成才之路 · 數(shù)學,路漫漫其修遠兮 吾將上下而求索,人教版 · 必修2,圓的方程,第四章,4.1 圓的方程,第四章,4.1.2 圓的一般方程,1圓的標準方程為_ 2用待定系數(shù)法求圓的標準方程步驟如下： (1)由題意設出標準方程；(2)列出關于a、b、r的方程(或方程組)；(3)解出a、b、r代入標準方程 3由幾何意義求圓的標準方程步驟如下： (1)由題意確定圓心和半徑長；(2)寫出標準方程 4平面幾何中的結論：不共線的_確定一個圓,知識銜接,(xa)2(yb)2r2(r0),三點,答案 C,自主預習,D2E24F0,(3)用“待定系數(shù)法”求圓的方程的大致步驟： 根據(jù)題意，選擇_或_； 根據(jù)條件列出關于a，b，r或D，E，F(xiàn)的_； 解出a，b，r或D，E，F(xiàn)，代入標準方程或一般方程 破疑點 若一個二元方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圓，應滿足的條件是：AC0；B0；D2E24F0.,標準方程,一般方程,方程組,拓展 1.圓的標準方程和一般方程的對比 (1)由圓的標準方程(xa)2(yb)2r2，可以直接看出圓心坐標(a，b)和半徑r，圓的幾何特征明顯 (2)由圓的一般方程x2y2DxEyF0(D2E24F0)，知道圓的方程是一種特殊的二元二次方程，圓的代數(shù)特征明顯 (3)相互轉化，如圖所示,2由圓的一般方程判斷點與圓的位置關系 剖析：已知點M(x0，y0)和圓的方程x2y2DxEyF0(D2E24F0)，則其位置關系如下表：,2.軌跡方程 點M的坐標(x，y)滿足的_稱為點M的軌跡方程 拓展 當動點M的變化是由點P的變化引起的，并且點P在某一曲線C上運動時，常用中間量法(又稱為相關點法)來求動點M的軌跡方程，其步驟是：(1)設動點M(x，y)；(2)用點M的坐標來表示點P的坐標；(3)將所得點P的坐標代入曲線C的方程，即得動點M的軌跡方程,關系式,預習自測,答案 B,2若方程x2y24x2y5k0表示圓，則實數(shù)k的取值范圍是( ) AR B(，1) C(，1 D1，) 答案 B 解析 D2E24F0，16420k0， k1，故選B,3點P(x0，y0)是圓x2y24上的動點，點M是OP(O是原點)的中點，則動點M的軌跡方程是_. 答案 x2y21,(1)(2015·荊州高二檢測)圓x2y22x4y0的圓心坐標為( ) A(1,2) B(1，2) C(1,2) D(1，2),二元二次方程與圓的關系,互動探究,探究 (1)怎樣由圓的一般方程得出其圓心和半徑？ (2)題2中二元二次方程在什么件下表示圓？,答案 (1)B (2)A,規(guī)律總結：(1)判斷一個二元二次方程是否表示圓的步驟是：先看這個方程是否具備圓的一般方程的特征，即x2與y2的系數(shù)相等；不含xy項；當它具有圓的一般方程的特征時，再看它能否表示圓，此時有兩種途徑，一是看D2E24F是否大于零，二是直接配方變形，看右端是否為大于零的常數(shù)即可 (2)圓的標準方程指出了圓心坐標與半徑的大小，幾何特征明顯；圓的一般方程表明圓的方程是一種特殊的二元二次方程，代數(shù)特征明顯,(1)過三點A(1,5)，B(5,5)，C(6，2)的圓的方程是( ) Ax2y24x2y200 Bx2y24x2y200 Cx2y24x2y200 Dx2y24x4y200,用待定系數(shù)法求圓的方程,探究 (1)題1中三點與圓心、半徑無直接聯(lián)系，應怎樣設出圓的方程？ (2)圓的一般方程中含有幾個待定系數(shù)，在求圓的方程時如何求出待定系數(shù)？,答案 (1)C,規(guī)律總結：求圓的方程有以下兩種方法 (1)幾何法利用圓的幾何性質確定出圓心和半徑 (2)待定系數(shù)法大致步驟為： 根據(jù)題意，選擇標準方程或一般方程； 根據(jù)條件列出關于a，b，r或D，E，F(xiàn)的方程組； 解出a，b，r或D，E，F(xiàn)，代入標準方程或一般方程,注：不論是圓的標準方程還是一般方程，必須具備三個獨立條件，才能確定一個圓在選擇圓的標準方程或一般方程時：如果由已知條件容易知圓心坐標、半徑長或可用圓心、半徑長列方程，通常設圓的標準方程；如果已知條件和圓心坐標或半徑長都無直接關系，通常選擇一般方程而利用圓的幾何性質及數(shù)形結合思想又易于尋找解題思路,(1)已知圓經(jīng)過A(2，3)和B(2，5)，若圓心在直線x2y30上，求圓的方程 (2)求過點A(1,0)、B(3,0)和C(0,1)的圓的方程 分析 由題設三個條件，可利用待定系數(shù)法求方程，也可利用弦的中垂線過圓心，先確定圓心，再求圓的半徑,規(guī)律總結：1.第(1)題中，容易發(fā)現(xiàn)，利用圓的性質的解法3比用待定系數(shù)法的解法1和解法2計算量小，充分利用圓的性質可簡化解題過程 2用待定系數(shù)法求圓的方程時，如果由已知條件容易求得圓心坐標、半徑或需利用圓心的坐標或半徑列方程的問題，一般采用圓的標準方程，求出a、b、r即可如果給出圓上三個點坐標或已知條件與圓心或半徑都無直接關系，一般采用一般方程，求出D、E、F即可,已知點P在圓C：x2y28x6y210上運動，求線段OP的中點M的軌跡方程 探究 求動點的軌跡方程即求動點的坐標(x，y)滿足的關系式可以建立點P與點M的坐標之間的關系，由點P的坐標滿足方程x2y28x6y210，得點M的坐標滿足的條件，求出點M的軌跡方程也可以根據(jù)圖形的幾何特征，直接利用圓的定義求解,求軌跡方程,探索延拓,點評 本題解法一為代入法：它用于處理一個主動點與一個被動點問題，只需找出這兩點坐標之間的關系，然后代入主動點滿足的軌跡方程即可本題解法二為定義法：動點的軌跡滿足某種曲線的定義，然后根據(jù)定義直接寫出動點的軌跡方程,規(guī)律總結：求軌跡方程的常用方法： (1)直接法：能直接根據(jù)題目提供的條件列出方程步驟如下： 說明：因為除個別情況外，化簡過程都是同解變形過程，所以證明時步驟可以不寫，如果有特殊情況，可適當予以說明,(2)代入法(也稱相關點代入法)：找到所求動點與已知動點的關系，代入已知動點的所在的方程具體步驟如下： 設所求軌跡上任意一點Q(x，y)，與點Q相關的動點P(x0，y0)； 根據(jù)條件列出x，y與x0，y0的關系式，求得x0，y0(即用x，y表示出來)； 將x0，y0代入已知曲線的方程，從而得到點Q(x，y)滿足的關系式即為所求的軌跡方程,等腰三角形的頂點是A(4,2)，底邊一個端點是B(3,5)，求另一個端點C的軌跡方程，并說明它的軌跡是什么 分析 先設出點C的坐標(x，y)，根據(jù)|AB|AC|列方程化簡整理，即可得點C的軌跡方程，然后由軌跡方程指明軌跡,已知點O(0,0)在圓x2y2kx2ky2k2k10外，求k的取值范圍,易錯點 忽視圓的方程成立的條件,誤區(qū)警示,錯因分析 本題忽視了圓的一般方程x2y2DxEyF0表示圓的條件為D2E24F0，而導致錯誤,思路分析 方程是否滿足表示圓的條件，這是將二元二次方程按圓的方程處理時應首先考慮的問題,當m是什么實數(shù)時，關于x，y的方程(2m2m1)x2(m2m2)y2m20表示的圖形是一個圓？ 錯解 形如Ax2By2F0的方程表示一個圓，只要AB0， 所以2m2m1m2m2，即m22m30， 解得m11，m23. 所以當m1，或m3時，原方程表示的圖形是一個圓,1圓x2y24x6y0的圓心坐標是( ) A(2,3) B(2,3) C(2，3) D(2，3) 答案 D 解析 圓的一般程化成標準方程為(x2)2(y3)213，可知圓心坐標為(2，3),2過坐標原點，且在x軸和y軸上的截距分別為2和3的圓的方程為( ) Ax2y22x3y0 Bx2y22x3y0 Cx2y22x3y0 Dx2y22x3y0 答案 A,3動點P到點A(8,0)的距離是到點B(2,0)的距離是2倍，則動點P的軌跡方程為( ) Ax2y232 Bx2y216 C(x1)2y216 Dx2(y1)216 答案 B,4若方程x2y2DxEyF0表示以(1,2)為圓心，2為半徑的圓，則F_. 答案 1,5判斷下列方程是否表示圓，若是，化成標準方程 (1)x2y22x10； (2)x2y22ay10； (3)x2y220x1210； (4)x2y22ax0.,