第四章 平面向量 第一節(jié) 平面向量的概念及其線性運算,【知識梳理】 1.向量的有關(guān)概念,大小,方向,a,b,c,長度,2.幾個特殊向量,0,任意的,1個單位,相同或相反,相同,相反,3.向量的加法與減法,三角形,平行四邊形,b+a,a+(b+c),相反向量,三角形,4.向量的數(shù)乘運算及其幾何意義 (1)定義:實數(shù)與向量a的積是一個向量,這種運算叫向量的數(shù) 乘,記作a,它的長度與方向規(guī)定如下: |a|=|a|; 當(dāng)0時,a與a的方向_;當(dāng)0時,a與a的方向_; 當(dāng)=0時,a=0. (2)運算律:設(shè),是兩個實數(shù),則 _=()a; (+)a=_; (a+b)=_.,相同,相反,(a),a+a,a+b,5.共線向量定理 向量a(a0)與b共線,當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個實數(shù),使_.,b=a,【考點自測】 1.(思考)給出下列命題: 零向量的模等于0,沒有方向; 若兩個非零向量共線,則其方向相同或相反; 共線向量定理b=a中,當(dāng)a=0時,則實數(shù)不唯一. 其中正確的是( ) A. B. C. D.,【解析】選B.錯誤.零向量的方向是任意的; 正確.因為兩個向量都是非零向量,所以當(dāng)其共線時,其方向相同或相反; 正確. 錯誤.當(dāng)a=0且b=0時,則實數(shù)可為任意實數(shù),故不唯一;當(dāng)a=0且b0時,不存在.故不正確.,2.如圖,已知D,E,F分別是ABC的邊BC,AB,AC的 中點,則下列說法正確的是( ) 【解析】選C.由三角形的中位線定理知,3.判斷下列四個命題: 若ab,則a=b;若|a|=|b|,則a=b; 若|a|=|b|,則ab;若a=b,則|a|=|b|.其中正確的個數(shù) 是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】選A.中兩向量共線,但這兩向量的方向、模均不一定相同,故不一定相等;中兩向量的模相等,但方向不一定相同,故這兩向量不一定相等;中兩向量的模相等,但兩向量不一定共線;中兩向量相等,則模一定相等,故正確.,4.如圖,在正方形ABCD中,AC與BD交于點O, =( ) 【解析】選C.,5.若O,E,F是不共線的任意三點,則以下各式中成立的是( ) 【解析】選B.,考點1 平面向量的有關(guān)概念 【典例1】(1)已知下列命題: 若a=b,b=c,則a=c; 0與任何向量共線; 所有的單位向量都是相等的向量; 共線向量都在同一條直線上. 其中真命題的個數(shù)是( ) A.1 B.2 C.3 D.4,(2)(2014·青島模擬)給出下列命題: 非零向量a與b同向是a=b的必要不充分條件; 若 與 共線,則A,B,C三點在同一條直線上; 若a與b同向,則a與-b反向; ,為實數(shù),若a=b,則a與b共線. 其中錯誤命題的序號為 . 【解題視點】(1)根據(jù)向量相等及共線的條件逐一判斷即可. (2)由共線向量定理逐一判斷即可.,【規(guī)范解答】(1)選B.顯然正確;對于,由向量相等的定義知,錯誤;對于,表示共線向量的有向線段也可能平行,所以錯誤. (2)對于,因為向量a與b都是非零向量,所以該命題是正確的;對于,因為向量 與 共線,且有公共點B,所以該結(jié)論是正確的;對于,因為b與-b反向,所以該結(jié)論正確;對于,當(dāng)=0時,a與b可為任意向量,不一定共線,所以不正確. 答案:,【互動探究】若本例(2)中的,都為非零實數(shù),該結(jié)論是否正確. 【解析】因為,都為非零實數(shù),則由a=b,得 由共線向量定理知該結(jié)論正確.,【規(guī)律方法】平面向量相關(guān)概念的含義 (1)向量定義的核心是方向和長度. (2)非零共線向量的核心是方向相同或相反,長度沒有限制. (3)相等向量的核心是方向相同且長度相等. (4)單位向量的核心是方向沒有限制,但長度都是一個單位長度. (5)零向量的核心是方向沒有限制,長度是0,規(guī)定零向量與任何向量共線.,【規(guī)律方法】平面向量中常用的兩個結(jié)論 (1)相等向量具有傳遞性,非零向量的平行也具有傳遞性. (2)向量可以平移,平移后的向量與原向量是相等向量.解題時不要把它與函數(shù)圖象的平移混為一談.,【變式訓(xùn)練】下列關(guān)于向量的敘述不正確的是( ) A.向量 的相反向量是 B.模長為1的向量是單位向量,其方向是任意的 C.若A,B,C,D四點在同一條直線上,且AB=CD,則 D.若向量a與b滿足關(guān)系a+b=0,則a與b共線 【解析】選C.A,B顯然正確;對于C,如圖, A,B,C,D四點滿足條件,但 所以C不正確; 對于D,由a+b=0,得b=-a,由共線向量定理知,a與b共線,所以D正確.,【加固訓(xùn)練】 (1)設(shè)a是任一向量,e是單位向量,且ae,則下列表示形式中正確的是( ) A. B.a=|a|e C.a=-|a|e D.a=±|a|e 【解析】選D.對于A,當(dāng)a=0時, 沒有意義,錯誤;對于B,C,D當(dāng)a=0時,選項B,C,D都對; 當(dāng)a0時,由ae可知,a與e同向或反向,選D.,(2)給出下列命題: 若A,B,C,D是不共線的四點,則 是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件; 0a=0; a=b的充要條件是|a|=|b|且ab; 若a與b均為非零向量,則|a+b|與|a|+|b|一定相等. 其中正確命題的序號是 .,【解析】正確;數(shù)乘向量的結(jié)果為向量,而不是實數(shù),故不正確;當(dāng)a=b時|a|=|b|且ab,反之不成立,故錯誤;當(dāng)a,b不同向時不成立,故錯誤. 答案:,考點2 平面向量的線性運算 【考情】平面向量的線性運算包括向量的加、減及數(shù)乘運算,是高考的熱點.常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn).考查向量加法的平行四邊形法則和三角形法則,向量減法的三角形法則及向量的相等.,高頻考點 通 關(guān),【典例2】(1)(2013·四川高考)如圖,在平行四邊形ABCD中,對角線AC與BD交于點O, 則= . (2)(2013·江蘇高考)設(shè)D,E分別是ABC的邊AB,BC上的點, AD= AB,BE= BC,若 (1,2為實數(shù)),則1+2的值為 .,【解題視點】(1)根據(jù)向量加法的平行四邊形法則及向量的 相等求解. (2)利用向量加法的三角形法則求解. 【規(guī)范解答】(1)在平行四邊形ABCD中, 而 所以 故=2. 答案:2 (2)由 則1+2的值為 答案:,【通關(guān)錦囊】,【特別提醒】解答平面向量線性運算有關(guān)問題的總體原則是數(shù)形結(jié)合,即結(jié)合圖形利用向量加、減法的法則進(jìn)行向量運算.,【通關(guān)題組】 1.(2014·溫州模擬)設(shè)M是ABC所在平面內(nèi)的一點, 則( ) 【解析】選B.因為 ,所以 即,2.(2014·大連模擬)在平行四邊形ABCD中,AC與BD相交于點O,E是線段OD的中點,AE的延長線與CD交于點F,若 等于( ),【解析】選B.如圖, 由題意知, DEBE=13=DFAB, 所以 所以,3.(2014·寧波模擬)在ABC中,已知D是AB邊上一點,若 則=( ) 【解析】選A.如圖，因為 所以 又 所以,【加固訓(xùn)練】 1.(2011·山東高考)設(shè)A1,A2,A3,A4是平面直角坐標(biāo)系中兩兩不同的四點,若 且 則稱A3,A4調(diào)和分割A(yù)1,A2.已知點C(c,0),D(d,0)(c,dR)調(diào)和分割點A(0,0),B(1,0),則下面說法正確的是( ) A.C可能是線段AB的中點 B.D可能是線段AB的中點 C.C,D可能同時在線段AB上 D.C,D不可能同時在線段AB的延長線上,【解析】選D.由題意得 若C是AB的中點,則= ,此時 即 =0,這樣的不 存在,故A錯誤;同理B錯誤;若C,D同時在線段AB上,則01,1, 這與 矛盾, 故選D.,2.(2011·四川高考)如圖,正六邊形ABCDEF中, ( ),【解析】選D.因為六邊形ABCDEF是正六邊形, 所以 故選D.,3.(2014·西安模擬)任意四邊形ABCD中,E,F分別是AD,BC的中點,則 = (用向量 表示). 【解析】如圖所示,因為E,F分別是AD與BC的中點, 所以 又因為 所以 同理 ,由+得, 所以 答案:,考點3 共線向量定理及其應(yīng)用 【典例3】(1)a=b(R)是a與b共線的( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 (2)設(shè)兩個非零向量a與b不共線. 若 求證:A,B,D三點共線; 試確定實數(shù)k,使ka+b和a+kb共線.,【解題視點】(1)由共線向量定理及其成立的條件進(jìn)行判斷. (2)利用共線向量定理證明 共線; 由共線向量定理列方程組求解. 【規(guī)范解答】(1)選A.當(dāng)a=b(R)時,若b=0,則a=0,顯然a與b共線;若b0,則由共線向量定理知a與b共線. 反之,若a與b共線,當(dāng)b=0,而a0時,a=b(R)不成立.故選A.,(2)因為 所以 所以 共線.又 與 有公共點B, 所以A,B,D三點共線. 因為ka+b與a+kb共線, 所以存在實數(shù),使ka+b=(a+kb), 所以 所以k=±1.,【互動探究】本例(2)條件不變,結(jié)論若改為“若向量ka+b和向量a+kb反向共線,求k的值”,則結(jié)果如何? 【解析】因為ka+b與a+kb反向共線, 所以存在實數(shù),使ka+b=(a+kb)(0), 所以 所以k=±1. 又0,k=,所以k=-1.故當(dāng)k=-1時兩向量反向共線.,【易錯警示】關(guān)注共線向量定理成立的條件 本例(1)易誤選C,出錯的原因是忽視共線向量定理成立的條件.共線向量定理:向量a(a0)與b共線,當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個實數(shù),使b=a.定理成立的條件是a0,若a=0,b0,a與b共線,此時,不存在實數(shù),使b=a.,【規(guī)律方法】共線向量定理的應(yīng)用 (1)證明向量共線,對于向量a,b,若存在實數(shù),使a=b,則a與b共線. (2)證明三點共線,若存在實數(shù),使 則A,B,C三點共線. (3)求參數(shù)的值,利用共線向量定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值. 提醒:證明三點共線時,要說明共線的兩向量有公共點.,【變式訓(xùn)練】(2014·金華模擬)已知點P是ABC所在平面內(nèi)一點,邊BC的中點為D,若 其中R,則P點一定在( ) A.AB邊所在的直線上 B.BC邊所在的直線上 C.AC邊所在的直線上 D.ABC的內(nèi)部 【解析】選C.因為D為邊BC的中點,所以 故 可變?yōu)?即 故三點P,A,C共線,即P點一定在AC邊所在的直線上.,【加固訓(xùn)練】 1.如圖,A,B,C是數(shù)軸上的三點,則下列結(jié)論正確的是( ) A. =4 B. C. D. 【解析】選D.因為 所以,2.已知點G是ABO的重心(三邊中線的交點),M是AB邊的中點. (1)求 (2)若PQ過ABO的重心G,且 求證: 【解析】(1)因為 所以,(2)顯然 因為G是ABO的重心,所以 由P,G,Q三點共線,得 所以,有且只有一個實數(shù),使 而 所以 又因為a,b不共線, 所以 消去,整理得3mn=m+n,故,【易錯誤區(qū)10】向量共線中參數(shù)求值問題的易錯點 【典例】(2014·溫州模擬)已知向量a,b不共線,且c=a+b, d=a+(2-1)b,若c與d共線反向,則實數(shù)的值為( ) A.1 B.- C.1或- D.-1或-,【解析】選B.由于c與d共線反向,則存在實數(shù)k使c=kd(k0), 于是a+b=ka+(2-1)b, 整理得a+b=ka+(2k-k)b. 由于a,b不共線,所以有 整理得22-1=0, 解得=1或=- . 又因為k0,所以0,故,【誤區(qū)警示】 1.處忽視了c與d反向,從而漏掉k的范圍限制. 2.處易忘記與k的關(guān)系及處對k的取值范圍的限制.,【規(guī)避策略】 1.認(rèn)真審題,挖掘題目的隱含限制條件,避免產(chǎn)生增解. 2.做出答案后要注意檢驗,養(yǎng)成檢驗反思的習(xí)慣.,【類題試解】已知向量a,b不共線,c=ka+b(kR),d=a-b,如果cd,那么( ) A.k=1且c與d同向 B.k=1且c與d反向 C.k=-1且c與d同向 D.k=-1且c與d反向 【解析】選D.由cd得c=d,即ka+b=(a-b), 所以 所以k=-1,所以向量c與d共線反向.,