熱點(diǎn)專題突破系列(二) 三角函數(shù)與平面向量的綜合應(yīng)用,考點(diǎn)一 三角函數(shù)的求值與平面向量的綜合 【考情分析】以平面向量為載體利用誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系式、兩角和與差的三角函數(shù)及倍角公式等解決三角函數(shù)的條件求值問題,是高考的重要考向,考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力.,【典例1】(2015·海濱模擬)已知m=(sinx, cosx),n=(sinx,sinx), f(x)=m·n. (1)求 的值. (2)當(dāng)x0, 時(shí),求函數(shù)f(x)的最大值與最小值.,【解題提示】(1)利用向量的坐標(biāo)計(jì)算兩向量的數(shù)量積,從而得f(x), 把x= 代入可得. (2)利用x的范圍確定角的范圍,從而得三角函數(shù)的最大值與最小值.,【規(guī)范解答】(1)由已知得. f(x)=m·n=(sinx, cosx)·(sinx,sinx) =sin2x+ cosxsinx= = sin2x- cos2x+ =sin(2x- )+ . 故,(2)當(dāng)x0, 時(shí), 故當(dāng)2x- = ,即x= 時(shí),f(x)max=1+ = , 當(dāng)2x- =- ,即x=0時(shí), f(x)min=sin(- )+ =- + =0.,【規(guī)律方法】平面向量在三角函數(shù)求值中的應(yīng)用步驟 (1)此類題目的特點(diǎn)是所給向量的坐標(biāo)用關(guān)于某角的正、余弦給出,把向量垂直或共線轉(zhuǎn)化為關(guān)于該角的三角函數(shù)的等式. (2)利用三角恒等變換進(jìn)行條件求值.,【變式訓(xùn)練】(2015·南京模擬)已知向量a=(sin,-2)與b=(1,cos)互相垂直,其中(0, ). (1)求cos,sin的值. (2)若5cos(-)=3 cos,0 ,求cos的值.,【解析】(1)因?yàn)閍b,所以a·b=sin-2cos=0, 即sin=2cos. 又sin2+cos2=1, 所以4cos2+cos2=1,即cos2= . 因?yàn)?0, ),所以cos= ,sin=2cos= .,(2)由5cos(-)=3 cos,得 5(coscos+sinsin)=3 cos, 即 cos+2 sin=3 cos,所以sin=cos. 因?yàn)?0, ),所以cos= .,【加固訓(xùn)練】設(shè)向量a=(4cos,sin),b=(sin,4cos),c= (cos,-4sin). (1)若a與b-2c垂直,求tan(+)的值. (2)求|b+c|的最大值. (3)若tantan=16,求證:ab.,【解析】(1)因?yàn)閎-2c=(sin-2cos,4cos+8sin),a與b-2c垂直, 所以4cos(sin-2cos)+sin(4cos+8sin)=0, 即sincos+cossin =2(coscos-sinsin), 所以sin(+)=2cos(+),所以tan(+)=2.,(2)因?yàn)閎+c=(sin+cos,4cos-4sin), 所以|b+c|= = 所以當(dāng)sin2=-1時(shí),|b+c|取最大值,且最大值為,(3)因?yàn)閠antan=16,所以 =16, 即sinsin=16coscos, 所以(4cos)·(4cos)=sinsin, 即a=(4cos,sin)與b=(sin,4cos)共線, 所以ab.,考點(diǎn)二 三角函數(shù)的性質(zhì)與平面向量的綜合 【考情分析】以平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算為載體,引入三角函數(shù),通過三角恒等變換化為一個(gè)角的三角函數(shù),重點(diǎn)考查三角函數(shù)的單調(diào)性、周期性、最值、取值范圍及三角函數(shù)的圖象變換等.,【典例2】(2015·沈陽模擬)已知向量m=(sinx,-1),n=(cosx, ), f(x)=(m+n)·m. (1)求f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間. (2)當(dāng)x0, 時(shí),求f(x)的值域. (3)將f(x)的圖象左移 個(gè)單位后得g(x)的圖象,求g(x)在 上的最大值.,【解題提示】(1)利用向量坐標(biāo)運(yùn)算得f(x)的解析式可求周期及增區(qū)間. (2)利用已知求得角的范圍后可求f(x)的值域. (3)利用圖象平移變換可得g(x),再利用角的范圍求解最大值.,【規(guī)范解答】(1)由已知可得m+n=(sinx+cosx, ), 故f(x)=(m+n)·m =(sinx+cosx, )·(sinx,-1) =sin2x+sinxcosx- = sin2x- cos2x =,故f(x)的最小正周期T= =, 由2k- 2x- 2k+ ,kZ, 得k- xk+ ,kZ. 故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是k- ,k+ (kZ).,(2)當(dāng)x0, 時(shí),2x- 故- sin(2x- )1, 故- sin(2x- ) . 所以當(dāng)x0, 時(shí),f(x)的值域?yàn)?(3)由已知得g(x)= = 故當(dāng)x 時(shí),2x 所以當(dāng)2x=0即x=0時(shí),g(x)max= cos0= .,【規(guī)律方法】平面向量與三角函數(shù)性質(zhì)的綜合問題的解法 (1)利用平面向量的數(shù)量積把向量問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的問題. (2)利用三角函數(shù)恒等變換公式(尤其是輔助角公式)化簡函數(shù)解析式. (3)根據(jù)化簡后的函數(shù)解析式研究函數(shù)的性質(zhì).,【變式訓(xùn)練】(2015·東營模擬)已知m=(bsinx,acosx),n=(cosx, -cosx),f(x)=m·n+a,其中a,bR,且滿足 =2,f(0)=2 . (1)求a,b的值. (2)若關(guān)于x的方程f(x)- =0在0, 上總有實(shí)數(shù)解.求k的取 值范圍.,【解析】(1)由已知得,f(x)=m·n+a=bsinxcosx-acos2x+a = 由 =2得a+ b=8. 又因?yàn)閒(x)=bcos2x+asin2x且f(0)=2 , 所以b=2 ,所以a=2.,(2)由(1)得f(x)= sin2x-cos2x+1 =2sin(2x- )+1, 所以x 時(shí),2x- 所以-12sin(2x- )2, 所以f(x)0,3.,又因?yàn)閒(x)- =0在 上總有實(shí)數(shù)解,即f(x)= 有解,所 以0 3, 即-3log3k0,所以 k1. 故k的取值范圍是,【加固訓(xùn)練】已知向量a=(sin(-x),sin( -x), b=(cosx, cosx)(0),若f(x)=a·b,且f(x)的最小正周期為. (1)求的值. (2)試述由y=sinx的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到f(x)的圖象. (3)求y=f(x)的值域.,【解析】(1)f(x)=a·b =sin(-x)cosx+sin( -x)cosx =sinxcosx+cos2x= sin2x+ 所以 =,即=1.,(2)由(1),得f(x)= 首先把y=sinx的圖象向左平移 個(gè)單位,得y=sin(x+ )的圖象;其次把y=sin(x+ )的圖象縱坐標(biāo) 不變,橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍,得y=sin(2x+ )的圖象;然后把y= sin(2x+ )的橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍,得y= 的圖象;最后,把y= 的圖象向上平移 個(gè)單位,得f(x)= 的圖象.,(3)因?yàn)閒(x)min= f(x)max= 所以f(x)的值域是,考點(diǎn)三 平面向量在三角形計(jì)算中的應(yīng)用 【考情分析】以平面向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積為載體考查三角形中正、余弦定理的應(yīng)用及簡單的三角恒等變換,主要解決三角形中求邊、求角及求三角形面積等.考查分析問題,解決問題的能力.,【典例3】(2015·武漢模擬)在ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,m=(a,b),n=(sinB,-cosA)且m·n=0. (1)求內(nèi)角A的大小. (2)若a=10,求ABC的面積的最大值. 【解題提示】(1)利用向量數(shù)量積運(yùn)算得邊角關(guān)系,利用正弦定理邊化角后可解. (2)利用余弦定理求得bc的最大值后可解.,【規(guī)范解答】(1)由已知得m·n=asinB-bcosA=0. 由正弦定理可得sinAsinB-sinBcosA=0, 即sinB(sinA-cosA)=0. 因?yàn)?B,所以sinB0. 所以sinA=cosA即tanA=1,又0A,故A= .,(2)因?yàn)閍=10,所以a2=b2+c2-2bccosA=102. 由(1)知A= ,所以b2+c2- bc=100. 又c2+b22bc,所以100+ bc2bc.所以bc 所以S= bcsinA= bc 等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取得. 故ABC面積的最大值為25( +1).,【規(guī)律方法】平面向量與三角形計(jì)算綜合問題的解法 (1)利用平面向量數(shù)量積的計(jì)算公式,把問題轉(zhuǎn)化為三角形中的計(jì)算問題,在三角形中,結(jié)合三角形內(nèi)角和公式、正余弦定理、三角形的面積公式進(jìn)行相關(guān)計(jì)算. (2)先在三角形中利用相關(guān)公式進(jìn)行計(jì)算,再按要求求向量的數(shù)量積、夾角、模等. 提醒:解決三角形中向量夾角問題的思維誤區(qū)是不注意向量的方向,從而弄錯(cuò)向量的夾角.,【變式訓(xùn)練】(2015·安慶模擬)已知ABC的面積是30,三內(nèi)角A,B,C 所對(duì)邊長分別為a,b,c,cosA= (1)求 (2)若c-b=1,求a的值.,【解析】(1)由cosA= ,得sinA= SABC= bcsinA= bc=30,bc=156. (2)因?yàn)閏-b=1,bc=156, 所以a2=b2+c2-2bccosA=(c-b)2+2bc- =1+ ×156=25,即a=5.,【加固訓(xùn)練】在ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,tanC=3 . (1)求cosC的值. (2)若 且a+b=9,求c的長.,【解析】(1)因?yàn)閠anC=3 ,所以 又因?yàn)閟in2C+cos2C=1,解得cosC=± . 因?yàn)閠anC0,所以C是銳角.所以cosC= . (2)因?yàn)?所以abcosC= ,解得ab=20. 又因?yàn)閍+b=9,所以a2+b2=41. 所以c2=a2+b2-2abcosC=36,所以c=6.,