離散型隨機(jī)變量的均值和方差.ppt
思考:,例:甲、乙兩名射手在同一條件下射擊,所得環(huán)數(shù)X1, X2 的分布列如下:,誰的水平高些?,復(fù)習(xí)引入,對于離散型隨機(jī)變量,可以由它的概率分布列確定與該隨機(jī)變量相關(guān)事件的概率。但在實(shí)際問題中,有時(shí)我們更感興趣的是隨機(jī)變量的某些數(shù)字特征。例如,要了解某班同學(xué)在一次數(shù)學(xué)測驗(yàn)中的總體水平,很重要的是看平均分;要了解某班同學(xué)數(shù)學(xué)成績是否“兩極分化”則需要考察這個(gè)班數(shù)學(xué)成績的方差。 我們還常常希望直接通過數(shù)字來反映隨機(jī)變量的某個(gè)方面的特征,最常用的有期望與方差.,2.3離散型隨機(jī)變量的均值和方差,高二數(shù)學(xué) 選修2-3,1、某人射擊10次,所得環(huán)數(shù)分別是:1,1,1,1,2,2,2,3,3,4;則所得的平均環(huán)數(shù)是多少?,把環(huán)數(shù)看成隨機(jī)變量的概率分布列:,權(quán)數(shù),加權(quán)平均,二、具體問題,2、某商場要將單價(jià)分別為18元/kg,24元/kg,36元/kg的3種糖果按3:2:1的比例混合銷售,如何對混合糖果定價(jià)才合理?,把3種糖果的價(jià)格看成隨機(jī)變量的概率分布列:,一、離散型隨機(jī)變量取值的平均值,數(shù)學(xué)期望,一般地,若離散型隨機(jī)變量X的概率分布為:,則稱,為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望。它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平。是一個(gè)常數(shù)。,設(shè)YaXb,其中a,b為常數(shù),則Y也是隨機(jī)變量 (1) Y的分布列是什么? (2) EY=?,思考:,···,···,···,···,···,···,···,···,···,···,一、離散型隨機(jī)變量取值的平均值,數(shù)學(xué)期望,二、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì),三、基礎(chǔ)訓(xùn)練,1、隨機(jī)變量的分布列是,(1)則E= .,2、隨機(jī)變量的分布列是,2.4,(2)若=2+1,則E= .,5.8,E=7.5,則a= b= .,0.4,0.1,例1.籃球運(yùn)動員在比賽中每次罰球命中得1分,罰不中得0分已知某運(yùn)動員罰球命中的概率為0.7,則他罰球1次的得分X的均值是多少?,一般地,如果隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布,,則,四、例題講解,小結(jié):,例2.籃球運(yùn)動員在比賽中每次罰球命中得1分,罰不中得0分已知某運(yùn)動員罰球命中的概率為0.7,他連續(xù)罰球3次; (1)求他得到的分?jǐn)?shù)X的分布列; (2)求X的期望。,解:,(1) XB(3,0.7),(2),一般地,如果隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布,即XB(n,p),則,小結(jié):,基礎(chǔ)訓(xùn)練:,一個(gè)袋子里裝有大小相同的3 個(gè)紅球和2個(gè)黃球,從中有放回地取5次,則取到紅球次數(shù)的數(shù)學(xué)期望是 .,3,離散型隨機(jī)變量取值的方差,一般地,若離散型隨機(jī)變量X的概率分布為:,則稱,為隨機(jī)變量X的方差。,稱,為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差。,它們都是反映離散型隨機(jī)變量偏離于均值的平均程度的量,它們的值越小,則隨機(jī)變量偏離于均值的平均程度越小,即越集中于均值。,三、基礎(chǔ)訓(xùn)練,1、已知隨機(jī)變量X的分布列,求DX和X。,解:,2、若隨機(jī)變量X滿足P(Xc)1,其中c為常數(shù),求EX和DX。,解:,離散型隨機(jī)變量X的分布列為:,EXc×1c,DX(cc)2×10,四、方差的應(yīng)用,例:甲、乙兩名射手在同一條件下射擊,所得環(huán)數(shù)X1, X2分布列如下:,用擊中環(huán)數(shù)的期望與方差分析比較兩名射手的射擊水平。,解:,表明甲、乙射擊的平均水平?jīng)]有差別,在多次射擊中平均得分差別不會很大,但甲通常發(fā)揮比較穩(wěn)定,多數(shù)得分在9環(huán),而乙得分比較分散,近似平均分布在810環(huán)。,問題1:如果你是教練,你會派誰參加比賽呢?,問題2:如果其他對手的射擊成績都在8環(huán)左右,應(yīng)派哪一名選手參賽?,問題3:如果其他對手的射擊成績都在9環(huán)左右,應(yīng)派哪一名選手參賽?,練習(xí):有甲乙兩個(gè)單位都愿意聘用你,而你能獲得如下信息:,根據(jù)工資待遇的差異情況,你愿意選擇哪家單位?,解:,在兩個(gè)單位工資的數(shù)學(xué)期望相等的情況下,如果認(rèn)為自己能力很強(qiáng),應(yīng)選擇工資方差大的單位,即乙單位;如果認(rèn)為自己能力不強(qiáng),就應(yīng)選擇工資方差小的單位,即甲單位。,五、幾個(gè)常用公式:,相關(guān)練習(xí):,3、有一批數(shù)量很大的商品,其中次品占1,現(xiàn)從中任意地連續(xù)取出200件商品,設(shè)其次品數(shù)為X,求EX和DX。,117,10,0.8,2,1.98,課堂小結(jié),一、離散型隨機(jī)變量的期望和方差,二、性質(zhì),三、如果隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布,,四、如果隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布,即XB(n,p),1.一次英語單元測驗(yàn)由20個(gè)選擇題構(gòu)成,每個(gè)選擇題有4個(gè)選項(xiàng),其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確答案,每題選擇正確答案得5分,不作出選擇或選錯(cuò)不得分,滿分100分,學(xué)生甲選對任一題的概率為0.9,學(xué)生乙則在測驗(yàn)中對每題都從4個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)地選擇一個(gè)。求學(xué)生甲和乙在這次英語單元測驗(yàn)中的成績的期望。,五、鞏固應(yīng)用,2. 決策問題: 根據(jù)氣象預(yù)報(bào),某地區(qū)近期有小洪水的概率為0.25,有大洪水的概率為0.01,該地區(qū)某工地上有一臺大型設(shè)備,遇到大洪水時(shí)要損失60000元,遇到小洪水時(shí)要損失10000元。為保護(hù)設(shè)備,有以下種方案: 方案1:運(yùn)走設(shè)備,搬運(yùn)費(fèi)為3800元。 方案2:建保護(hù)圍墻,建設(shè)費(fèi)為2000元,但圍墻只能 擋住小洪水。 方案3:不采取措施,希望不發(fā)生洪水。 試比較哪一種方案好。,3.某商場的促銷決策: 統(tǒng)計(jì)資料表明,每年國慶節(jié)商場內(nèi)促銷活動可獲利2萬元;商場外促銷活動如不遇下雨可獲利10萬元;如遇下雨則損失4萬元。9月30日氣象預(yù)報(bào)國慶節(jié)下雨的概率為40%,商場應(yīng)選擇哪種促銷方式?,4.(07全國)某商場經(jīng)銷某商品,根據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì),顧客采用的分起付款期數(shù) 的分布列為:,商場經(jīng)銷一件該商品,采用1期付款,其利潤為200元,分2期或3期付款,其利潤為250元,分4期或5期付款,其利潤為300元, 表示經(jīng)銷一件該商品的利潤。 (1)求事件A:”購買該商品的3位顧客中,至少有一位采用1期付款” 的概率P(A); (2)求 的分布列及期望E 。,E = 10000.03a0.07a,得a10000,故最大定為10000元。,練習(xí): 1、若保險(xiǎn)公司的賠償金為a(a1000)元,為使保險(xiǎn)公司收益的期望值不低于a的百分之七,則保險(xiǎn)公司應(yīng)將最大賠償金定為多少元?,2、射手用手槍進(jìn)行射擊,擊中目標(biāo)就停止,否則繼續(xù)射擊,他射中目標(biāo)的概率是0.7,若槍內(nèi)只有5顆子彈,求射擊次數(shù)的期望。(保留三個(gè)有效數(shù)字),E =1.43,六、課堂小結(jié),一、離散型隨機(jī)變量取值的平均值,數(shù)學(xué)期望,二、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì),三、如果隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布,,則,四、如果隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布,即XB(n,p),則,證明:,所以,若B(n,p),則Enp,證明:若B(n,p),則Enp,