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2.5 指數(shù)與指數(shù)函數(shù),知識梳理,考點自測,知識梳理,考點自測,2.實數(shù)指數(shù)冪 (1)分數(shù)指數(shù)冪的表示,③0的正分數(shù)指數(shù)冪是 ,0的負分數(shù)指數(shù)冪無意義. (2)有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì) ①aras= (a0,r,s∈Q). ②(ar)s= (a0,r,s∈Q). ③(ab)r= (a0,b0,r∈Q).,0,ar+s,ars,arbr,知識梳理,考點自測,(3)無理數(shù)指數(shù)冪 一般地,無理數(shù)指數(shù)冪aα(a0,α是無理數(shù))是一個 的實數(shù),有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì) 于無理數(shù)指數(shù)冪.,確定,同樣適用,3.指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì),知識梳理,考點自測,上方,(0,1),R,(0,+∞),單調(diào)遞減,單調(diào)遞增,y=1,y1,0y1,0y1,y1,知識梳理,考點自測,×,√,×,×,×,2.函數(shù)y=2|x|的值域為( ) A.[0,+∞) B.[1,+∞) C.(1,+∞) D.(0,1],B,解析:∵|x|≥0,∴2|x|∈[1,+∞),故選B.,知識梳理,考點自測,3.(2017北京,文5)已知函數(shù) ,則f(x)( ) A.是偶函數(shù),且在R上是增函數(shù) B.是奇函數(shù),且在R上是增函數(shù) C.是偶函數(shù),且在R上是減函數(shù) D.是奇函數(shù),且在R上是減函數(shù),B,知識梳理,考點自測,4.(2017廣西桂林模擬)已知x0時,函數(shù)f(x)=(2a-1)x的值恒大于1,則實數(shù)a的取值范圍是( ) A. B.(1,2) C.(1,+∞) D.(-∞,1),5.若函數(shù)y=(a2-1)x在(-∞,+∞)內(nèi)為減函數(shù),則實數(shù)a的取值范圍是 .,A,考點一,考點二,考點三,學科素養(yǎng)微專題,指數(shù)冪的化簡與求值 例1求值與化簡:,D,思考指數(shù)冪運算應遵循怎樣的原則?,考點一,考點二,考點三,學科素養(yǎng)微專題,解題心得指數(shù)冪運算的一般原則: (1)有括號的先算括號里面的,沒有括號的先做指數(shù)運算. (2)先乘除后加減,負指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù). (3)底數(shù)是負數(shù),先確定符號,底數(shù)是小數(shù),先化成分數(shù),底數(shù)是帶分數(shù)的,先化成假分數(shù). (4)若是根式,應化為分數(shù)指數(shù)冪,盡可能用冪的形式表示,運用指數(shù)冪的運算性質(zhì)來解答. (5)運算結果不能同時含有根號和分數(shù)指數(shù)冪,也不能既有分母又含有負指數(shù).,考點一,考點二,考點三,學科素養(yǎng)微專題,對點訓練1化簡下列各式:,考點一,考點二,考點三,學科素養(yǎng)微專題,指數(shù)函數(shù)的圖象及其應用 例2(1)(2017陜西西安模擬)函數(shù) (a0,a≠1)的圖象可能是( ),(2)(2017河南鄭州模擬)已知函數(shù)f(x)=4+ax-1的圖象恒過定點P,則點P的坐標是( ) A.(1,5) B.(1,4) C.(0,4) D.(4,0) (3)(2017河北衡水模擬)若曲線|y|=2x+1與直線y=b沒有公共點,則b的取值范圍是 .,D,A,[-1,1],考點一,考點二,考點三,學科素養(yǎng)微專題,(2)指數(shù)函數(shù)y=ax的圖象恒過點(0,1), 要得到函數(shù)y=4+ax-1(a0,a≠1)的圖象, 可將指數(shù)函數(shù)y=ax(a0,a≠1)的圖象向右平移1個單位長度,再向上平移4個單位長度. 則點(0,1)平移后得到點(1,5). 故點P的坐標為(1,5).,考點一,考點二,考點三,學科素養(yǎng)微專題,(3)曲線|y|=2x+1與直線y=b的圖象如圖所示. 因為曲線|y|=2x+1與直線y=b沒有公共點,所以-1≤b≤1. 故b的取值范圍是[-1,1].,考點一,考點二,考點三,學科素養(yǎng)微專題,思考畫指數(shù)函數(shù)的圖象及應用指數(shù)函數(shù)的圖象解決問題時應注意什么? 解題心得1.畫指數(shù)函數(shù)y=ax(a0,且a≠1)的圖象,應抓住三個關鍵點:(1,a),(0,1), . 2.與指數(shù)函數(shù)有關的函數(shù)圖象的研究,往往利用相應指數(shù)函數(shù)的圖象,通過平移、對稱變換得到其圖象. 3.一些指數(shù)方程、不等式問題的求解,往往利用相應的指數(shù)型函數(shù)圖象數(shù)形結合求解.,考點一,考點二,考點三,學科素養(yǎng)微專題,對點訓練2(1)若函數(shù)y=2-x+1+m的圖象不經(jīng)過第一象限,則m的取值范圍是 ; (2)若函數(shù)f(x)=ax-1(a0,且a≠1)的定義域和值域都是[0,2],則實數(shù)a= .,(-∞,-2],解析: (1)∵y=2-x+1的圖象過點(0,2), ∴y=2-x+1+m的圖象過點(0,2+m). 由函數(shù)y=2-x+1+m的圖象不經(jīng)過第一象限,可知2+m≤0, 解得m≤-2. (2)當a1時,若x∈[0,2],則y∈[0,a2-1].故a2-1=2,解得a= . 當0a1時,若x∈[0,2],則y∈[a2-1,0],此時定義域與值域不一致,無解. 綜上可知,a= .,考點一,考點二,考點三,學科素養(yǎng)微專題,指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其應用(多考向) 考向1 比較指數(shù)式的大小,A.bac B.abc C.bca D.cab,A,思考如何進行指數(shù)冪的大小比較?,考點一,考點二,考點三,學科素養(yǎng)微專題,考向2 解簡單的指數(shù)方程或指數(shù)不等式,A.(-∞,-3) B.(1,+∞) C.(-3,1) D.(-∞,-3)∪(1,+∞),C,思考如何解簡單的指數(shù)方程或指數(shù)不等式?,考點一,考點二,考點三,學科素養(yǎng)微專題,考向3 指數(shù)型函數(shù)與函數(shù)性質(zhì)的綜合 例5(2017福建廈門一模,文9)當x0時,函數(shù)f(x)=(aex+b)(x-2)單調(diào)遞增,且函數(shù)y=f(x-1)的圖象關于直線x=1對稱,則使得f(2-m)0成立的m的取值范圍是( ) A.{m|m2} B.{m|-24} D.{m|0m4},C,解析:因為y=f(x-1)的圖象關于直線x=1對稱, 所以y=f(x)的圖象關于y軸對稱.因為f(x)是偶函數(shù), 且f(2)=0,所以當x2時,f(x)0;當x0. 因為f(2-m)0,所以|2-m|2,解得m4或m0,故選C.,思考如何求解指數(shù)型函數(shù)與函數(shù)性質(zhì)的綜合問題?,考點一,考點二,考點三,學科素養(yǎng)微專題,解題心得1.比較兩個指數(shù)冪的大小時,盡量化為同底或同指.當?shù)讛?shù)相同,指數(shù)不同時,構造同一指數(shù)函數(shù),然后比較大小;當指數(shù)相同,底數(shù)不同時,構造同一冪函數(shù),然后比較大小;當?shù)讛?shù)、指數(shù)均不同時,可以利用中間值比較. 2.解決簡單的指數(shù)方程或不等式的問題主要利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,要特別注意底數(shù)a的取值范圍,并在必要時進行分類討論. 3.求解指數(shù)型函數(shù)與函數(shù)性質(zhì)的綜合問題,首先要明確指數(shù)型函數(shù)的構成,涉及值域、奇偶性、單調(diào)區(qū)間、最值等問題時,都要借助相關性質(zhì)的知識分析判斷.,考點一,考點二,考點三,學科素養(yǎng)微專題,A.c1)在區(qū)間[-1,1]上的最大值是14,則a的值為( ) A.5 B.1 C.2 D.3 (3)已知函數(shù)f(x)=2|2x-m|(m為常數(shù)),若f(x)在區(qū)間[2,+∞)內(nèi)是增函數(shù),則m的取值范圍是 .,D,D,(-∞,4],考點一,考點二,考點三,學科素養(yǎng)微專題,考點一,考點二,考點三,學科素養(yǎng)微專題,1.比較大小問題,常利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及中間值. 2.指數(shù)型函數(shù)、方程及不等式問題,可利用指數(shù)函數(shù)的圖象、性質(zhì)求解. 3.與指數(shù)型函數(shù)有關的恒成立問題: (1)當a1時,af(x)≥ag(x)恒成立?f(x)≥g(x)恒成立?f(x)-g(x)≥0恒成立?[f(x)-g(x)]min≥0. (2)當0a1時,af(x)≥ag(x)恒成立?f(x)≤g(x)恒成立?f(x)-g(x)≤0恒成立?[f(x)-g(x)]max≤0.,解決與指數(shù)函數(shù)有關的問題時,若底數(shù)不確定,應注意對a1及0a1進行分類討論.,考點一,考點二,考點三,學科素養(yǎng)微專題,數(shù)形結合思想解指數(shù)不等式 典例(1)(2017吉林長春模擬)若存在正數(shù)x使2x(x-a)1成立,則a的取值范圍是( ) A.(-∞,+∞) B.(-2,+∞) C.(0,+∞) D.(-1,+∞) (2)若 ,則滿足f(x)0的x的取值范圍是 . 答案:(1)D (2)(0,1),考點一,考點二,考點三,學科素養(yǎng)微專題,解析:(1),考點一,考點二,考點三,學科素養(yǎng)微專題,反思提升一些關于指數(shù)的方程、不等式問題的求解,往往利用相應的函數(shù)圖象,數(shù)形結合求解.,