,第4節(jié) 證明方法,基 礎(chǔ) 梳 理,1直接證明 (1)綜合法 定義：利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出_ _的證明方法,所要證明的結(jié)論,成立,(2)分析法 定義：從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為_ _(已知條件、定理、定義、公理等)為止的證明方法,判定一個(gè),明顯成立的條件,質(zhì)疑探究1：綜合法和分析法有什么區(qū)別與聯(lián)系？ 提示：(1)分析法的特點(diǎn)是：從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”，其逐步推理，實(shí)際上是尋求它成立的充分條件(2)綜合法的特點(diǎn)是：從“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，實(shí)際上是尋找它成立的必要條件(3)分析法易于探索解題思路，綜合法易于過程表述，在應(yīng)用中視具體情況擇優(yōu)選之,2間接證明反證法 一般地，假設(shè)原命題_(即在原命題的條件下，結(jié)論不成立)，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明_，從而證明了_，這樣的證明方法叫做反證法,不成立,假設(shè)錯(cuò)誤,原命題成立,3數(shù)學(xué)歸納法 一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行： (1)歸納奠基：證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(n0N*)時(shí)命題成立； (2)歸納遞推：假設(shè)nk(kn0，kN*)時(shí)命題成立，證明當(dāng)_時(shí)命題也成立 只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立上述證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法,nk1,質(zhì)疑探究2：數(shù)學(xué)歸納法兩個(gè)步驟有什么關(guān)系？ 提示：數(shù)學(xué)歸納法證明中的兩個(gè)步驟體現(xiàn)了遞推思想，第一步是遞推的基礎(chǔ)，第二步是遞推的依據(jù)，兩個(gè)步驟缺一不可，否則就會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤 (1)第一步中， 驗(yàn)算nn0中的n0不一定為1，根據(jù)題目要求，有時(shí)可為2或3等 (2)第二步中，證明nk1時(shí)命題成立的過程中，一定要用到歸納假設(shè)，掌握“一湊假設(shè)，二湊結(jié)論”的技巧,答案：C,解析：因?yàn)閍2b21a2b20(a21)(b21)0. 故選D. 答案：D,3(2014東營模擬)用反證法證明命題：“若a，bN，ab可被5整除，那么a，b中至少有一個(gè)能被5整除”時(shí)，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)該是( ) Aa，b都能被5整除 Ba，b都不能被5整除 Ca，b不都能被5整除 Da能被5整除 解析：“至少有一個(gè)”的反面應(yīng)是“一個(gè)都沒有” 故應(yīng)選B. 答案：B,4(2014吉林長春一模)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式123(2n1)(n1)(2n1)時(shí)，當(dāng)n1時(shí)左邊表達(dá)式是_；從kk1需增添的項(xiàng)是_ 解析：因?yàn)橛脭?shù)學(xué)歸納法證明等式123(2n1)(n1)(2n1)時(shí)，當(dāng)n1時(shí)2n13，所以左邊表達(dá)式是123；從kk1需增添的項(xiàng)的是4k5或(2k2)(2k3) 答案：123 4k5(或(2k2)(2k3),考 點(diǎn) 突 破,例1 (2014南昌模擬)對于定義域?yàn)?,1的函數(shù)f(x)，如果同時(shí)滿足以下三條：對任意的x0,1，總有f(x)0；f(1)1；若x10，x20，x1x21都有f(x1x2)f(x1)f(x2)成立，則稱函數(shù)f(x)為理想函數(shù)試判斷g(x)2x1(x0,1)是否為理想函數(shù)，如果是，請予證明，如果不是，請說明理由 思維導(dǎo)引 對三個(gè)條件逐一驗(yàn)證，若都滿足，則g(x)是理想函數(shù)，否則不是理想函數(shù),綜合法,解 g(x)2x1(x0,1)是理想函數(shù)，證明如下： 因?yàn)閤0,1，所以2x1,2x10， 即對任意x0,1，總有g(shù)(x)0，滿足條件. g(1)211211，滿足條件. 當(dāng)x10，x20，x1x21時(shí)， g(x1x2)2x1x21， g(x1)g(x2)2x112x21，,于是g(x1x2)g(x1)g(x2) (2x1x21)(2x112x21) 2x1·2x22x12x21 (2x11)(2x21) 由于x10，x20， 所以2x110,2x210， 于是g(x1x2)g(x1)g(x2)0， 因此g(x1x2)g(x1)g(x2)，滿足條件， 故函數(shù)g(x)2x1(x0,1)是理想函數(shù),(1)用綜合法證題是從已知條件出發(fā)，逐步推向結(jié)論(2)在用綜合法證明時(shí)，注意邏輯表達(dá)清晰，因果關(guān)系明確,分析法,(1)分析法的證明思路：先從結(jié)論入手，由此逐步推出保證此結(jié)論成立的充分條件，而當(dāng)這些判斷恰恰都是已證的命題(定義、公理、定理、法則、公式等)或要證命題的已知條件時(shí)命題得證 (2)用分析法證明數(shù)學(xué)問題時(shí)，要注意書寫格式的規(guī)范性，常常用“要證(欲證)”“即要證”“就要證”等分析到一個(gè)明顯成立的結(jié)論P(yáng)，再說明所要證明的數(shù)學(xué)問題成立,反證法,數(shù)學(xué)歸納法,(1)利用數(shù)學(xué)歸納法可以證明與n有關(guān)的命題，也可以解決與正整數(shù)n有關(guān)的探索性問題，其基本模式是“歸納猜想證明”證明的關(guān)鍵是：假設(shè)nk(kN*，kn0)時(shí)命題成立，由歸納假設(shè)推證nk1時(shí)命題成立,(2)證明nk1(kN*，kn0)時(shí)命題成立的常用技巧 分析nk1時(shí)命題與nk時(shí)命題形式的差別，確定證明目標(biāo) 證明恒等式時(shí)常用乘法公式、因式分解、添拆項(xiàng)配方等；證明不等式常用分析法、綜合法、放縮法等,