成才之路 · 數(shù)學(xué),路漫漫其修遠(yuǎn)兮 吾將上下而求索,北師大版 · 必修5,解三角形,第二章,§3 解三角形的實(shí)際應(yīng)用舉例,第二章,第1課時(shí) 距離和高度問題,實(shí)際問題中的名詞、術(shù)語 1鉛直平面：與_垂直的平面 2基線：在測(cè)量上，我們根據(jù)測(cè)量的需要適當(dāng)確定的線段叫做基線一般來說，基線越_，測(cè)量的精確度越高 3測(cè)量底部不可到達(dá)的建筑物的高度問題，由于底部不可到達(dá)，這類問題不能直接用解三角形的方法解決，但常用_和_，計(jì)算出建筑物頂部或底部到一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離，然后轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題,海平面,長(zhǎng),正弦定理,余弦定理,4方位角：從指正北方向_時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角如圖(1)所示,順,5方向角：相對(duì)于某一正方向(東、西、南、北)的水平角 北偏東°，即由指北方向_旋轉(zhuǎn)°到達(dá)目標(biāo)方向，如圖(2) 北偏西°，即是由指北方向_旋轉(zhuǎn)°到達(dá)目標(biāo)方向,順時(shí)針,逆時(shí)針,6仰角與俯角：目標(biāo)方向線(視線)與水平線的夾角中，當(dāng)目標(biāo)(視線)在水平線_時(shí)，稱為仰角，在水平線_時(shí)，稱為俯角，如圖,上方,下方,2輪船A和輪船B在中午12時(shí)同時(shí)離開海港O，兩船航行方向的夾角為120°，兩船的航行速度分別為25n mile/h,15n mile/h，則下午14時(shí)兩船之間的距離是( ) A50n mile B70n mile C90n mile D110n mile 答案 B,3如圖所示，為了測(cè)量隧道口AB的長(zhǎng)度，給定下列四組數(shù)據(jù)，測(cè)量時(shí)應(yīng)當(dāng)用數(shù)據(jù)( ) A，a，b B，a Ca，b， D，b 答案 C,解析 根據(jù)實(shí)際情況，、都是不易測(cè)量的數(shù)據(jù)，而a，b可以測(cè)得，角也可以測(cè)得，根據(jù)余弦定理AB2a2b22abcos能直接求出AB的長(zhǎng)，故選C.,4從A處望B處的仰角為，從B處望A處的俯角為，則與的關(guān)系為( ) A B C D90° 答案 B 解析 由仰角、俯角的定義知，與互為內(nèi)錯(cuò)角，所以.,5在相距2千米的A、B兩點(diǎn)處測(cè)量目標(biāo)點(diǎn)C，若CAB75°，CBA60°，則A、C兩點(diǎn)之間的距離為_千米,某人在塔AB的正東C處沿著南偏西60°的方向前進(jìn)40m后到達(dá)D處，望見塔在東北方向，若沿途測(cè)得塔的最大仰角為30°，求塔高 分析 從C到D沿途測(cè)塔的仰角，只有測(cè)試點(diǎn)到B的距離最小時(shí)，仰角才最大，即當(dāng)BEDC時(shí)，AEB30°.對(duì)于本題可先求出BD或BC，再求出BE，即可求得AB.,測(cè)量底部不可到達(dá)的建筑物的高度問題,方法總結(jié) 在測(cè)量高度時(shí)，要理解仰角和俯角的概念，區(qū)別在于視線在水平線的上方還是下方，一般步驟是： 根據(jù)已知條件畫出示意圖； 分析與問題有關(guān)的三角形； 運(yùn)用正、余弦定理，有序地解相關(guān)的三角形，逐步求解； 把解出答案還原到實(shí)際問題中,(2014·新課標(biāo)文，16)如圖，為測(cè)量山高M(jìn)N，選擇A和另一座山的山頂C為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn)從A點(diǎn)測(cè)得M點(diǎn)的仰角MAN60°，C點(diǎn)的仰角CAB45°以及MAC75°；從C點(diǎn)測(cè)得MCA60°.已知山高BC100m，則山高M(jìn)N_m . 答案 150m,測(cè)量距離問題,方法總結(jié) (1)求解三角形中的基本元素，應(yīng)由確定三角形的條件個(gè)數(shù)，選擇合適的三角形求解 (2)在測(cè)量上，我們根據(jù)測(cè)量需要適當(dāng)確定的線段叫做基線，如本例的CD.在測(cè)量過程中，要根據(jù)實(shí)際需要選取合適的基線長(zhǎng)度，使測(cè)量具有較高的精確度一般來說，基線越長(zhǎng)，測(cè)量的精確度越高 解三角形時(shí)，通常會(huì)遇到兩種情況：已知量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中，此時(shí)可直接利用正弦定理或余弦定理；已知量與未知量涉及兩個(gè)或幾個(gè)三角形，這時(shí)需要選擇條件足夠的三角形優(yōu)先研究，再逐步在其余的三角形中求出問題的解,如圖所示，貨輪在海上以40km/h的速度沿著方位角(指從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平轉(zhuǎn)角)為140°的方向航行，為了確定船位，船在B點(diǎn)觀測(cè)燈塔A的方位角為110°，航行半小時(shí)后船到達(dá)C點(diǎn)，觀測(cè)燈塔A的方位角是65°.問貨輪到達(dá)C點(diǎn)時(shí)與燈塔A的距離是多少？,分析 根據(jù)所給圖形可以看出，在ABC中，已知BC是半小時(shí)路程，只要根據(jù)所給的方位角數(shù)據(jù)，求出ABC及A的大小，由正弦定理可得出AC的長(zhǎng),綜合應(yīng)用問題,分析 甲、乙兩船航行時(shí)間相同，要求得乙船的速度，只需求得乙船航行的距離B1B2即可連結(jié)A1B2，轉(zhuǎn)化為在A1B1B2中已知兩邊及夾角求對(duì)邊的問題,方法總結(jié) 仔細(xì)觀察圖形，充分利用圖形的幾何性質(zhì)挖掘隱含條件，并通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線將問題納入到三角形中去解決是解此類問題的關(guān)鍵 解三角形應(yīng)用題常見的兩種情況 (1)測(cè)量從一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)到一個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問題，一般可轉(zhuǎn)化為已知兩個(gè)角和一條邊解三角形的問題，從而得到運(yùn)用正弦定理去解決的方法,(2)測(cè)量?jī)蓚€(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問題，一般是把求距離轉(zhuǎn)化為應(yīng)用余弦定理求三角形的邊長(zhǎng)的問題然后把求未知的另外邊長(zhǎng)問題轉(zhuǎn)化為只有一點(diǎn)不能到達(dá)的兩點(diǎn)距離測(cè)量問題，然后運(yùn)用正弦定理解決 解三角形應(yīng)用題要注意兩點(diǎn)： (1)讀懂題意，理解問題的實(shí)際背景，明確已知和所求，準(zhǔn)確理解應(yīng)用題中的有關(guān)術(shù)語、名稱理清量與量之間的關(guān)系 (2)將三角形的解還原為實(shí)際問題，注意實(shí)際問題中的單位、近似計(jì)算要求,方法總結(jié) 本題中理解方位角是解題的關(guān)鍵北偏東75°是指以正北方向?yàn)槭歼叄槙r(shí)針方向轉(zhuǎn)75°.,辨析 本題在解ACD時(shí)，利用余弦定理求AD，產(chǎn)生了增解，應(yīng)用正弦定理來求解,