第五節(jié) 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式,【知識(shí)梳理】 1.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式 (1)C(-):cos(-)=_. (2)C(+):cos(+)=_. (3)S(+):sin(+)=_. (4)S(-):sin(-)=_.,coscos+sinsin,coscos-sinsin,sincos+cossin,sincos-cossin,(5)T(+):tan(+)=_(,+ +k, kZ). (6)T(-):tan(-)= _(,- + k,kZ).,2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S2:sin2=_. (2)C2:cos2=_=_=_. (3)T2：tan 2= _(± +k,kZ).,2sincos,cos2-sin2,2cos2-1,1-2sin2,【考點(diǎn)自測(cè)】 1.(思考)給出下列命題： 兩角和與差的正弦、余弦公式中的角,是任意的; 存在實(shí)數(shù),使等式sin(+)=sin +sin 成立; 在銳角ABC中，sin Asin B和cos Acos B大小不確定; 公式tan(+)= 可以變形為tan +tan =tan(+)(1-tan tan ),且對(duì)任意角,都成立; 存在實(shí)數(shù)，使tan 2=2tan . 其中正確的是( ) A. B. C. D.,【解析】選B.正確.對(duì)于任意的實(shí)數(shù), ,兩角和與差的正 弦、余弦公式都成立. 正確.如取=0，因?yàn)閟in 0=0, 所以sin(+0)=sin =sin +sin 0. 錯(cuò)誤.因?yàn)?A+B, 所以cos(A+B)0,即cos Acos B-sin Asin B0. 所以sin Asin Bcos Acos B. 錯(cuò)誤.變形可以，但不是對(duì)任意角,都成立. ,+k+ ,kZ. 正確.當(dāng)=k(kZ)時(shí)，tan 2=2tan .,2.計(jì)算sin 68°sin 67°-sin 23°cos 68°的結(jié)果等于( ) 【解析】選B.原式=sin 68°cos 23°-cos 68°sin 23° =sin(68°-23°)=sin 45°=,3.下列各式中，值為 的是( ) A2sin 15°cos 15° B.cos215°sin215° C2sin215°-1 D.sin215°cos215° 【解析】選A.2sin 15°cos 15°sin 30° cos215°-sin215°cos 30° 2sin215°-1-cos 30° sin215°+cos215°=1.,4.(2014·寧波模擬)已知銳角滿足cos 2=cos( -)，則 sin 2等于( ) 【解析】選A.由cos 2=cos( -), 得(cos -sin )(cos +sin )= (cos +sin ), 由為銳角知cos +sin 0. 所以cos -sin = ，平方得1-sin 2= 所以sin 2=,5.計(jì)算： =_. 【解析】 = = 答案：,6.已知tan(+)=3，tan(-)=5，則tan 2=_. 【解析】因?yàn)?=(+)+(-)， 所以tan 2=tan(+)+(-) = = 答案：,考點(diǎn)1 三角函數(shù)公式的逆用與變形應(yīng)用 【典例1】(1)計(jì)算： =_. (2)計(jì)算：tan 20°+tan 40°+ tan 20°tan 40°_. (3) 的化簡(jiǎn)結(jié)果是_,【解題視點(diǎn)】(1)觀察式子的特點(diǎn)，利用特殊角的三角函數(shù)值，逆用和差角的正切公式求解. (2)所求式子中有兩個(gè)正切的和與積，故可逆用和角的正切公式求解. (3)逆用二倍角公式將根號(hào)內(nèi)配方化簡(jiǎn).,【規(guī)范解答】(1) =tan 45°=1. 答案：1 (2)因?yàn)閠an 60°tan(20°+40°) 所以tan 20°+tan 40°tan 60°(1-tan 20°tan 40°) 答案：,(3)原式 2|cos 4|2|sin 4cos 4|， 因?yàn)?所以cos 40，且sin 4cos 4, 所以原式-2cos 4-2(sin 4cos 4)-2sin 4. 答案：-2sin 4,【易錯(cuò)警示】注意角的范圍 本例第(3)題容易忽略討論cos 4的符號(hào)及sin 4與cos 4的大小而直接求解導(dǎo)致錯(cuò)誤，在涉及開方時(shí)，一定要討論被開方數(shù)的符號(hào).,【規(guī)律方法】三種常見公式變形 (1)正切和差角公式變形：tan x±tan ytan(x±y)·(1 tan x·tan y). (2)倍角公式變形：降冪公式 (3)升冪變形：,特殊角的三角函數(shù)的逆用 當(dāng)式子中出現(xiàn) 這些特殊角的三角函數(shù)值時(shí)，往 往就是“由值變角”的一種提示.可以根據(jù)問題的需要，將常 用三角函數(shù)式表示出來， 構(gòu)成適合公式的形式，從而達(dá)到化 簡(jiǎn)的目的.,【變式訓(xùn)練】化簡(jiǎn)： =_. 【解析】 答案：,【加固訓(xùn)練】 1.化簡(jiǎn) 的結(jié)果是( ) A.-cos 1 B.cos 1 C. cos 1 D.- cos 1 【解析】選C.原式=,2.(2014·西寧模擬)計(jì)算： =_. 【解析】 =tan(45°-15°)=tan 30°= 答案：,考點(diǎn)2 給角求值 【典例2】(1)(2013·重慶高考)計(jì)算：4cos 50°tan 40° =( ) (2)(2014·杭州模擬)計(jì)算： _,【解題視點(diǎn)】(1)先切化弦,然后通分化簡(jiǎn)求解即可. (2)綜合運(yùn)用二倍角公式，兩角和與差的正余弦公式求解.,【規(guī)范解答】(1)選C. 4cos 50°tan 40°=4cos 50°-,(2)原式= 答案：,【規(guī)律方法】給角求值應(yīng)注意的三個(gè)問題 (1)變角：分析角之間的差異，巧用誘導(dǎo)公式或拆分. (2)變名：盡可能使得函數(shù)統(tǒng)一名稱. (3)變式：觀察結(jié)構(gòu)，利用公式，整體化簡(jiǎn). 提醒：“變式”時(shí)常用的方法有“常值代換”“逆用變用公式”“通分與約分”“分解與組合”“配方與平方”等.,【變式訓(xùn)練】(2014·舟山模擬)求值： =_. 【解析】原式= 答案：,【加固訓(xùn)練】 1.(2014·伊寧模擬)計(jì)算： =_. 【解析】 答案：2,2.(2014·宜昌模擬)計(jì)算： _. 【解析】因?yàn)閟in 50°(1+ tan 10°) = = 所以 答案：,考點(diǎn)3 有限制條件的求值、證明問題 【考情】有限制條件的求值問題是高考的熱點(diǎn).在高考中以選擇題、填空題或解答題的形式出現(xiàn)，考查誘導(dǎo)公式，兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式的靈活應(yīng)用等問題.,高頻考點(diǎn) 通 關(guān),【典例3】(1)(2014·嘉興模擬)已知sin( -x)= ,0x ，則 =_. (2)(2013·廣東高考)已知函數(shù)f(x)= xR 求 的值. 若,【解題視點(diǎn)】(1)先求出 -x的范圍，再求出cos( -x)的值， 最后根據(jù)2x, +x與已知角 -x的聯(lián)系求解. (2)根據(jù)兩角和與差的余弦公式展開，轉(zhuǎn)化為特殊角和已知角 求解,【規(guī)范解答】(1)因?yàn)閤(0, ),所以 -x(0, ). 又因?yàn)?所以 又 = 所以原式= 答案：,【通關(guān)錦囊】,【特別提醒】解答有限制條件的求值問題時(shí),要善于發(fā)現(xiàn)所求的三角函數(shù)的角與已知條件角的聯(lián)系,一般方法是拼角與拆角.,【關(guān)注題型】,【通關(guān)題組】 1.(2013·江西高考)若 ，則cos =( ) 【解析】選C.cos =,2.(2014·金華模擬)設(shè)，為鈍角，且sin = ， cos =- ，則+的值為( ),【解析】選C.因?yàn)椋瑸殁g角，所以cos = = sin = 故cos(+)= cos ·cos -sin ·sin = 又+2，因此+=,3.(2013·四川高考)設(shè) ，則tan 2的 值是_ 【解析】根據(jù)題意sin 2=-sin ，可得2sin cos = -sin ，可得cos = ，tan = 所以 答案：,4.(2014·杭州模擬)已知 cos(-)= ， sin(+)=- ，則sin +cos 的值為_.,【解析】因?yàn)?所以 sin(-)= cos(+)= 故sin 2=sin(+)+(-)=sin(+)·cos(-) +cos(+)·sin(-)=,因此(sin +cos )2=1+2sin ·cos =1+sin 2= 又sin +cos 0，所以sin +cos = 答案：,【加固訓(xùn)練】 1.(2014·石家莊模擬)已知向量a=(4,5cos )，b=(3， -4tan ).若ab，且(0, )，則cos(2- )=_. 【解析】因?yàn)閍b， 所以a·b=0， 即12-20cos ·tan =0， 所以12-20sin =0，即 因?yàn)?0， )，所以,所以sin 2=2sin cos = cos 2=1-2sin2= 所以cos(2- )=cos 2·cos +sin 2·sin 答案：,2.(2013·蘭州模擬)已知sin和cos是關(guān)于x的方程 x2-2xsin+sin2=0的兩個(gè)根. 求證:2cos2=cos2. 【證明】因?yàn)閟in,cos是方程x2-2xsin+sin2=0的兩根, 所以sin+cos=2sin,sin·cos=sin2. 因?yàn)?sin+cos)2=1+2sincos, 所以(2sin)2=1+2sin2,即4sin2=1+2sin2, 所以2(1-cos2)=1+1-cos2, 所以2cos2=cos2.,【易錯(cuò)誤區(qū)9】給值求角問題的易錯(cuò)點(diǎn) 【典例】(2014·無錫模擬)已知，為三角形的兩個(gè)內(nèi)角， cos ，sin() ，則=_.,【解析】因?yàn)?，cos ， 所以sin 故 又因?yàn)?，sin(+) 所以0+ ，或 +， 由 ，,所以cos(+) 所以cos cos() cos(+)cos +sin()sin 又因?yàn)?，所以 . 答案：,【誤區(qū)警示】 1.處不能縮小角+的范圍,導(dǎo)致求cos(+)時(shí)不能正確判斷符號(hào),產(chǎn)生兩解. 2.所求函數(shù)值不是cos,而是sin,導(dǎo)致在(0,)中角有兩解的錯(cuò)誤.,【規(guī)避策略】 1.在利用平方關(guān)系求sin,cos時(shí)開方需要判斷符號(hào),若所給范圍過大,此時(shí)應(yīng)注意縮小角的范圍,方法是把所給角的函數(shù)值和特殊角的函數(shù)值比較,再結(jié)合單調(diào)性判斷.,2.通過求角的某種三角函數(shù)值來求角,在選取函數(shù)時(shí),遵照以下 原則:已知正切函數(shù)值,選正切函數(shù);已知正、余弦函數(shù)值, 選正弦或余弦函數(shù);若角的范圍是 選正、余弦皆可;若角 的范圍是(0,),選余弦較好;若角的范圍為 選正弦較好.,【類題試解】已知0 , (1)求sin 的值. (2)求的值.,【解析】(1)因?yàn)?所以,(2)因?yàn)? ,sin = ,所以cos = 又0 ,所以0-. 由cos(-)= ,得0- . 所以sin(-)= 所以sin =sin(-)+=sin(-)cos +cos(- )sin 由 得= .（或求cos = ,得= ）,