第二節(jié) 平面向量的基本定理及向量坐標(biāo)運算,【知識梳理】 1.必會知識 教材回扣 填一填 (1)平面向量基本定理: 基底:平面內(nèi)_的向量e1,e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的 一組基底. 定理:如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對于這一平 面內(nèi)的任意向量a,有且只有一對實數(shù)1,2,使a=_.,不共線,1e1+2e2,(2)平面向量的坐標(biāo)表示: 在平面直角坐標(biāo)系中,分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i,j 作為基底,該平面內(nèi)的任一向量a可表示成a=xi+yj,由于a與數(shù)對(x,y) 是一一對應(yīng)的,把有序數(shù)對(x,y)叫做向量a的坐標(biāo),記作a= _, 其中a在x軸上的坐標(biāo)是x,a在y軸上的坐標(biāo)是y.,(x,y),(3)平面向量的坐標(biāo)運算:,(x1+x2,y1+y2),(x1-x2,y1-y2),(x,y),(x1,y1),(x2-x1,y2-y1),(4)向量共線的坐標(biāo)表示: 若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則 ab_=0, 特別地,若x2,y20,則ab,x1y2-x2y1,2.必備結(jié)論 教材提煉 記一記 若 是平面內(nèi)不共線的向量,則存在實數(shù)1,2使 則當(dāng)1+2=1時,A,B,C三點共線.特別地,當(dāng)1=2= 時,C是 A與B的中點. 3.必用技法 核心總結(jié) 看一看 (1)常用方法:待定系數(shù)法. (2)數(shù)學(xué)思想:數(shù)形結(jié)合思想,函數(shù)與方程思想.,【小題快練】 1.思考辨析 靜心思考 判一判 (1)平面向量不論經(jīng)過怎樣的平移變換之后其坐標(biāo)不變.( ) (2)平面內(nèi)任何兩個不共線的向量均可作為一組基底.( ) (3)向量 與 的夾角為ABC.( ) (4)在同一組基底下同一向量的表現(xiàn)形式是唯一的.( ),【解析】(1)正確.由向量的坐標(biāo)表示可知向量不論怎樣平移,其坐標(biāo) 均為終點坐標(biāo)減去起點坐標(biāo),故平移后坐標(biāo)不變. (2)正確.由基底的定義可知,只要兩向量不共線均可作為一組基底. (3)錯誤.兩向量的夾角,關(guān)鍵要看起點與方向, 與 的夾角應(yīng)為 ABC的補角. (4)正確.由平面向量基本定理可知存在唯一實數(shù)對,使a=e1+ e2故其表現(xiàn)形式唯一. 答案:(1) (2) (3)× (4),2.教材改編 鏈接教材 練一練 (1)(必修4P98例7改編)已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,),若A,B,C三點共線,則= . 【解析】由已知得 =(2,4), =(1,-3). 若A,B,C三點共線,則2(-3)-1×4=0, 即2=10,得=5. 答案:5,(2)(必修4P99例8改編)設(shè)P是線段P1P2上的一點,若P1(2,3),P2(4,7)且P是P1P2的一個四等分點,則P的坐標(biāo)為 . 【解析】由題意可知,P是P1P2的一個四等分點有三種情況: 即 = 或 =3 或 = ,設(shè)P(x,y),則 =(x-2,y-3), =(4-x,7-y), 若 = ,則(x-2,y-3)= (4-x,7-y), 即 得,若 =3 ,則(x-2,y-3)=3(4-x,7-y), 即 得,若 = ,則(x-2,y-3)=(4-x,7-y), 即 得 答案: 或 或(3,5),3.真題小試 感悟考題 試一試 (1)(2014·福建高考)在下列向量組中,可以把向量a=(3,2)表示出來的是( ) A.e1=(0,0),e2=(1,2) B.e1=(-1,2),e2=(5,-2) C.e1=(3,5),e2=(6,10) D.e1=(2,-3),e2=(-2,3) 【解析】選B.只有B選項兩個向量不共線,其他選項的向量都是共線的,不共線的向量方可成為基底,才可以表示向量a.,(2)(2015·南寧模擬)在下列向量組中可以把a=(4,2)表示出來的是 ( ) A.b=(0,0),c=(3,2) B.b=(1,1),c=(-1,1) C.b=(1,-1),c=(-1,1) D.b=(2,4),c=(1,2) 【解析】選B.由已知A中,b=0,而C,D中兩向量共線,不符合作為基底 的條件,而B中,a=3b-c,所以選B.,(3)(2015·成都模擬)在ABCD中,AC為一條對角線, =(2,4), = (1,3),則向量 的坐標(biāo)為 .,【解析】設(shè) =(x,y),因為 所以(1,3)=(2,4)+(x,y), 所以 即 所以 =(-1,-1), 所以 =(-1,-1)-(2,4)=(-3,-5). 答案:(-3,-5),考點1 平面向量基本定理及其應(yīng)用 【典例1】(1)(2015·廣州模擬)設(shè)a是已知的平面向量且a0,關(guān)于向 量a的分解,有如下四個命題: 給定向量b,總存在向量c,使a=b+c; 給定向量b和c,總存在實數(shù)和,使a=b+c; 給定單位向量b和正數(shù),總存在單位向量c和實數(shù),使a=b+c;,給定正數(shù)和,總存在單位向量b和單位向量c,使a=b+c. 上述命題中的向量b,c和a在同一平面內(nèi)且兩兩不共線,則真命題的個數(shù)是( ) A.1 B.2 C.3 D.4,(2)(2015·泉州模擬)在ABC中,點P是AB上一點,且 Q是BC的中點,AQ與CP的交點為M,又 試求t的值.,【解題提示】(1)利用平面向量基本定理來逐一判斷. (2)首先利用條件確定P點的位置,再利用平面向量基本定理確定基底,從而聯(lián)立方程得t.,【規(guī)范解答】(1)選B.對于 因為a與b給定,所以a-b一定存在,可表示為c,即c=a-b, 故a=b+c成立,正確; 對于,因為b與c不共線, 由平面向量基本定理可知正確;,對于,以a的終點為圓心,以為半徑作圓,這個圓必須和向量b有交點,這個不一定滿足,故錯誤; 對于,由向量加法的三角形法則(不共線兩邊的和大于第三邊),即必有|b|+|c|=+|a|,而給定的和不一定滿足此條件, 所以是假命題.,(2)因為 所以 即 所以 即P為AB的一個三等分點(靠近A點), 又因為A,M,Q三點共線,設(shè) 所以 = 又 = 故 解得 故t的值是 .,【易錯警示】解答本例題(1)有兩點容易出錯. (1)對于中判斷易直接利用平面向量基本定理而不會變換為c=a-b去判斷從而誤解. (2)對于判斷時易忽視向量加法的幾何意義,及平面向量基本定理的理解而誤解.,【互動探究】題(2)中若條件和所求不變,再附加一問:M在AQ的什么位置?如何求解. 【解析】由(2)的解析 及= , 知, 因此點M是AQ的中點.,【規(guī)律方法】應(yīng)用平面向量基本定理的關(guān)鍵點 (1)平面向量基本定理中的基底必須是兩個不共線的向量. (2)選定基底后,通過向量的加、減、數(shù)乘以及向量平行的充要條件,把相關(guān)向量用這一組基底表示出來. (3)強調(diào)幾何性質(zhì)在向量運算中的作用,用基底表示未知向量,常借助圖形的幾何性質(zhì),如平行、相似等. 提醒:在基底未給出的情況下,合理地選取基底會給解題帶來方便.,【變式訓(xùn)練】如圖,已知OCB中,A是CB的中點,D是將 分成21 的一個內(nèi)分點,DC和OA交于點E,設(shè) =a, =b. (1)用a和b表示向量 , . (2)若 = ,求實數(shù)的值.,【解析】(1)由題意知,A是BC的中點,且 由平行四邊形法 則,得 所以 =2a-b, =(2a-b)- b=2a- b.,(2)由題意知, 故設(shè) 因為 =(2a-b)-a =(2-)a-b, =2a- b, 所以(2-)a-b=x(2a- b).,因為a與b不共線,由平面向量基本定理, 得 解得 故= .,【加固訓(xùn)練】1.若a與b不共線,已知下列各組向量 a與-2b; a+b與a-b; a+b與a+2b; a- b與 a- b. 其中可以作為基底的是 (只填序號即可).,【解析】因為a與b不共線,所以,對于,顯然a與-2b不共線;對于, 假設(shè)a+b與a-b共線,則存在實數(shù),使a+b=(a-b),則=1且-=1, 由此得=1且=-1矛盾,故假設(shè)不成立,即a+b與a-b不共線;同理,對 于,a+b與a+2b也不共線;對于, a- b= (a- b),故a- b與 a- b共線.由基向量的定義知,都可以作為基底,不可以. 答案:,2.(2015·武漢模擬)如圖所示,已知 =a, =b, =c,以a,b為基底試表示c. 【解析】由 得 即 即c= b- a.,考點2 平面向量的坐標(biāo)運算 【典例2】(1)(2015·臨沂模擬)在ABC中,點P在BC上,且 =2 , 點Q是AC的中點,若 =(4,3), =(1,5),則 等于( ) A.(-6,21) B.(-2,7) C.(6,-21) D.(2,-7),(2)(2013·北京高考)向量a,b,c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示,若 c=a+b(,R),則 = .,【解題提示】(1)利用已知求得 的坐標(biāo)即可求 的坐標(biāo). (2)結(jié)合圖形建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,利用平面向量的坐標(biāo)運算及平面向量基本定理列方程組求解.,【規(guī)范解答】(1)選A.如圖, =(1,5)-(4,3)=(-3, 2), =(1,5)+(-3,2)=(-2,7), =3 =(-6,21).,(2)以向量a,b的交點為原點,原點向右的方向為x軸正方向,正方形網(wǎng) 格的邊長為單位長度建立直角坐標(biāo)系,則a=(-1,1),b=(6,2),c=(-1, -3),根據(jù)c=a+b得(-1,-3)=(-1,1)+(6,2),即 解得=-2,=- ,所以 =4. 答案:4,【互動探究】在本例(2)中,試用a,c表示b. 【解析】建立本例(2)規(guī)范解答中的平面直角坐標(biāo)系,則a=(-1,1), b=(6,2),c=(-1,-3),設(shè)b=xa+yc, 則(6,2)=x(-1,1)+y(-1,-3), 即 解得 故b=-4a-2c.,【規(guī)律方法】平面向量坐標(biāo)運算的技巧 (1)向量的坐標(biāo)運算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運算的法則來進行求解,若已知有向線段兩端點的坐標(biāo),則應(yīng)先求向量的坐標(biāo). (2)解題過程中,常利用向量相等則其坐標(biāo)相同這一原則,通過列方程(組)來進行求解.,【變式訓(xùn)練】已知向量a=(6,4),b=(0,2), =a+b,O為坐標(biāo)原點, 若點C在函數(shù)y=sin 的圖象上,求實數(shù)的值. 【解析】因為 =a+b=(6,4)+(0,2)=(6,4+2), 所以點C的坐標(biāo)為(6,4+2). 又點C在函數(shù)y=sin 的圖象上, 故4+2=sin =1,所以=- .,【加固訓(xùn)練】1.已知點A(2,1),B(0,2),C(-2,1),O(0,0),給出下面的結(jié)論: 直線OC與直線BA平行; 其中正確結(jié)論的個數(shù)是( ) A.1個 B.2個 C.3個 D.4個,【解析】選C.由題意得 =(-2,1), =(2,-1),故 ,又 無公共點,故OCBA,正確; 因為 故錯誤; 因為 =(0,2)= ,故正確; 因為 -2 =(-4,0), =(-4,0),故正確.所以選C.,2.已知點A(-1,2),B(2,8)以及 求點C,D的坐 標(biāo)和 的坐標(biāo). 【解析】設(shè)點C,D的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2), 得 =(x1+1,y1-2), =(3,6), =(-1-x2,2-y2), =(-3,-6).,因為 所以有 和 解得 和 所以點C,D的坐標(biāo)分別是(0,4),(-2,0),從而 =(-2,-4).,考點3 平面向量共線的坐標(biāo)表示及運算 知·考情 以平面向量的共線為載體考查三角函數(shù)問題及利用平面向量共線的坐標(biāo)運算求參數(shù)的范圍,是高考考查的一個重要考向,常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn).,明·角度 命題角度1:利用向量共線的坐標(biāo)運算求三角函數(shù)的值或角 【典例3】(2014·陜西高考)設(shè)0 ,向量a=(sin2,cos), b=(cos,1),若ab,則tan= . 【解題提示】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示及三角函數(shù)化簡即可得解.,【解析】由ab得sin2-cos2=0,即2sincos=cos2,又 0 ,cos0,所以2sin=cos可得tan= . 答案:,命題角度2:利用向量共線的坐標(biāo)運算求參數(shù)的值 【典例4】(2013·陜西高考)已知向量a=(1,m),b=(m,2),若ab,則 實數(shù)m等于( ) (本題源于教材必修4P101T5) A.- B. C.- 或 D.0 【解題提示】利用平面向量共線的坐標(biāo)表示列方程求解. 【規(guī)范解答】選C.因為a=(1,m),b=(m,2),ab,所以1×2-m2=0,即 m2=2,故m=± .,悟·技法 1.根據(jù)向量共線的坐標(biāo)運算求參數(shù)的值: 利用向量共線轉(zhuǎn)化為含參數(shù)的方程,解方程可求參數(shù). 2.利用向量共線的坐標(biāo)運算求三角函數(shù)值: 利用向量共線的坐標(biāo)運算轉(zhuǎn)化為三角方程,再利用三角恒等變換求解.,通·一類 1.(2015·沈陽模擬)已知向量a=(1-sin,1),b=( ,1+sin),若 ab,則銳角等于( ) A.30° B.45° C.60° D.75° 【解析】選B.由ab得,(1-sin)(1+sin)-1× =0, 解得sin=± .又為銳角,所以=45°.,2.(2015·攀枝花模擬)已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).若為 實數(shù),(a+b)c,則=( ) A. B. C.1 D.2 【解析】選B.因為a+b=(1,2)+(1,0)=(1+,2),c=(3,4),又(a+ b)c,所以4(1+)-2×3=0.解得= .,3.(2015·鄭州模擬)已知向量 =(k,12), =(4,5), =(-k, 10),且A,B,C三點共線,則k的值是( ) A.- B. C. D. 【解析】選A. =(4-k,-7), =(-2k,-2). 因為A,B,C三點共線,所以 共線, 所以-2×(4-k)=-7×(-2k),解得k=- .,創(chuàng)新體驗3 以向量坐標(biāo)運算為載體的創(chuàng)新問題 【創(chuàng)新點撥】 高考考情:以向量的坐標(biāo)運算為載體的創(chuàng)新問題是近幾年高考命題的一個熱點,綜合考查向量與函數(shù)等知識,考查學(xué)生的應(yīng)變能力與創(chuàng)新能力.,【新題快遞】 1.(2015·貴陽模擬)在平面直角坐標(biāo)系中,若O為坐標(biāo)原點,則A,B,C 三點在同一直線上的充要條件為存在唯一的實數(shù),使得 = +(1-) 成立,此時稱實數(shù)為“向量 關(guān)于 和 的終 點共線分解系數(shù)”.若已知P1(3,1),P2(-1,3),P1,P2,P3三點共線且向 量 與向量a=(1,-1)共線,則“向量 關(guān)于 和 的終點共 線分解系數(shù)”為( ) A.-3 B.3 C.1 D.-1,【解析】選D.由 與向量a=(1,-1)共線,可設(shè) =(t,-t)(t0), 由 = +(1-) 得(t,-t)=(3,1)+(1-)(-1,3)=(4 -1,3-2),所以 兩式相加得2+2=0,所以=-1.,2.(2015·杭州模擬)將一圓的六個等分點分成兩組 相間的三點,它們所構(gòu)成的兩個正三角形扣除內(nèi)部六 條線段后可以形成一正六角星,如圖所示的正六角星 是以原點O為中心,其中x,y分別為原點O到兩個頂點 的向量,若將原點O到正六角星12個頂點的向量,都寫成ax+by的形式,則a+b的最大值為( ) A.2 B.3 C.4 D.5,【解析】選D.欲求a+b的最大值,只需考慮圖中6個頂點的向量即可,討論如下: (1)因為 =x,所以(a,b)=(1,0); (2)因為 =y+3x, 所以(a,b)=(3,1);,(3)因為 =y+2x, 所以(a,b)=(2,1); (4)因為 =y+x+ =y+x+(y+2x)=2y+3x,所以 (a,b)=(3,2); (5)因為 =y+x,所以(a,b)=(1,1); (6)因為 =y,所以(a,b)=(0,1). 所以a+b的最大值為3+2=5.,3.(2013·北京高考)已知點A(1,-1),B(3,0),C(2,1).若平面區(qū)域D由 所有滿足 (12,01)的點P組成,則D的面 積為 .,【解析】設(shè)P(x,y),則(x-1,y+1)=(2,1)+(1,2), 所以 解得 所以 即 在平面直角坐標(biāo)系中作出區(qū)域D,可求得面積為3. 答案:3,【備考指導(dǎo)】 1.準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化:解決向量創(chuàng)新問題,一定要讀懂題目的本質(zhì)含義,緊抓題目所給條件進行恰當(dāng)?shù)剞D(zhuǎn)化. 2.方法選取:對向量的創(chuàng)新問題,準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化后,要觀察題目特點,合理選取解題的辦法,如函數(shù)的最值求法,線性規(guī)劃的可行域,新型概念的融合等.,