,第11節(jié) 導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用,基 礎(chǔ) 梳 理,1函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù) (1)函數(shù)yf(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo) 若f(x)0，則f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi) ； 若f(x)0，則f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi) ； 如果在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有f(x)0，則f(x)為 (2)單調(diào)性的應(yīng)用 若函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)，則yf(x)在該區(qū)間上不變號(hào),單調(diào)遞增,單調(diào)遞減,常函數(shù),質(zhì)疑探究1：若函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增，那么一定有f(x)0嗎？f(x)0是否是f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增的充要條件？ 提示：函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增，則f(x)0，f(x)0是f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增的充分不必要條件,2函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù) (1)函數(shù)極小值的概念滿(mǎn)足 函數(shù)yf(x)在點(diǎn)xa處的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)xa附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都 ； f(a) ； 在點(diǎn)xa附近的左側(cè) ，右側(cè) ； 則點(diǎn)xa叫做函數(shù)yf(x)的 ，f(a)叫做函數(shù)yf(x)的 ,0,f(x)0,f(x)0,極小值點(diǎn),極小值,小,(2)函數(shù)極大值的概念滿(mǎn)足 函數(shù)yf(x)在點(diǎn)xb處的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)xb附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都 ； f(b) ； 在點(diǎn)xb附近的左側(cè) ，右側(cè) ； 則點(diǎn)xb叫做函數(shù)yf(x)的 ，f(b)叫做函數(shù)yf(x)的 ；極小值點(diǎn)與極大值點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為 ，極小值與極大值統(tǒng)稱(chēng)為 ,0,f(x)0,f(x)0,極大值點(diǎn),極大值,極值點(diǎn),極值,大,(3)求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟 求導(dǎo)數(shù)f(x)； 求方程f(x)0的根； 列表，檢驗(yàn)f(x)在方程f(x)0的根左右兩側(cè)的符號(hào)(判斷yf(x)在根左右兩側(cè)的單調(diào)性)，如果左正右負(fù)(左增右減)，那么f(x)在這個(gè)根處取得 如果左負(fù)右正(左減右增)，那么f(x)在這個(gè)根處取得 如果左右兩側(cè)符號(hào)一樣，那么這個(gè)根不是極值點(diǎn),極大值,極小值,質(zhì)疑探究2：f(x0)0是可導(dǎo)函數(shù)f(x)在xx0處取極值的什么條件？ 提示：必要不充分條件，因?yàn)楫?dāng)f(x0)0且x0左右兩端的導(dǎo)數(shù)符號(hào)變化時(shí)，才能說(shuō)f(x)在xx0處取得極值反過(guò)來(lái)，如果可導(dǎo)函數(shù)f(x)在xx0處取極值，則一定有f(x0)0.,3函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù) 求函數(shù)yf(x)在閉區(qū)間a，b上的最大值與最小值的步驟： (1)求yf(x)在(a，b)內(nèi)的 ； (2)將函數(shù)yf(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)、f(b)比較，其中 的一個(gè)為最大值， 的一個(gè)為最小值,極值,最大,最小,4利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際生活中的優(yōu)化問(wèn)題 (1)分析實(shí)際問(wèn)題中各變量之間的關(guān)系，建立實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，寫(xiě)出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)f(x)并確定定義域； (2)求導(dǎo)數(shù)f(x)，解方程f(x)0； (3)判斷使f(x)0的點(diǎn)是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)； (4)確定函數(shù)的最大值或最小值，還原到實(shí)際問(wèn)題中作答,3從邊長(zhǎng)為10 cm×16 cm的矩形紙板的四角截去四個(gè)相同的小正方形，作成一個(gè)無(wú)蓋的盒子，則盒子容積的最大值為( ) A12 cm3 B72 cm3 C144 cm3 D160 cm3,答案：C,考 點(diǎn) 突 破,例1 設(shè)函數(shù)f(x)(xa)eax(aR) (1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)如函數(shù)f(x)在區(qū)間(4,4)內(nèi)單調(diào)遞增，求a的取值范圍 思維導(dǎo)引 (1)求出f(x)，就參數(shù)a的范圍確定導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系得出結(jié)論；(2)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在區(qū)間(4,4)內(nèi)大于或者等于零恒成立,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,含有字母參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性需要根據(jù)參數(shù)的取值范圍進(jìn)行討論根據(jù)導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，只要解導(dǎo)數(shù)大于0和小于0的不等式即可，但根據(jù)單調(diào)性確定函數(shù)解析式中的參數(shù)時(shí)，若是函數(shù)在區(qū)間D內(nèi)單調(diào)遞增，則需要導(dǎo)數(shù)在區(qū)間D內(nèi)大于或者等于0恒成立，而不單純是大于0恒成立如果函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上單調(diào)，則這個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在這個(gè)區(qū)間上一定存在變號(hào)零點(diǎn),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,思維導(dǎo)引 (1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得關(guān)于a的方程求得a值；(2)求導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)，并根據(jù)導(dǎo)數(shù)在這些點(diǎn)左右兩側(cè)的符號(hào)確定極值點(diǎn)，求出極值,運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求可導(dǎo)函數(shù)yf(x)的極值的步驟： (1)先求函數(shù)的定義域，再求函數(shù)yf(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)； (2)求方程f(x)0的根； (3)檢查f(x)在方程根的左右的值的符號(hào)，如果左正右負(fù)，那么f(x)在這個(gè)根處取得極大值，如果左負(fù)右正，那么f(x)在這個(gè)根處取得極小值如果左右符號(hào)相同，則此根處不是極值點(diǎn),解：(1)f(x)x2(m1)x， 由f(x)在x1處取得極大值， 得f(1)1(m1)0， 則m0，經(jīng)檢驗(yàn)m0符合題意， 所以m0.,(2)因?yàn)閒(x)在區(qū)間(2，)為增函數(shù)， 所以f(x)x2(m1)xx(xm1)0在區(qū)間(2，)恒成立， 所以xm10恒成立， 即mx1恒成立 由于x2，得m1， 所以m的取值范圍是m1.,當(dāng)m1時(shí)，h(x)、h(x)隨x的變化情況如下表：,例3 已知函數(shù)f(x)x2eax，其中a0，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù) (1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性； (2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間0,1上的最大值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值,思維導(dǎo)引 (1)就參數(shù)a的不同取值討論導(dǎo)數(shù)的符號(hào)；(2)根據(jù)函數(shù)的極值點(diǎn)與已知區(qū)間的位置關(guān)系進(jìn)行分類(lèi)討論 解 (1)f(x)2xeaxx2aeaxx(ax2)eax. 當(dāng)a0時(shí)，由f(x)0得x0， 由f(x)0得x0. 故函數(shù)f(x)在(0，)單調(diào)遞增，在(，0)單調(diào)遞減；,求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a，b上的最值時(shí)，首先可判斷函數(shù)在a，b上的單調(diào)性，若函數(shù)在a，b上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，則f(a)，f(b)一個(gè)為最大值，一個(gè)為最小值若函數(shù)在a，b上不單調(diào)，一般先求a，b上f(x)的極值，再與f(a)，f(b)比較，最大的即為最大值，最小的即為最小值,利用導(dǎo)數(shù)研究生活中的優(yōu)化問(wèn)題,(1)當(dāng)汽車(chē)以40千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地要耗油多少升？ (2)當(dāng)汽車(chē)以多大的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？ 思維導(dǎo)引 (1)先求出從甲地到乙地的時(shí)間，再與y相乘，即得耗油量(2)首先由每小時(shí)耗油量×時(shí)間，得到總耗油量關(guān)于行駛速度x的函數(shù)解析式，利用導(dǎo)數(shù)求最值,當(dāng)x(0,80)時(shí)，h(x)0，h(x)是增函數(shù)， 所以當(dāng)x80時(shí)，h(x)取到極小值h(80)11.25， 因?yàn)閔(x)在(0,120上只有一個(gè)極值， 所以它是最小值 故當(dāng)汽車(chē)以80千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油最少，最少為11.25升,即時(shí)突破4 (2014吉林省吉林市二模)某蔬菜基地有一批黃瓜進(jìn)入市場(chǎng)銷(xiāo)售，通過(guò)市場(chǎng)調(diào)查，預(yù)測(cè)黃瓜的價(jià)格f(x)(單位：元/kg)與時(shí)間x(單位：天，x(0,8且xN*)的數(shù)據(jù)如下表： (1)根據(jù)上表數(shù)據(jù)，從下列函數(shù)中選取一個(gè)函數(shù)描述黃瓜價(jià)格f(x)與上市時(shí)間x的變化關(guān)系：f(x)axb，f(x)ax2bxc，f(x)a·bx，其中a0，并求出此函數(shù)；,解：(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，表述黃瓜價(jià)格f(x)與上市時(shí)間x的變化關(guān)系的函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)，這與函數(shù)f(x)axb，f(x)a·bx，均具有單調(diào)性不符，所以，在a0的前提下，可選取二次函數(shù)f(x)ax2bxc進(jìn)行描述 把表格提供的三對(duì)數(shù)據(jù)代入該解析式得到：,