成才之路 · 數(shù)學,路漫漫其修遠兮 吾將上下而求索,北師大版 · 必修1,函數(shù)應用,第四章,第四章,§1 函數(shù)與方程,1.1 利用函數(shù)的性質 判定方程解的存在,二次函數(shù)是我們很熟悉的一類函數(shù)，以前我們曾研究過其圖像與性質，請大家畫幾個函數(shù)的圖像(畫草圖即可)：(1)yx22x3；(2)yx22x1；(3)yx22x3.畫完以后，請說出你能知道的知識如果我們把二次函數(shù)與其相關的方程：x22x30，x22x10，x22x30放在一起觀察，又會有什么發(fā)現(xiàn)呢？你能再找?guī)讉€函數(shù)與相應的方程看看我們的想法是否正確嗎？,1.函數(shù)的零點 我們把函數(shù)yf(x)的圖像與橫軸的交點的_稱為這個函數(shù)的零點 2零點存在定理 一般地，如果函數(shù)yf(x)在閉區(qū)間a，b上的圖像是連續(xù)曲線，并且有_，那么，函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內至少有一個零點，即至少存在一個c(a，b)，使得f(c)_.這個c就是方程f(x)0的解,橫坐標,f(a)·f(b)0,0,3二次函數(shù)零點與二次方程實根個數(shù)的關系,1.函數(shù)f(x)x23x4的零點是( ) A1，4 B4，1 C1,3 D不存在 答案 B 解析 令x23x40，解得x4或1， 零點為4，1.,答案 D 解析 由f(x)0知f(x)不存在零點,3函數(shù)f(x)lnx1的零點所在的大致區(qū)間為( ) A(1,2) B(2,3) C(3,4) D(4,5) 答案 B 解析 因為在給出的區(qū)間中，只有f(2)·f(3)0，而在其余區(qū)間兩個端點處的函數(shù)值均同號,4二次函數(shù)yax2bxc中，ac0，所以二次函數(shù)與x軸有兩個交點，故函數(shù)有兩個零點,5若f(x)x|x|2，則yf(x)的零點個數(shù)為_ 答案 1,求函數(shù)的零點,規(guī)律總結 1.函數(shù)零點的求法：解方程f(x)0，所得實數(shù)解就是f(x)的零點解三次以上的高次方程時，一般需要因式分解 2對于不能用求根公式的方程f(x)0，可以將它與函數(shù)yf(x)的圖像聯(lián)系起來，圖像與x軸交點的橫坐標即為函數(shù)的零點,答案 D 解析 函數(shù)不存在零點即函數(shù)不與x軸相交或方程無實根對選項A，有兩個零點1或1，對選項B，因為(1)24×2×(1)90， 有兩個零點， 對選項C，有兩個零點1和1，只有D無零點.,函數(shù)的零點與方程根的關系,已知函數(shù)f(x)axb有一個零點是2，求g(x)bx2ax的零點 思路分析 先由f(x)的零點求a，b的關系，再求g(x)的零點,規(guī)律總結 1.函數(shù)yf(x)的零點就是對應方程f(x)0的根 2二次函數(shù)的零點與一元二次方程的實根的關系如下表：,求函數(shù)yx37x6的零點 解析 x37x6(x3x)(6x6) x(x21)6(x1) x(x1)(x1)6(x1) (x1)(x2x6) (x1)(x2)(x3)， 由x37x60即(x1)(x2)(x3)0得x13，x21，x32. 函數(shù)yx37x6的零點為3,1,2.,函數(shù)零點個數(shù)的判斷,判斷函數(shù)f(x)x3lnx的零點的個數(shù) 思路分析 構造函數(shù)ylnx和函數(shù)yx3，從而將原問題轉化為判斷這兩個函數(shù)圖像交點的個數(shù)問題也可利用函數(shù)的單調性借助函數(shù)零點的存在性定理來判斷,規(guī)范解答 解法1：在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)ylnx，yx3的圖像，如圖所示 由圖可知函數(shù)ylnx，yx3的圖像只有一個交點，即函數(shù)f(x)x3lnx只有一個零點,規(guī)律總結 判斷函數(shù)零點的個數(shù)的方法主要有： (1)對于一般函數(shù)的零點個數(shù)的判斷問題，可以利用零點存在性定理來確定零點的存在性，然后借助于函數(shù)的單調性判斷零點的個數(shù) (2)由f(x)g(x)h(x)0，得g(x)h(x)，在同一坐標系下作出y1g(x)和y2h(x)的圖像，利用圖像判定方程根的個數(shù),函數(shù)零點的性質,規(guī)律總結 這是最基本的題型，所用的方法也是基本方法；只要判斷區(qū)間a，b的端點值的乘積是否有f(a)·f(b)0，并且看函數(shù)f(x)的圖像在a，b上是否是連續(xù)曲線即可 解答這類判斷函數(shù)零點的大致區(qū)間的選擇題，只需用零點的性質依次檢驗所提供的區(qū)間，即可得到答案,方程(x1)(x2)(x3)x0的一個實數(shù)根所在的大致區(qū)間不可能是( ) A3，2 B2，1 C0,2 D2,4 答案 D 解析 設f(x)(x1)(x2)(x3)x，則其圖像是連續(xù)曲線，又知f(3)30，所以f(x)在3，2內有零點，即原方程在3，2內有實數(shù)解，同理原方程在2，1，0,2內也必有實數(shù)解，而在區(qū)間2,4上恒有f(x)0，所以f(x)在2,4內沒有零點故選D.,函數(shù)零點的應用,若函數(shù)yax2x1只有一個零點，求實數(shù)a的取值范圍 思路分析 由分類討論思想分為a0，a0兩種情況分別對一次函數(shù)，二次函數(shù)加以判斷,若函數(shù)f(x)x22xa的兩個零點中一個大于1，另一個小于1，那么實數(shù)a的取值范圍是_ 答案 a3 解析 依題意，由圖像可知f(1)3.,關于x的方程mx22(m3)x2m140有兩實根，且一個大于4，一個小于4，求m的取值范圍,規(guī)律總結 解決此類問題首先應將方程問題轉化為函數(shù)圖像問題，然后列不等式(組)求解，若二次項系數(shù)含有參數(shù)，需對系數(shù)分大于0和小于0兩種情況分類討論,