)是完全平方公式：a0±2ab+b2=(a± b)2，把公式中的a看作未知數(shù)x，并用x代替，則有x2±2bx+b2 =(x±b)2. 配方法的步驟：先把常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，再把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1，再同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，最后配成完全平方公式.,(3)公式法 公式法是用求根公式求一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法. 一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的求根公式： 公式法的步驟：把一元二次方程的各系數(shù)分別代入求根公式，然后計(jì)算得出結(jié)果即可，這里二次項(xiàng)的系數(shù)為a，一次項(xiàng)的系數(shù)為b，常數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為c. (4)因式分解法 因式分解法就是利用因式分解的思想，使方程化為兩個(gè)一次式的乘積等于0的形式，再使這兩個(gè)一次式分別等于0，從而求出方程的解的方法，它是解一元二次方程最常用的方法.,方法規(guī)律,1. 直接開平方法是解一元二次方程最基本的方法.公式法和配方法是最重要的方法.公式法適用于任何一元二次方程(有人稱之為萬能法). 在使用公式法時(shí)，一定要把原方程化成一般形式，以便確定系數(shù)，而且在用公式前應(yīng)先計(jì)算根的判別式的值，以便判斷方程是否有解. 配方法是推導(dǎo)公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法解一元二次方程.,2. 一般解一元二次方程最常用的方法是因式分解法，在運(yùn)用因式分解法時(shí)，一般要先將方程寫成一般形式，同時(shí)應(yīng)使二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù). 3. 如果方程ax2+bx+c=0(a0)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是x1，x2，那 么 也就是說，對(duì)于任何一個(gè)有實(shí) 數(shù)根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項(xiàng)系數(shù)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項(xiàng)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商.,中考考點(diǎn)精講精練,考點(diǎn)1 一元二次方程的解法,考點(diǎn)精講 【例1】(2015廣東)解方程：x2-3x+2=0. 思路點(diǎn)撥：把方程的左邊利用十字相乘法因式分解為(x-1)(x-2)，再利用積為0的特點(diǎn)求解即可. 解：將方程因式分解,得(x-1)(x-2)=0. x-1=0或x-2=0. 解得x1=1，x2=2.,解題指導(dǎo)：解此類題的關(guān)鍵是掌握用因式分解法解一元二次方程的基本思路和步驟. 解此類題要注意以下要點(diǎn)： (1)解一元二次方程的基本思路是降次，解法包括直接開平方法、配方法、求根公式法和因式分解法四種； (2)求根公式法和因式分解法是最常用的兩種方法，重點(diǎn)在于掌握求根公式和因式分解的方法.,考題再現(xiàn) 1. (2012佛山)用配方法解一元二次方程x2-2x-3=0時(shí)，方程變形正確的是 ( ) A. (x-1)2=2 B. (x-1)2=4 C. (x-1)2=1 D. (x-1)2=7 2. (2014珠海)填空：x2-4x+3=(x- )2-1. 3. (2013佛山)方程x2-2x-2=0的解是 . .,B,2,A,B,考題預(yù)測(cè) 4. 已知關(guān)于x的一元二次方程x2+x+c=0有一個(gè)解為x= 1，則c的值為 ( ) A. -2 B. 0 C. 1 D. 2 5. 方程4x2-kx+6=0的一個(gè)根是2，那么k的值和方程的另一個(gè)根分別是 ( ),6. 解下列方程： (1)(x-2)2=25； (2)2x2-3x-4=0；,解：兩邊直接開平方,得x-2=±5. 即x-2=5或x-2=-5. 解得x1=7，x2=-3.,解：用公式法，已知a=2，b=-3，c=-4， =b2-4ac=9+4×2×4=41. 即,(3)x2-2x=2x+1； (4)2x2+14x-16=0.,解：原方程變形,得 x2-4x-1=0. 由a=1，b=-4，c=-1， 得=b2-4ac=16+4×1×1=20. 即,原方程變形,得x2+7x-8=0. 因式分解,得(x+8)(x-1)=0. x+8=0或x-1=0. 解得x1=-8，x2=1.,考點(diǎn)2 一元二次方程根的情況,考點(diǎn)精講 【例2】(2015廣東)若關(guān)于x的方程 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ( ) A. a2 B. a2 C. a2 D. a2 思路點(diǎn)撥：根據(jù)判別式的意義得=12-4 0，然后解一元一次不等式即可. 答案：C,解題指導(dǎo)：解此類題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系. 解此類題要注意以下要點(diǎn)： 一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系： (1)0 方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根； (2)=0 方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根； (3)0 方程沒有實(shí)數(shù)根.,考題再現(xiàn) 1. (2014廣東)關(guān)于x的一元二次方程x2-3x+m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為 ( ) 2. (2015珠海)一元二次方程x2+x+ =0的根的情況是 ( ) A. 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B. 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 C. 無實(shí)數(shù)根 D. 無法確定根的情況,B,B,3. (2014深圳)下列方程沒有實(shí)數(shù)根的是 ( ) A. x2+4x=10 B. 3x2+8x-3=0 C. x2-2x+3=0 D. (x-2)(x-3)=12,C,4. (2015梅州)已知關(guān)于x的方程x2+2x+a-2=0. (1)若該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍； (2)當(dāng)該方程的一個(gè)根為1時(shí)，求a的值及方程的另一根.,解：(1)b2-4ac=22-4×1×(a-2)=12-4a0， 解得a3. a的取值范圍是a3. (2)設(shè)方程的另一根為x1，由根與系數(shù)的關(guān)系得： 解得 a的值是-1，該方程的另一根為-3.,考題預(yù)測(cè) 5. 關(guān)于x的一元二次方程(m-2)x2+(2m+1)x+m-2=0有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是 ( ) 6. 若關(guān)于x的方程x2+2x+a=0不存在實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是 ( ) A. a1 B. a1 C. a1 D. a1,D,B,A,D,7. 已知關(guān)于x的方程x2-2x+3k=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是 ( ) 8. 若關(guān)于x的一元二次方程x2+(2k-1)x+k2-1=0有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是 ( ),考點(diǎn)3 一元二次方程的應(yīng)用,考點(diǎn)精講 【例3】(2013廣東)雅安地震牽動(dòng)著全國(guó)人民的心，某單位開展了“一方有難，八方支援”的賑災(zāi)捐款活動(dòng).第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元. (1)如果第二天、第三天收到捐款的增長(zhǎng)率相同，求捐款增長(zhǎng)率； (2)按照(1)中收到捐款的增長(zhǎng)率速度，第四天該單位能收到多少捐款？,思路點(diǎn)撥：(1)解答此題利用的數(shù)量關(guān)系是：第一天收到捐款錢數(shù)×(1+每次增長(zhǎng)的百分率)2=第三天收到捐款錢數(shù)，設(shè)出未知數(shù)，列方程解答即可； (2)第三天收到捐款錢數(shù)×(1+每次增長(zhǎng)的百分率)=第四天收到捐款錢數(shù)，依此列式解答即可. 解：(1)設(shè)捐款增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意列方程得 10 000×(1+x)2=12 100. 解得x1=0.1，x2=-2.1(不合題意，舍去). 答：捐款增長(zhǎng)率為10%. (2)12 100×(1+10%)=13 310元. 答：第四天該單位能收到13 310元捐款.,解題指導(dǎo)：解此類題的關(guān)鍵是讀懂題意，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程并求解. 解此類題要注意以下要點(diǎn)：增長(zhǎng)率問題通常為一元二次方程的重點(diǎn)應(yīng)用問題，備考時(shí)應(yīng)多加練習(xí)掌握.,考題再現(xiàn) 1. (2015廣州)已知2是關(guān)于x的方程x2-2mx+3m=0的一個(gè)根，并且這個(gè)方程的兩個(gè)根恰好是等腰三角形ABC的兩條邊長(zhǎng)，則三角形ABC的周長(zhǎng)為 ( ) A. 10 B. 14 C. 10或14 D. 8或10 2. (2015佛山)如圖2-3-1，將一塊正方 形空地劃出部分區(qū)域進(jìn)行綠化，原空地一邊 減少了2 m，另一邊減少了3 m，剩余一塊面 積為20 m2的矩形空地，則原正方形空地的邊 長(zhǎng)是 ( ) A. 7 m B. 8 m C. 9 m D. 10 m,B,A,3. (2013湛江)由于受H7N9禽流感的影響，今年4月份雞的價(jià)格兩次大幅下降.由原來每斤12元連續(xù)兩次降價(jià)a%后售價(jià)下調(diào)到每斤5元，下列所列方程中正確的是 ( ) A. 12(1+a%)2=5 B. 12(1-a%)2=5 C. 12(1-2a%)=5 D. 12(1-a2%)=5,B,4. (2015珠海)白溪鎮(zhèn)2012年有綠地面積57.5公頃，該鎮(zhèn)近幾年不斷增加綠地面積，2014年達(dá)到82.8公頃. (1)求該鎮(zhèn)2012至2014年綠地面積的年平均增長(zhǎng)率； (2)若年增長(zhǎng)率保持不變，2015年該鎮(zhèn)綠地面積能否達(dá)到100公頃？,解：(1)設(shè)綠地面積的年平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意得 57.5(1+x)2=82.8. 解得x1=0.2，x2=-2.2(不合題意，舍去). 答：該鎮(zhèn)2012至2014年綠地面積的年平均增長(zhǎng)率為20%. (2)由題意得 82.8(1+0.2)=99.36(萬元). 2015年不能達(dá)到100公頃. 答：2015年該鎮(zhèn)綠地面積不能達(dá)到100公頃.,5. (2015廣州)某地區(qū)2013年投入教育經(jīng)費(fèi)2 500萬元，2015年投入教育經(jīng)費(fèi)3 025萬元. (1)求2013年至2015年該地區(qū)投入教育經(jīng)費(fèi)的年平均增長(zhǎng)率； (2)根據(jù)(1)所得的年平均增長(zhǎng)率，預(yù)計(jì)2016年該地區(qū)將投入教育經(jīng)費(fèi)多少萬元.,解：(1)設(shè)增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意得 2 500(1+x)2=3 025. 解得x1=0.1=10%，x2=-2.1(不合題意，舍去). 答：這兩年投入教育經(jīng)費(fèi)的平均增長(zhǎng)率為10%. (2)3 025×(1+10%)=3 327.5(萬元). 答：預(yù)計(jì)2016年該地區(qū)將投入教育經(jīng)費(fèi)3 327.5萬元.,考題預(yù)測(cè) 6. 如圖2-3-2，一農(nóng)戶要建一個(gè)矩形豬舍，豬舍的一邊利用長(zhǎng)為12 m的住房墻，另外三邊用25 m長(zhǎng)的建筑材料圍成，為方便進(jìn)出，在垂直于住房墻的一邊留一個(gè)1 m寬的門，所圍矩形豬舍的長(zhǎng)、寬分別為多少時(shí)，豬舍面積為80平方米？,解：設(shè)矩形豬舍垂直于住房墻一 邊長(zhǎng)為x m，可以得出平行于墻的一邊 的長(zhǎng)為(25-2x+1)m，由題意得 x(25-2x+1)=80. 化簡(jiǎn)，得x2-13x+40=0. 解得x1=5，x2=8. 當(dāng)x=5時(shí)，26-2x=1612(舍去)， 當(dāng)x=8時(shí)，26-2x=1012， x=8,26-2x=10. 答：所圍矩形豬舍的長(zhǎng)為10 m，寬為8 m.,7. 新興商場(chǎng)經(jīng)營(yíng)某種兒童益智玩具.已知成批購(gòu)進(jìn)時(shí)的單價(jià)是20元.調(diào)查發(fā)現(xiàn)：銷售單價(jià)是30元時(shí)，月銷售量是230件，而銷售單價(jià)每上漲1元，月銷售量就減少10件，但每件玩具售價(jià)不能高于40元.每件玩具的售價(jià)定為多少元時(shí)，月銷售利潤(rùn)恰好為2 520元？,解：設(shè)每件玩具上漲x元，則售價(jià)為(30+x)元， 根據(jù)題意，得(30+x-20)(230-10x)=2 520. 整理方程，得x2-13x+22=0. 解得x1=11，x2=2. 當(dāng)x=11時(shí)，30+x=4140， x=11(不合題意，舍去). x=2. 每件玩具售價(jià)應(yīng)定為：30+2=32(元). 答：每件玩具的售價(jià)定為32元時(shí)，月銷售利潤(rùn)恰好為 2 520元.,8. “創(chuàng)衛(wèi)工作人人參與，環(huán)境衛(wèi)生人人受益”，我區(qū)創(chuàng)衛(wèi)工作已進(jìn)入攻堅(jiān)階段.某校擬整修學(xué)校食堂，現(xiàn)需購(gòu)買A，B兩種型號(hào)的防滑地磚共60塊，已知A型號(hào)地磚每塊80元，B型號(hào)地磚每塊40元. (1)若采購(gòu)地磚的費(fèi)用不超過3 200元，那么，最多能購(gòu)買A型號(hào)地磚多少塊？ (2)某地磚供應(yīng)商為了支持創(chuàng)衛(wèi)工作，現(xiàn)將A，B兩種型號(hào)的地磚單價(jià)都降低a%，這樣，該?；ㄙM(fèi)了2 560元就購(gòu)得所需地磚，其中A型號(hào)地磚a塊，求a的值.,解：(1)設(shè)購(gòu)買A型號(hào)地磚x塊，由題意得 80x+40(60-x)3 200. 解得x20. 答：最多能購(gòu)買A型號(hào)地磚20塊. (2)由題意得 80(1-a%)a+40(1-a%)(60-a)=2 560. 解得a1=a2=20. 經(jīng)檢驗(yàn)，a=20符合題意. 答：a的值為20.,