第三節(jié) 平面向量的數(shù)量積,【知識梳理】 1.向量的夾角,AOB,同向,反向,垂直,2.平面向量的數(shù)量積,|a|b|cos,|a|cos,|b|cos,|b|cos,3.平面向量數(shù)量積的性質 設a,b都是非零向量,e是單位向量,為a與b(或e)的夾角.則 (1)e·a=a·e=|a|cos. (2)ab_. (3)當a與b同向時,a·b=|a|·|b|. 當a與b反向時,a·b=-|a|·|b|, 特別地,a·a=_或者|a|=_. (4)cos=_. (5)a·b_.,a·b=0,|a|2,|a|b|,4.數(shù)量積的運算律 (1)交換律:a·b=b·a. (2)數(shù)乘結合律:(a)·b=_=_. (3)分配律:a·(b+c)=_.,(a·b),a·(b),a·b+a·c,5.平面向量數(shù)量積的坐標表示 設向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),向量a與b的夾角為,則,x1x2+y1y2,x1x2+y1y2=0,【考點自測】 1.(思考)給出下列結論: 向量在另一個向量方向上的投影為數(shù)量,而不是向量; 兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù),向量的加、減、數(shù)乘運算的運算結果是向量; 由a·b=0可得a=0或b=0; (a·b)c=a(b·c). 其中正確的是( ) A. B. C. D.,【解析】選A.由向量投影的定義可知正確;由數(shù)量積及線性運算的意義知正確;由a·b=|a|b|cos知,當兩個非零向量的夾角=90°時,a·b=0,而不必a=0或b=0,所以不正確;由向量數(shù)量積及向量的數(shù)乘的意義知,當a·b0時,(a·b)c是與c方向相同或相反的向量,而當b·c0時a(b·c)是與a方向相同或相反的向量,所以不正確.綜上應選A.,2.已知向量a,b滿足|a|=1,|b|=4,且a·b=2,則a與b的夾角為 ( ) 【解析】選C.設a與b的夾角為, 則 又因為0,所以,3.已知向量a=(1,2),向量b=(x,-2),且a(a-b),則實數(shù)x等 于( ) A.9 B.4 C.0 D.-4 【解析】選A.a-b=(1-x,4). 由a(a-b),得1-x+8=0. 所以x=9.,4.已知單位向量a,b的夾角是120°,則|a+b|=( ) A. B.1 C. D. 【解析】選B.由題意,得|a|=|b|=1, 所以,5.已知|a|=2,向量a與b的夾角是 則a在b上的投影是 . 【解析】a在b上的投影是|a|cos 答案:,6.已知等邊三角形ABC的邊長為1,設 則a·b+b·c+c·a= . 【解析】如圖,得a與b,b與c,c與a的夾角 都是120°, 又|a|=|b|=|c|=1, 所以原式=1×1×cos120°+1×1×cos120°+1×1×cos120° 答案:,考點1 平面向量數(shù)量積的運算 【典例1】(1)(2013·新課標全國卷)已知兩個單位向量a,b的夾角為60°,c=ta+(1-t)b,若b·c=0,則t= . (2)已知正方形ABCD的邊長為1,點E是AB邊上的動點.則 的值為 , 的最大值為 .,【解題視點】(1)根據向量數(shù)量積的運算律及數(shù)量積的運算公式列方程求解. (2)結合圖形建立平面直角坐標系,用向量數(shù)量積的坐標運算求解,或選取基向量,用基向量表示后再根據向量數(shù)量積的運算公式求解.,【規(guī)范解答】(1)由c=ta+(1-t)b得,b·c=ta·b+(1-t)b2=0,整理得t|a|b|cos60°+(1-t)|b|2=0,化簡得 t+1-t=0,所以t=2. 答案:2,(2)方法一:如圖所示,以AB,AD所在的直線 分別為x,y軸建立直角坐標系,設E(t,0), 0t1,則D(0,1),B(1,0),C(1,1), =(t,-1), =(0,-1), 所以 又因為 =(1,0),所以 =t1. 方法二:選取 作為基底,設 0t1, 則 答案:1 1,【互動探究】本例(2)中,當E是AB的中點時,試求 在 上的投影. 【解析】方法一:如圖,過點E作EFDC, 垂足為F,由投影的定義知, 在 上的投影是 . 方法二:如圖,向量 與 的夾角是EDC, 所以 在 上的投影是,【規(guī)律方法】向量數(shù)量積的兩種求法 (1)當已知向量的模和夾角時,可利用定義法求解,即a·b=|a|b|cos. (2)當已知向量的坐標時,可利用坐標法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a·b=x1x2+y1y2. 運用兩向量的數(shù)量積可解決長度、夾角、垂直等問題,解題時應靈活選擇相應公式求解.,平面向量數(shù)量積運算的常用公式 (1)(a+b)·(a-b)=a2-b2. (2)(a+b)2=a2+2a·b+b2. (3)(a-b)2=a2-2a·b+b2.,【變式訓練】(2014·舟山模擬)在ABC中，A=90°，AB=1, AC=2，設點P，Q滿足 R.若 =-2，則=( ),【解析】選B.由題意可得,【加固訓練】 1.若向量a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x)滿足條件(8a-b)·c=30,則x=( ) A.6 B.5 C.4 D.3 【解析】選C.8a-b=8(1,1)-(2,5)=(6,3), 所以(8a-b)·c=(6,3)·(3,x)=30,即18+3x=30,解得x=4.,2.已知兩個單位向量e1,e2的夾角為 若向量b1=e1-2e2, b2=3e1+4e2,則b1·b2= . 【解析】b1·b2=(e1-2e2)·(3e1+4e2)=3|e1|2-2e1·e2-8|e2|2. 又因為e1,e2的夾角為 |e1|=1,|e2|=1, 所以b1·b2=3-2cos -8=3-1-8=-6. 答案:-6,考點2 平面向量的垂直與夾角問題 【典例2】(1)(2014·九江模擬)若|a|=2,|b|=4且(a+b)a,則a與b的夾角是( ) (2)(2014·湖州模擬)已知a=(-3,2),b=(-1,0),向量a+b與a-2b垂直,則實數(shù)的值為( ) (3)設兩個向量a,b,滿足|a|=2,|b|=1,a與b的夾角為 ,若向量2ta+7b與a+tb的夾角為鈍角,求實數(shù)t的范圍.,【解題視點】(1)由向量的數(shù)量積公式知,只需根據(a+b)a求出a·b即可. (2)根據向量垂直列方程求解. (3)把問題轉化為兩向量的數(shù)量積小于0且兩向量不共線反向求解.,【規(guī)范解答】(1)選A.根據題意,由于|a|=2,|b|=4且(a+b)a, 則有(a+b)·a=0a2+b·a=04+b·a=0,所以b·a=-4,那么可 知a與b的夾角的余弦值為 則a與b的夾角是 (2)選A.a+b=(-3-1,2),a-2b=(-1,2),因為向量a+b與 a-2b垂直,所以(a+b)·(a-2b)=0,則3+1+4=0,解得,(3)由向量2ta+7b與a+tb的夾角為鈍角,得 即(2ta+7b)·(a+tb)0, 化簡即得2t2+15t+70, 解得-7t 當夾角為時,也有(2ta+7b)·(a+tb)0, 但此時夾角不是鈍角, 設2ta+7b=(a+tb),0, 可求得 所以,所以 所以所求實數(shù)t的范圍是,【易錯警示】解答本例(3)易忽視向量2ta+7b與a+tb共線反向的情況,而得錯誤答案.,【規(guī)律方法】平面向量數(shù)量積的兩個應用 (1)若a,b為非零向量,則由平面向量的數(shù)量積公式得cos= (夾角公式),所以平面向量的數(shù)量積可以用來解決有關角度的問題. (2)數(shù)量積大于0說明不共線的兩向量的夾角為銳角,數(shù)量積等于0說明不共線的兩向量的夾角為直角,數(shù)量積小于0且兩向量不共線時兩向量的夾角為鈍角.,【變式訓練】(2013·安徽高考)若非零向量a,b滿足|a|=3|b|= |a+2b|,則a與b夾角的余弦值為 . 【解析】由|a|=|a+2b|,設a與b的夾角為,等式兩邊平方得a2+4a·b+4b2=a2a·b=-b2,所以 答案:,【加固訓練】 1.(2014·株洲模擬)若向量a=(1,2),b=(1,-1),則2a+b與a-b的夾角等于( ) 【解析】選C.因為2a+b=(3,3),a-b=(0,3), 設2a+b與a-b的夾角為, 所以 又0,故,2.已知a與b為兩個不共線的單位向量,k為實數(shù),若向量a+b與向量ka-b垂直,則k= . 【解析】因為(a+b)(ka-b),所以(a+b)·(ka-b)=0, 即ka2+(k-1)a·b-b2=0.(*) 又因為a,b為兩個不共線的單位向量, 所以(*)式可化為k-1=(1-k)a·b, 若1-k0,則a·b=-1,這與a,b不共線矛盾; 若1-k=0,則k-1=(1-k)a·b恒成立.綜上可知,k=1時符合題意. 答案:1,3.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61. (1)求a與b的夾角. (2)求|a+b|和|a-b|. (3)若 作ABC,求ABC的面積. 【解析】(1)由(2a-3b)·(2a+b)=61, 得4|a|2-4a·b-3|b|2=61. 因為|a|=4,|b|=3,代入上式求得a·b=-6, 所以 又0,所以= .,(2)可先平方轉化為向量的數(shù)量積. |a+b|2=(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2 =42+2×(-6)+32=13, 所以|a+b|= 同理,|a-b|= (3)由(1)知BAC= 所以,考點3 平面向量的模及其應用 【考情】有關平面向量的模的問題離不開平面向量的數(shù)量積,涉及平面向量模的問題是近幾年高考的熱點.常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn),考查求模的最值、求模的取值范圍等問題,具有一定的綜合性.,高頻考點 通 關,【典例3】(1)(2013·湖南高考)已知a,b是單位向量，a·b=0. 若向量c滿足|cab|=1,則|c|的最大值為( ) (2)(2013·浙江高考)設e1,e2為單位向量,非零向量b=xe1+ye2, x,yR.若e1,e2的夾角為 則 的最大值等于 .,【解題視點】(1)首先弄懂向量a,b是一組正交基底,且|a+b|= 由|c-(a+b)|=1利用圓的知識可求得結果,或利用代數(shù)運算,轉化為不等式求解. (2)先求 的最大值,其處理方法是變形構造函數(shù),利用函數(shù)的最值解答.,【規(guī)范解答】(1)方法一：選C.條件|c-a-b|=1 可以理解成如圖的情況 而|a+b|= 向量c的終點在單位圓上，故|c| 的最大值為 +1.,方法二:選C.由題意,得|a|=|b|=1,a·b=0, 所以|a+b|= 因為|c-a-b|=1, 所以|c-a-b|2=c2-2c·(a+b)+(a+b)2=1. 設c與a+b的夾角為, 則|c|2-2|c|× cos+2=1, 即|c|2+1=2 |c|cos2 |c|,|c|2-2 |c|+10, 解得 -1|c| +1. 故|c|的最大值為 +1.,(2) 所以 的最大值為2. 答案：2,【通關錦囊】,【通關題組】 1.(2013·杭州模擬)已知向量a=(1,1),b=(2,y),若|a+b|= a·b,則y=( ) A.-3 B.-1 C.1 D.3 【解析】選D.因為a=(1,1),b=(2,y), 所以a+b=(3,y+1),a·b=2+y, 因為|a+b|=a·b,所以 所以y=3.,2.(2014·西安模擬)已知單位向量a,b滿足|a-kb|= |ka+b|，其中k0,則下列與向量b垂直的向量可以是( ) A.6a+2b B.a+ b C.a- b D.a+ b 【解析】選D.因為單位向量a,b滿足|a-kb|= |ka+b|，其中 k0，所以(a-kb)2=3(ka+b)2， 即a·b= 因為k0,所以a·b,b·(6a+2b)=6a·b+2b2=6a·b+2-1, 即b與6a+2b不垂直，所以A不正確； 即b與 不垂直，所以B不正確； 即b與 不垂直，所以C不正確； 所以b與 的數(shù)量積可以為零， 即b與 可以垂直，故選D.,3. (2013·重慶高考)在平面上， 的取值范圍是( ) A. B. C. D. 【解析】選D.因為 所以 即,因為 所以 即 因為 所以 因為 所以 所以 所以 即,4.(2014·麗水模擬)設x,yR,向量a=(x,1),b=(1,y), c=(2,-4),且ac,bc,則|a+b|= . 【解析】因為ac,所以2x-4=0,解得x=2,又bc,所以2y+4=0,所以y=-2,所以a+b=(x+1,1+y)=(3,-1),所以|a+b|= 答案:,【加固訓練】 1.(2014·嘉興模擬)已知平面向量a,b滿足|a|=2,|b|=3, a·(a-2b)=0,則|a-b|=( ) A.2 B.3 C.4 D.6 【解析】選B.因為|a|=2,|b|=3, 所以a·(a-2b)=a2-2a·b=4-2a·b=0, 即a·b=2, 所以|a-b|=,2.若a,b,c均為單位向量,且a·b=0,(a-c)·(b-c)0,則|a+b-c|的最大值為( ) 【解析】選B.由向量a,b,c都是單位向量,可得a2=1,b2=1,c2=1,由a·b=0及(a-c)·(b-c)0,可以知道(a+b)·cc2=1,因為|a+b-c|2=a2+b2+c2+2a·b-2a·c-2b·c, 所以有|a+b-c|2=3-2(a·c+b·c)=3-2(a+b)·c, 故|a+b-c|1.,【創(chuàng)新體驗3】以平面向量的數(shù)量積為載體的創(chuàng)新問題 【典例】(2014·福州模擬)對任意兩個非零向量 定義 若平面向量a,b滿足|a|b|0，a與b的夾角 且 都在集合 中，則 =( ) A. B.1 C. D.,【審題視點】,【解析】選C.根據題中的向量的新運算及向量的數(shù)量積,可知 因為 ,所以 又因為|a|b|0, 所以0 1,所以0 cos1, 即 (0,1).又 所以,由×得, 所以 所以 所以,【創(chuàng)新點撥】 1.高考考情:以向量為背景的新定義問題,是高考命題創(chuàng)新型試題的一個熱點,考查頻次較高. 2.命題形式:常見的有新定義,新運算等.,【備考指導】 1.準確轉化:解決新定義問題時,一定要弄清新定義的含義,由此把問題轉化為我們學過的定義、運算,切忌同已有的定義或運算相混淆. 2.方法選取:成功轉化后,可結合特例法、推理法,并注意到向量的概念及數(shù)量積的運算特點,根據題目的條件求解,要注意培養(yǎng)學生獲取新信息、利用新知識的能力.,【新題快遞】 1.(2014·西安模擬)定義平面向量之間的一種運算“”如下:對任意的a=(m,n),b=(p,q),令ab=mq-np,下面說法錯誤的是 ( ) A.若a與b共線,則ab=0 B.ab=ba C.對任意的R,有(a)b=(ab) D.(ab)2+(a·b)2=a2b2,【解析】選B.對于A,由a與b共線,得mq-np=0,即ab=0,故A正確; 對于B,由新定義知,ab=mq-np,而ba=np-mq, 所以abba,故B錯誤; 對于C,(a)b=(m,n)(p,q)=mq-np=(mq-np)= (ab),故C正確; 對于D,(ab)2+(a·b)2=(mq-np)2+(mp+nq)2=m2q2+n2p2+m2p2+ n2q2=(m2+n2)(p2+q2)=|a|2|b|2,故D正確.,2.(2014·合肥模擬)如圖,在平面斜坐標系xOy中,xOy=,平面上任意一點P關于斜坐標系的斜坐標這樣定義:若 =xe1+ ye2(其中e1,e2分別是x軸,y軸同方向的單位向量),則P點的斜坐標為(x,y),向量的斜坐標為(x,y).給出以下結論:,若=60°,P(2,-1),則 若P(x1,y1),Q(x2,y2),則 若 =(x1,y1), =(x2,y2),則 =x1x2+y1y2; 若=60°,以O為圓心,1為半徑的圓的斜坐標方程為x2+y2+xy-1=0. 其中所有正確的結論的序號是 .,【解析】中,OP是兩鄰邊長分別為2,1且一內角為60°的平行四邊形較短的對角線,解三角形可知 所以正確;結合向量的平行四邊形加法法則可知若P(x1,y1),Q(x2,y2),則 (x1+x2,y1+y2)是正確的; =(x1,y1), =(x2,y2).所以 =(x1e1+y1e2)·(x2e1+y2e2),因為e1·e20,所以 x1x2+y1y2,所以錯誤;中設圓上任意一點為P(x,y),因為|OP|=1,所以(xe1+ye2)2=1,即x2+y2+xy-1=0,所以正確. 答案:,