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常微分方程,偏微分方程,含未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的方程叫做微分方程 .,方程中所含未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)叫做微分方程,(本章內(nèi)容),( n 階顯式微分方程),微分方程的基本概念,一般地 , n 階常微分方程的形式是,的階.,,分類,或,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,— 使方程成為恒等式的函數(shù).,通解,— 解中所含獨(dú)立的任意常數(shù)的個數(shù)與方程,— 確定通解中任意常數(shù)的條件.,n 階方程的初始條件(或初值條件):,的階數(shù)相同.,特解,,通解:,特解:,微分方程的解,— 不含任意常數(shù)的解,,定解條件,,其圖形稱為積分曲線.,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,,定義3,2.微分方程的解（幾何意義）：,轉(zhuǎn)化,可分離變量微分方程,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,第二節(jié),解分離變量方程,可分離變量方程,,第七章,分離變量方程的解法:,設(shè) y＝? (x) 是方程①的解,,兩邊積分, 得,①,則有恒等式,,,②,當(dāng)G(y) 與F(x) 可微且 G’(y) ＝g(y)≠0 時,,說明由②確定的隱函數(shù) y＝?(x) 是①的解.,則有,稱②為方程①的隱式通解, 或通積分.,同樣,當(dāng)F’(x),= f (x)≠0 時,,上述過程可逆,,由②確定的隱函數(shù) x＝?(y) 也是①的解.,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,形如,的方程叫做齊次方程 .,令,代入原方程得,兩邊積分, 得,積分后再用,代替 u,,便得原方程的通解.,解法:,分離變量:,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,第三節(jié) 齊次方程,內(nèi)容小結(jié),1. 微分方程的概念,微分方程;,定解條件;,2. 可分離變量方程的求解方法:,說明: 通解不一定是方程的全部解 .,有解,后者是通解 , 但不包含前一個解 .,例如, 方程,分離變量后積分;,根據(jù)定解條件定常數(shù) .,解;,階;,通解;,特解,y = – x 及 y = C,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,3 .齊次方程的求解方法:,令,找出事物的共性及可貫穿于全過程的規(guī)律列方程.,常用的方法:,1) 根據(jù)幾何關(guān)系列方程 ( 如: P263,5(2) ),2) 根據(jù)物理規(guī)律列方程 ( 如: 例4 , 例 5 ),3) 根據(jù)微量分析平衡關(guān)系列方程 ( 如: 例6 ),(2) 利用反映事物個性的特殊狀態(tài)確定定解條件.,(3) 求通解, 并根據(jù)定解條件確定特解.,3. 解微分方程應(yīng)用題的方法和步驟,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,一、一階線性微分方程,一階線性微分方程標(biāo)準(zhǔn)形式:,若 Q(x) ? 0,,稱為非齊次方程 .,1. 解齊次方程,分離變量,兩邊積分得,故通解為,稱為齊次方程 ;,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,對應(yīng)齊次方程通解,齊次方程通解,非齊次方程特解,2. 解非齊次方程,用常數(shù)變易法:,則,故原方程的通解,,,即,即,作變換,,,,,兩端積分得,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,該定理易讓我們想起 《線性代數(shù)》中的 一階非齊次線性方程 組的解的結(jié)構(gòu)定理。,二、伯努利 ( Bernoulli )方程,伯努利方程的標(biāo)準(zhǔn)形式:,令,,求出此方程通解后,,除方程兩邊 , 得,換回原變量即得伯努利方程的通解.,解法:,(線性方程),,伯努利 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,內(nèi)容小結(jié),1. 一階線性方程,方法1 先解齊次方程 , 再用常數(shù)變易法.,方法2 用通解公式,化為線性方程求解.,2. 伯努利方程,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,思考與練習(xí),判別下列方程類型:,提示:,可分離 變量方程,,,齊次方程,,線性方程,,線性方程,,伯努利方程,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,可降階高階微分方程,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,第五節(jié),一、 型的微分方程,二、 型的微分方程,三、 型的微分方程,第七章,解法：降階,一、,令,因此,即,同理可得,依次通過 n 次積分, 可得含 n 個任意常數(shù)的通解 .,型的微分方程,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,既不含未知函數(shù)y,也不含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解法: 連續(xù)積分n次 ，便得通解。,型的微分方程,設(shè),原方程化為一階方程,設(shè)其通解為,則得,再一次積分, 得原方程的通解,二、,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,即含自變量x, 不含未知函數(shù)y,三、,型的微分方程,令,故方程化為,設(shè)其通解為,即得,分離變量后積分, 得原方程的通解,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,即含有未知函數(shù)y, 不含自變量x,內(nèi)容小結(jié),可降階微分方程的解法,—— 降階法,逐次積分,令,令,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,思考與練習(xí),1. 方程,如何代換求解 ?,答: 令,或,一般說, 用前者方便些.,均可.,有時用后者方便 .,例如,,2. 解二階可降階微分方程初值問題需注意哪些問題 ?,答: (1) 一般情況 , 邊解邊定常數(shù)計算簡便.,(2) 遇到開平方時, 要根據(jù)題意確定正負(fù)號.,例6,例7,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,n 階線性微分方程的一般形式為,方程的共性,為二階線性微分方程.,例1,例2,— 可歸結(jié)為同一形式:,時, 稱為非齊次方程 ;,時, 稱為齊次方程.,,復(fù)習(xí): 一階線性方程,通解:,,非齊次方程特解,,齊次方程通解Y,,,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,證畢,二、線性齊次方程解的結(jié)構(gòu),是二階線性齊次方程,的兩個解,,也是該方程的解.,證:,代入方程左邊, 得,(疊加原理),,定理1.,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,是不是所給二階方程的通解？,問題：,說明:,不一定是所給二階方程的通解.,例如,,是某二階齊次方程的解,,也是齊次方程的解,并不是通解！,但是,則,為解決通解的判別問題,,,下面引入函數(shù)的線性相關(guān)與,線性無關(guān)概念.,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,定義:,是定義在區(qū)間 I 上的,n 個函數(shù),,使得,則稱這 n個函數(shù)在 I 上線性相關(guān),,否則稱為線性無關(guān).,例如，,在(?? , ?? )上都有,故它們在任何區(qū)間 I 上都線性相關(guān);,又如，,若在某區(qū)間 I 上,則根據(jù)二次多項(xiàng)式至多只有兩個零點(diǎn) ,,必需全為 0 ,,可見,在任何區(qū)間 I 上都 線性無關(guān).,若存在不全為 0 的常數(shù),機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,兩個函數(shù)在區(qū)間 I 上線性相關(guān)與線性無關(guān)的充要條件:,線性相關(guān),存在不全為 0 的,使,線性無關(guān),,常數(shù),思考:,中有一個恒為 0, 則,必線性,,相關(guān),(證明略),線性無關(guān),機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,定理 2.,是二階線性齊次方程的兩個線,性無關(guān)特解, 則,數(shù)) 是該方程的通解.,例如, 方程,有特解,且,,常數(shù),,故方程的通解為,(自證),推論.,是 n 階齊次方程,的 n 個線性無關(guān)解,,則方程的通解為,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,三、線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu),是二階非齊次方程,的一個特解,,Y (x) 是相應(yīng)齊次方程的通解,,定理 3.,則,是非齊次方程的通解 .,證: 將,代入方程①左端, 得,,,,②,①,復(fù)習(xí) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,是非齊次方程的解,,又Y 中含有,兩個獨(dú)立任意常數(shù),,例如, 方程,有特解,對應(yīng)齊次方程,有通解,因此該方程的通解為,證畢,因而 ② 也是通解 .,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,定理 4.,分別是方程,的特解,,是方程,的特解. (非齊次方程之解的疊加原理),定理3, 定理4 均可推廣到 n 階線性非齊次方程.,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,定理 5.,是對應(yīng)齊次方程的 n 個線性,無關(guān)特解,,給定 n 階非齊次線性方程,是非齊次方程的特解,,則非齊次方程,的通解為,,齊次方程通解,非齊次方程特解,,,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,*四、常數(shù)變易法,復(fù)習(xí):,常數(shù)變易法:,對應(yīng)齊次方程的通解:,設(shè)非齊次方程的解為,代入原方程確定,對二階非齊次方程,情形1. 已知對應(yīng)齊次方程通解:,,設(shè)③的解為,③,由于有兩個待定函數(shù), 所以要建立兩個方程:,④,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,⑤,令,于是,將以上結(jié)果代入方程 ①:,,,得,⑥,故⑤, ⑥的系數(shù)行列式,P10 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,積分得:,代入③ 即得非齊次方程的通解:,于是得,說明:,將③的解設(shè)為,只有一個必須滿足的條件即方程③,,因此必需再附加一,個條件,,方程⑤的引入是為了簡化計算.,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,情形2.,僅知③的齊次方程的一個非零特解,代入 ③ 化簡得,,,設(shè)其通解為,積分得,(一階線性方程),由此得原方程③的通解:,代入③ 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,常系數(shù),機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,第七節(jié),齊次線性微分方程,基本思路:,求解常系數(shù)線性齊次微分方程,,求特征方程(代數(shù)方程)之根,轉(zhuǎn)化,第七章,二階常系數(shù)齊次線性微分方程:,和它的導(dǎo)數(shù)只差常數(shù)因子,,代入①得,稱②為微分方程①的特征方程,,1. 當(dāng),時, ②有兩個相異實(shí)根,方程有兩個線性無關(guān)的特解:,因此方程的通解為,( r 為待定常數(shù) ),,,①,所以令①的解為,②,則微分,其根稱為特征根.,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,,,2. 當(dāng),時, 特征方程有兩個相等實(shí)根,則微分方程有一個特解,設(shè)另一特解,( u (x) 待定),代入方程得:,,,是特征方程的重根,取 u = x , 則得,因此原方程的通解為,,,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,3. 當(dāng),時, 特征方程有一對共軛復(fù)根,利用解的疊加原理 , 得原方程的線性無關(guān)特解:,因此原方程的通解為,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,這時原方程有兩個復(fù)數(shù)解（歐拉公式 ),小結(jié):,特征方程:,實(shí)根,以上結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程 .,,,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,若特征方程含 k 重復(fù)根,若特征方程含 k 重實(shí)根 r , 則其通解中必含對應(yīng)項(xiàng),則其通解中必含,對應(yīng)項(xiàng),特征方程:,推廣: n階常系數(shù)齊次線性方程,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,由于n次代數(shù)方程有n個根，而每個根對應(yīng)著通解中 的一項(xiàng)，且每一項(xiàng)各含一個任意常數(shù)。將上表中各對應(yīng) 項(xiàng)相加，就得到n階微分方程的通解。,小結(jié): 解法,內(nèi)容小結(jié),特征根:,(1) 當(dāng),時, 通解為,(2) 當(dāng),時, 通解為,(3) 當(dāng),時, 通解為,可推廣到高階常系數(shù)線性齊次方程求通解 .,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,思考與練習(xí),求方程,的通解 .,答案:,通解為,通解為,通解為,作業(yè) P310 1 (3) , (6) , (10) ; 2 (2) , (3) , (6) ; 3,第九節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,常系數(shù)非齊次線性微分方程,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,第八節(jié),一、,二、,第七章,二階常系數(shù)線性非齊次微分方程 :,根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理 , 其通解為,求特解的方法,的待定形式,,代入原方程比較兩端表達(dá)式以確定待定系數(shù) .,①,— 待定系數(shù)法:,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,根據(jù) f (x) 的兩種特殊形式 ,,一、,? 為實(shí)數(shù) ,,設(shè)特解為,其中 為待定多項(xiàng)式 ,,代入原方程 , 得,,(1) 若 ? 不是特征方程的根,,則取,從而得到特解,形式為,,,,,,為 m 次多項(xiàng)式 .,,Q (x) 為 m 次待定系數(shù)多項(xiàng)式,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,(2) 若? 是特征方程的單根 ,,為m 次多項(xiàng)式,,故特解形式為,(3) 若 ? 是特征方程的重根 ,,是 m 次多項(xiàng)式,,故特解形式為,小結(jié),對方程①,,此結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程 .,,,即,即,當(dāng)? 是特征方程的 k 重根 時,,可設(shè),,特解,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,簡例,二、,第二步 求出如下兩個方程的特解,分析思路:,第一步 將 f (x) 轉(zhuǎn)化為,第三步 利用疊加原理求出原方程的特解,第四步 分析原方程特解的特點(diǎn),機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,第一步,利用歐拉公式將 f (x) 變形,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,第二步 求如下兩方程的特解,是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1),,故,等式兩邊取共軛 :,為方程 ③ 的特解 .,②,③,設(shè),則 ② 有,特解:,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,第三步 求原方程的特解,利用第二步的結(jié)果, 根據(jù)疊加原理, 原方程有特解 :,原方程,,均為 m 次多項(xiàng)式 .,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,第四步 分析,因,均為 m 次實(shí),多項(xiàng)式 .,本質(zhì)上為實(shí)函數(shù) ,,,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,小 結(jié):,對非齊次方程,則可設(shè)特解:,其中,為特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1),,上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形.,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,內(nèi)容小結(jié),? 為特征方程的 k (＝0, 1, 2) 重根,,則設(shè)特解為,為特征方程的 k (＝0, 1 )重根,,則設(shè)特解為,3. 上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形.,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,思考與練習(xí),時可設(shè)特解為,時可設(shè)特解為,,,提示:,1 . (填空) 設(shè),機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2. 求微分方程,的通解 (其中,為實(shí)數(shù) ) .,解: 特征方程,特征根:,對應(yīng)齊次方程通解:,時,,代入原方程得,故原方程通解為,時,,代入原方程得,故原方程通解為,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,3. 已知二階常微分方程,有特解,求微分方程的通解 .,解: 將特解代入方程得恒等式,比較系數(shù)得,,,,故原方程為,對應(yīng)齊次方程通解:,,,,,,原方程通解為,,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,?第十節(jié),歐拉方程,歐拉方程,,常系數(shù)線性微分方程,第十二章,歐拉方程的算子解法:,則,計算繁!,,,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,則由上述計算可知:,用歸納法可證,于是歐拉方程,轉(zhuǎn)化為常系數(shù)線性方程:,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,思考: 如何解下述微分方程,提示:,,,原方程,,直接令,作業(yè) P319 2 ; 6; 8,第11節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,第十一節(jié),微分方程的冪級數(shù)解法,一、一階微分方程問題,二、二階齊次線性微分方程問題,微分方程解法:,積分法,— 只能解一些特殊類型方程,冪級數(shù)法,— 本節(jié)介紹,數(shù)值解法,— 計算數(shù)學(xué)內(nèi)容,本節(jié)內(nèi)容:,第十二章,一、一階微分方程問題,冪級數(shù)解法:,將其代入原方程, 比較同次冪系數(shù)可定常數(shù),,由此確定的級數(shù)①即為定解問題在收斂區(qū)間內(nèi)的解.,①,設(shè)所求解為,本質(zhì)上是待定系數(shù)法,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,常系數(shù)線性微分方程組,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,*第十二節(jié),解法舉例,解方程組,高階方程求解,消元,,,代入法,算子法,第十一章,常系數(shù)線性微分方程組解法步驟:,第一步 用消元法消去其他未知函數(shù) , 得到只含一個 函數(shù)的高階方程 ;,第二步 求出此高階方程的未知函數(shù) ;,第三步 把求出的函數(shù)代入原方程組 ,,注意: 一階線性方程組的通解中,,任意常數(shù)的個數(shù) = 未知函數(shù)個數(shù),一般通過求導(dǎo),得其它未知函數(shù) .,如果通過積分求其它未知函數(shù) , 則需要討論任意常數(shù),的關(guān)系.,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例1.,解微分方程組,,①,②,解:,由②得,③,代入①, 化簡得,特征方程:,通解:,④,將④代入③, 得,⑤,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,原方程通解:,,注意:,1) 不能由①式求 y,,因?yàn)槟菍⒁胄碌娜我獬?shù),,(它們受②式制約).,3) 若求方程組滿足初始條件,的特解,,只需代入通解確定,即可.,2) 由通解表達(dá)式可見, 其中任意常數(shù)間有確定的關(guān)系,,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,全微分方程,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,第五節(jié),一、全微分方程,二、積分因子法,第十二章,判別:,P, Q 在某單連通域D內(nèi)有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),,,,① 為全微分方程,則,求解步驟:,方法1 湊微分法;,方法2 利用積分與路徑無關(guān)的條件.,1. 求原函數(shù) u (x, y),2. 由 d u = 0 知通解為 u (x, y) = C .,一、全微分方程,則稱,為全微分方程 ( 又叫做恰當(dāng)方程 ) .,①,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,二、積分因子法,思考: 如何解方程,這不是一個全微分方程 ,,就化成例2 的方程 .,使,為全微分方程,,在簡單情況下, 可憑觀察和經(jīng)驗(yàn)根據(jù)微分倒推式得到,為原方程的積分因子.,但若在方程兩邊同乘,,若存在連續(xù)可微函數(shù),積分因子.,例2 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,常用微分倒推公式:,積分因子不一定唯一 .,,例如, 對,可取,,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,