第二節(jié) 一元二次不等式及其解法,【知識(shí)梳理】 1.一元二次不等式的特征 一元二次不等式的二次項(xiàng)(最高次項(xiàng))系數(shù)_0.,不等于,2.一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系,在不等式ax2+bx+c0(a0)中,如果二次項(xiàng)系數(shù)a0,則可先根據(jù)不等式的性質(zhì),將其轉(zhuǎn)化為正數(shù),再對(duì)照上表求解.,x|xx2,R,x|x1xx2,3.(x-a)(x-b)0或(x-a)(x-b)0型不等式解法 口訣:大于取兩邊,小于取中間.,x|xa,x|xb,或xa,x|axb,4.一元二次不等式ax2+bx+c0(a0)的求解過程用程序框圖表示為,x|xx2或xx1,R,【考點(diǎn)自測】 1.(思考)給出下列命題: 若不等式ax2+bx+c0; 若不等式ax2+bx+c0的解集是(-,x1)(x2,+),則方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根是x1和x2; 若方程ax2+bx+c=0(a0)沒有實(shí)數(shù)根,則不等式ax2+bx+c0的解集為R;,不等式ax2+bx+c0在R上恒成立的條件是a0且=b2-4ac0; 若二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象開口向下,則不等式ax2+bx+c0的解集一定不是空集. 其中正確的是( ) A. B. C. D.,【解析】選C.正確.由不等式ax2+bx+c0; 正確.由一元二次不等式的解集與相應(yīng)方程的根的關(guān)系可知結(jié)論是正確的; 錯(cuò)誤.只有當(dāng)a0時(shí)才成立,當(dāng)a0的解集為空集;,錯(cuò)誤.還要考慮a=0的情況,不等式ax2+bx+c0在R上恒成立的條件是a=0,b=0,c0或a0且=b2-4ac0; 正確.當(dāng)拋物線開口向下時(shí),在x軸下方一定存在圖象,因此ax2+bx+c0的解集一定不是空集. (另外此類題也可邊選邊排除.通過判斷正確排除D.正確排除B.錯(cuò)排除A,從而選C),2.不等式x(2-x)0的解集是( ) A.(-,0) B.(0,2) C.(-,0)(2,+) D.(2,+) 【解析】選B.由x(2-x)0x(x-2)00x2.,3.x2-ax+b0的解集為x|x3,則a+b的值是( ) A.1 B.-1 C.11 D.12 【解析】選C.由題意可知x2-ax+b=0的兩根為2,3,故a=2+3=5,b=2×3=6,故a+b=11.,4.若關(guān)于x的方程x2+mx+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( ) A.(-1,1) B.(-2,2) C.(-,-2)(2,+) D.(-,-1)(1,+) 【解析】選C.由題意可得=m2-40,即(m-2)(m+2)0,得m2.,5.(2013·廣東高考)不等式x2+x-20的解集為 . 【解析】x2+x-2=(x-1)(x+2)0,解得-2x1,解集為x|-2x 1. 答案:x|-2x1,6.已知集合A=x|-5x1,集合B=xR|(x-m)(x-2)0,且AB=(-1,n),則m= ,n= . 【解析】因?yàn)锳=x|-5x1,AB=(-1,n),所以m1,故B=x|mx2,得m=-1,n=1. 答案:-1 1,考點(diǎn)1 一元二次不等式的解法 【典例1】(1)(2013·重慶高考)關(guān)于x的不等式x2-2ax-8a20)的解集為(x1,x2),且x2-x1=15,則a=( ) (2)(2013·武漢模擬)不等式2x+3-x20的解集是 . (3)(2014·麗水模擬)解關(guān)于x的不等式x2-(a+1)x+a0.,【解題視點(diǎn)】(1)利用不等式的解集及x2-x1=15可解得a. (2)化為標(biāo)準(zhǔn)形式,求根,寫解集. (3)將不等式左邊因式分解后比較1與a的大小可得解集.,【規(guī)范解答】(1)選A.由題意知,不等式x2-2ax-8a20)的解 集為(-2a,4a),因?yàn)閤2-x1=15, 所以4a-(-2a)=15,解得a= (2)原不等式可化為x2-2x-30,即(x-3)(x+1)0, 所以-1x3. 答案:x|-1x3,(3)原不等式可化為(x-a)(x-1)1時(shí),不等式等價(jià)于11時(shí)解集為x|1xa.,【規(guī)律方法】 1.解一元二次不等式的一般步驟 一化:把不等式變形為二次項(xiàng)系數(shù)大于零的標(biāo)準(zhǔn)形式. 二判:計(jì)算對(duì)應(yīng)方程的判別式. 三求:求出對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根,或根據(jù)判別式說明方程有沒有實(shí)根. 四寫:利用“大于取兩邊,小于取中間”寫出不等式的解集.,2.解含參數(shù)的一元二次不等式時(shí)分類討論的依據(jù) (1)二次項(xiàng)中若含有參數(shù)應(yīng)討論是等于0,小于0,還是大于0,然后將不等式轉(zhuǎn)化為一次不等式或二次項(xiàng)系數(shù)為正的形式. (2)當(dāng)不等式對(duì)應(yīng)方程的根的個(gè)數(shù)不確定時(shí),討論判別式與0的關(guān)系. (3)確定無根時(shí)可直接寫出解集,確定方程有兩個(gè)根時(shí),要討論兩根的大小關(guān)系,從而確定解集形式. 提醒:當(dāng)不等式中二次項(xiàng)的系數(shù)含有參數(shù)時(shí),不要忘記討論其等于0的情況.,【變式訓(xùn)練】 1.(2013·大連模擬)已知函數(shù)f(x)=(ax-1)·(x+b),如果不等 式f(x)0的解集是(-1,3),則不等式f(-2x)0的解集是( ) A. B. C. D.,【解析】選A.不等式f(x)0, 即(ax-1)(x+b)0,其解集是(-1,3),所以 解得 于是f(x)=(-x-1)(x-3),所以不等式f(-2x) 或x- .,2.(2014·嘉興模擬)已知關(guān)于x的不等式ax2+bx+c0的解集為 . 【解析】由題意知,-2,- 是方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根,且a0即為 2x2-5x+20,故解集為 答案:,【加固訓(xùn)練】 1.已知函數(shù)f(x)=x2+bx+1是R上的偶函數(shù),不等式f(x-1)x的解集為 . 【解析】由于函數(shù)是偶函數(shù),可得b=0, 此時(shí)f(x)=x2+1,于是不等式f(x-1)x可化為x2-3x+20,解得1x2. 答案:x|1x2,2.解關(guān)于x的不等式(1-ax)20時(shí),由ax(ax-2)0時(shí),不等式解集為 當(dāng)a0時(shí),不等式解集為,考點(diǎn)2 一元二次不等式恒成立問題 【典例2】(1)若關(guān)于x的不等式ax2+2x+20在R上恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 . (2)已知函數(shù)f(x)=x2+ax+3. 當(dāng)xR時(shí),f(x)a恒成立,求a的取值范圍; 當(dāng)x-2,2時(shí),f(x)a恒成立,求a的取值范圍.,【解題視點(diǎn)】(1)由于二次項(xiàng)含有字母要分類討論,結(jié)合函數(shù)圖 象求解. (2)可直接利用判別式0求解;可轉(zhuǎn)化為求f(x)-a在-2, 2上的最小值,令其最小值大于或等于0即可.,【規(guī)范解答】(1)當(dāng)a=0時(shí),原不等式可化為2x+20,其解集不為 R,故a=0不滿足題意,舍去;當(dāng)a0時(shí),要使原不等式的解集為R, 只需 解得a . 答案: (2)f(x)a即x2+ax+3-a0,要使xR時(shí),x2+ax+3-a0恒成 立, 應(yīng)有=a2-4(3-a)0,即a2+4a-120, 解得-6a2.,當(dāng)x-2,2時(shí),設(shè)g(x)=x2+ax+3-a. 分以下三種情況討論: ()當(dāng)- -2,即a4時(shí),g(x)在-2,2上單調(diào)遞增,g(x)在 -2,2上的最小值為g(-2)=7-3a,因此 a無解;,()當(dāng)- 2,即a-4時(shí),g(x)在-2,2上單調(diào)遞減,g(x)在 -2,2上的最小值為g(2)=7+a, 因此 解得-7a-4; ()-2- 2,即-4a4時(shí),g(x)在-2,2上的最小值為 因此 解得-4a2. 綜上所述,實(shí)數(shù)a的取值范圍是-7a2.,【互動(dòng)探究】將例題(1)中條件改為“在(-1,2)上恒成立”,則a的取值范圍為 . 【解析】令f(x)=ax2+2x+2,當(dāng)a=0時(shí),f(x)=2x+2 在(-1,2)上為增函數(shù). 因f(-1)=0,所以不等式ax2+2x+20在(-1,2)上恒成立.,當(dāng)a0,與a0時(shí),=4-8a 時(shí)恒成立.f(x)的對(duì)稱軸為,若- 0,即a-2+20.所以02不成立.綜上,a0. 答案:a0,【易錯(cuò)警示】關(guān)注含參不等式的解法 (1)情況分類要全面,否則易漏解. (2)綜合解集要準(zhǔn)確,否則易出錯(cuò).,【規(guī)律方法】一元二次不等式恒成立的條件 (1)ax2+bx+c0(a0)恒成立的充要條件是: a0且b2-4ac0在區(qū)間(m,n)上恒成立,一般考慮f(x)在該區(qū)間上的最小值大于0. 提醒:對(duì)于含參數(shù)的恒成立問題,有時(shí)需要分類討論.,【變式訓(xùn)練】1.在R上定義運(yùn)算:xy=x(2-y),若不等式(x+ m)x0對(duì)任意xR恒成立, 因此=(m-2)2-4(1-2m)0, 即m2+4m0,解得-4m0. 答案:(-4,0),2.不等式x2-3ax-a對(duì)一切3x4恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍 是 . 【解析】因?yàn)閤2-3ax-a對(duì)一切3x4恒成立, 所以a 在x3,4恒成立, 令g(x)= ,x3,4,即ag(x)min, 而g(x)= 在x3,4 單調(diào)遞增,故g(x)在x=3時(shí)取得最小值3,則a3. 答案:a3,【加固訓(xùn)練】 1.(2013·重慶高考)設(shè)0,不等式8x2-(8sin)x+ cos 20對(duì)xR恒成立,則的取值范圍為 . 【解析】因?yàn)椴坏仁?x2-(8sin)x+cos20對(duì)xR恒成立, 所以=64sin2-32cos20,即64sin2-32+64sin20, 解得0sin (0). 因?yàn)?,所以 答案:,2.若函數(shù)f(x)=log2(mx2+4mx+3). (1)若函數(shù)的定義域?yàn)镽,求m的取值范圍. (2)若函數(shù)的值域?yàn)镽,求m的取值范圍. 【解析】(1)依題意,f(x)的定義域?yàn)镽,則 mx2+4mx+30恒成立. 當(dāng)m=0時(shí)顯然成立;,當(dāng)m0時(shí),則應(yīng)有 等價(jià)于 即 由得m的取值范圍是 (2)若函數(shù)的值域?yàn)镽,則mx2+4mx+3的范圍必包含(0,+). 故 故m的取值范圍是,考點(diǎn)3 一元二次不等式的綜合應(yīng)用 【考情】一元二次不等式是高考考查的熱點(diǎn),幾乎每年高考均有與其有關(guān)的題目.常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn).通常以不等式為載體綜合考查函數(shù)、方程、三角、立體幾何、解析幾何等問題.,高頻考點(diǎn) 通 關(guān),【典例3】(1)(2013·陜西高考)在如圖所示的 銳角三角形空地中,欲建一個(gè)面積不小于300m2 的內(nèi)接矩形花園(陰影部分),則其邊長x(單位: m)的取值范圍是( ) A.15,20 B.12,25 C.10,30 D.20,30,(2)(2013·新課標(biāo)全國卷改編)已知函數(shù)f(x)= 若|f(x)|ax,則a的取值范圍是( ) A.(-,0 B.(-,1 C.-2,1 D.-2,0,【解題視點(diǎn)】(1)利用三角形關(guān)系得出矩形的長、寬,利用面積公式構(gòu)造不等式求解. (2)先結(jié)合函數(shù)畫出函數(shù)y=|f(x)|的圖象,利用|f(x)|在(0,0)處的切線為制定參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn).,【規(guī)范解答】(1)選C.設(shè)矩形高為y,由三角形相似得: 且x0,y0,x40,y40,xy300, 整理得y+x=40,將y=40-x代入xy300, 整理得x2-40x+3000,解之得10x30.,(2)選D.畫出函數(shù)y=|f(x)|的大致圖象如圖所示, 當(dāng)x0時(shí),g(x)=|f(x)|=x2-2x, g'(x)=2x-2,g'(0)=-2,故a-2. 當(dāng)x0時(shí),g(x)=|f(x)|=ln(x+1),g'(x)= 由于g(x)上任意點(diǎn)處切線的斜率都要大于a,所以a0,綜上 -2a0.,【通關(guān)錦囊】,【通關(guān)題組】 1.(2014·杭州模擬)若方程ax2+bx+c=0的兩實(shí)根為x1,x2,集合S=x|xx1,T=x|xx2,P=x|x0(a0)的解集為( ) A.(ST)(PQ) B.(ST)(PQ) C.(ST)(PQ) D.(ST)(PQ),【解析】選D.不妨設(shè)x1x2,因?yàn)椴坏仁絘x2+bx+c0(a0)的解集在兩根之外,所以不等式ax2+bx+c0(a0)的解集為x|xx1,而ST=x|xx1,PQ=x|xx1=(ST)(PQ).,2.(2013·金華模擬)某公司按現(xiàn)有能力,每月收入為70萬元,公司分析部門測算,若不進(jìn)行改革,因競爭加劇收入將逐月減少.分析測算得從2014年開始第一個(gè)月收入將減少3萬元,以后逐月多減少2萬元,如果進(jìn)行改革,即投入技術(shù)改造300萬元,且2014年后每月再投入1萬元進(jìn)行員工培訓(xùn),則測算得自2014年后第一個(gè)月起累計(jì)收入Tn與時(shí)間n(以月為單位)的關(guān)系為Tn=an+b,且2014年第一個(gè)月時(shí)收入將為90萬元,第二個(gè)月時(shí)累計(jì)收入為170萬元,問2014年后經(jīng)過幾個(gè)月,該公司改革后的累計(jì)純收入高于不改革時(shí)的累計(jì)純收入.,【解析】2014年改革后經(jīng)過n個(gè)月的純收入為(Tn-300-n)萬元,公司若不進(jìn)行改革,由題設(shè)知2014年后因競爭加劇收入將逐月減少. 分析測算得2014年第一個(gè)月收入將減少3萬元,以后逐月多減少2萬元. 所以不改革,第一個(gè)月:70-3-2×(1-1), 第二個(gè)月:70-3-2(2-1), 第三個(gè)月:70-3-2(3-1), 第n個(gè)月:70-3-2(n-1),所以不改革時(shí)的純收入為: 萬元, 由題設(shè)知 所以 由題意建立不等式:80n+10-300-n70n-3n-(n-1)n, 整理,得n2+11n-2900,得n12.4, 因?yàn)閚N,故取n=13. 答:經(jīng)過13個(gè)月改革后的累計(jì)純收入高于不改革時(shí)的累計(jì)純收入.,3.(2014·臨海模擬)已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+1(a,b為實(shí)數(shù)),x R.F(x)= (1)若不等式f(x)4的解集為x|x1,求F(x)的表達(dá)式. (2)在(1)的條件下,當(dāng)x-1,1時(shí),g(x)=f(x)-kx是單調(diào)函數(shù), 求實(shí)數(shù)k的取值范圍. (3)設(shè)m·n0,a0且f(x)為偶函數(shù),判斷F(m)+F(n)能否 大于零?,【解析】(1)由已知,不等式ax2+bx-30的解集為x|x1,故a0,且方程ax2+bx-3=0的兩根為-3,1. 由根與系數(shù)的關(guān)系,得 所以f(x)=x2+2x+1=(x+1)2, 所以F(x)=,(2)由(1)有g(shù)(x)=f(x)-kx=x2+2x+1-kx =x2+(2-k)x+1 = 當(dāng) 1或 -1時(shí), 即k4或k0時(shí),g(x)具有單調(diào)性.,(3)因?yàn)閒(x)是偶函數(shù),所以f(x)=ax2+1, 所以F(x)= 因?yàn)閙·n0,設(shè)mn,則n0,m-n0, 所以|m|-n|, 所以F(m)+F(n)=f(m)-f(n)=(am2+1)-an2-1 =a(m2-n2)0, 所以F(m)+F(n)能大于零.,【加固訓(xùn)練】 1.(2013·太原模擬)設(shè)二次不等式ax2+bx+10的解集為 則ab的值為( ) A.-6 B.-5 C.6 D.5 【解析】選C.由題意得-1, 是方程ax2+bx+1=0的兩根,且a0, 所以 所以 又 所以a=-3,b=-2,所以ab=6.,2.(2013·張家界模擬)已知f(x)=ax2-x-c,不等式f(x)0的解集為x|-2x1,則函數(shù)y=f(-x)的圖象為( ),【解析】選B.由根與系數(shù)的關(guān)系知 =-2+1,- =-2,得a=-1, c=-2.f(-x)=-x2+x+2的圖象開口向下,頂點(diǎn)坐標(biāo)為,【易錯(cuò)誤區(qū)13】分段函數(shù)解不等式問題的易錯(cuò)點(diǎn) 【典例】(2013·江蘇高考)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù).當(dāng)x0時(shí),f(x)=x2-4x,則不等式f(x)x的解集用區(qū)間表示為 .,【解析】因?yàn)閒(x)是定義在R上的奇函數(shù), 所以f(0)=0, 又當(dāng)x0,所以f(-x)=x2+4x. 又f(x)為奇函數(shù),所以f(-x)=-f(x), 所以f(x)=-x2-4x(x0), 所以f(x)=,(1)當(dāng)x0時(shí),由f(x)x,得x2-4xx,解得x5. (2)當(dāng)x=0時(shí)，f(x)x無解； (3)當(dāng)xx，得-x2-4xx. 解得-5x的解集用區(qū)間表示為(-5,0)(5,+). 答案:(-5,0)(5,+),【誤區(qū)警示】 1.處對(duì)于x=0時(shí)的情況漏掉分析而導(dǎo)致不全面. 2.處利用奇函數(shù)求x0的解析式時(shí)求解錯(cuò)誤.,【規(guī)避策略】 1.利用奇偶性求函數(shù)的解析式時(shí)一定要看清函數(shù)的定義域,若在0處有定義,則奇函數(shù)中必有f(0)=0. 2.利用奇偶性解不等式一般需要求解f(x)的解析式,因此要正確利用奇偶性轉(zhuǎn)化求解析式.,【類題試解】(2013·四川高考)已知f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù),當(dāng)x0時(shí),f(x)=x2-4x,那么,不等式f(x+2)5的解集是 . 【解析】依據(jù)已知條件求出y=f(x),xR的解析式,再借助y=f(x)的圖象求解.,設(shè)x0.當(dāng)x0時(shí),f(x)=x2-4x, 所以f(-x) =(-x)2-4(-x). 因?yàn)閒(x)是定義在R上的偶函數(shù),得f(-x)=f(x), 所以f(x)=x2+4x(x0),故f(x)=,由f(x)=5得 得x=5或x=-5.觀察圖象可知由f(x)5, 得-5x5. 所以由f(x+2)5,得-5x+25,所以-7x3.故不等式f(x+2)5的解集是x|-7x3. 答案:x|-7x3,