第六章 不 等 式 第一節(jié) 不等關系與不等式,【知識梳理】 1.兩個實數(shù)比較大小的法則 設a,bR,則ab_,a=b_,ab_.,a-b0,a-b=0,a-b0,2.不等式的基本性質,ba,ac,a+cb+c,acbc,acbc,a+cb+d,acbd,3.不等式的一些常用性質 (1)倒數(shù)性質: ab,ab0 _ ; a0b _ .,(2)有關分數(shù)的性質: 若ab0,m0,則 真分數(shù)的性質: 假分數(shù)的性質:,【考點自測】 1.(思考)給出下列命題: 一個不等式的兩邊同加上或同乘以同一個數(shù),不等號方向不變; 一個非零實數(shù)越大,則其倒數(shù)就越小; 同向不等式具有可加和可乘性; 兩個數(shù)的比值大于1,則分子不一定大于分母. 其中錯誤的是( ) A. B. C. D.,【解析】選C.錯,同乘以一個負數(shù)或0時不等號改變; 錯,如-2-4; 對.當這個比值中的分母小于零時,分子小于分母,當這個比 值中的分母大于零時,分子大于分母.,2.設bb+d D.a+db+c 【解析】選C.由同向不等式具有可加性可知C正確.,3.若a1b,下列不等式中不一定成立的是( ) A.a-b1-b B.a-1b-1 C.a-11-b D.1-ab-a 【解析】選C.由a1知a-b1-b,故A正確;由ab知a-1b-1,故B正確;由1b知1-ab-a,故D正確,C項錯誤,如當a=3,b=-3時,不成立.,4.已知a,b是實數(shù),則“a0且b0”是“a+b0且ab0”的( ) A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 【解析】選C.由a0且b0可知a+b0,ab0,反之,由ab0,則a,b 同號,又a+b0知a0,b0,故為充分必要條件.,5.(2014·杭州模擬)設a0且a1,P=loga(a3-1),Q=loga(a2-1), 則P與Q的大小關系為 . 【解析】由a3-10,a2-10且a0可知a1,又(a3-1)-(a2-1)= a2(a-1)0,故a3-1a2-1,所以loga(a3-1)loga(a2-1),即PQ. 答案:PQ,6.已知-2a-1,-3b-2,則a-b的取值范圍是 ,a2+b2的取值范圍是 . 【解析】因為-2a-1,-3b-2,所以2-b3, 于是0a-b2. 又因為1a24,4b29,所以5a2+b213. 答案:(0,2) (5,13),考點1 用不等式(組)表示不等關系 【典例1】(1)已知甲、乙兩種食物的維生素A,B含量如下表:,設用甲、乙兩種食物各xkg,ykg配成至多100kg的混合食物,并使混合食物內至少含有56000單位維生素A和62000單位維生素B,則x,y應滿足的所有不等關系為 . (2)某商人如果將進貨單價為8元的商品按每件10元銷售,每天可銷售100件,現(xiàn)在他采用提高售價,減少進貨量的辦法增加利潤.已知這種商品的售價每提高1元,銷售量就相應減少10件.若把提價后商品的售價設為x元,用x表示每天的利潤不低于300元的不等關系為 .,【解題視點】(1)利用已知表格數(shù)據(jù)及題目中的限制條件逐一寫出并化簡整理可解. (2)確定單價變化時相應的每天利潤,即可列出不等式.,【規(guī)范解答】(1)依題意,有 整理化簡得 答案:,(2)若提價后商品的售價為x元,則銷售量減少 件,因 此,每天的利潤為(x-8)100-10(x-10)元,則“每天的利潤不 低于300元”可以表示為不等式(x-8)100-10(x-10)300.即 x2-28x+1900,同時10x20. 答案:x2-28x+1900(10x20),【規(guī)律方法】用不等式(組)表示不等關系的常見類型及解題策略 (1)常見類型: 常量與常量之間的不等關系; 變量與常量之間的不等關系; 函數(shù)與函數(shù)之間的不等關系; 一組變量之間的不等關系.,(2)解題策略:分析題目中有哪些未知量; 選擇其中起關鍵作用的未知量,設為x,再用x來表示其他未知量; 根據(jù)題目中的不等關系列出不等式(組). 提醒:在列不等式(組)時要注意變量自身的范圍,解題時極易忽略,從而導致錯解.,文字語言與符號語言的轉化 將實際問題中的不等關系寫成相應的不等式(組)時,應注意關鍵性的文字語言與對應數(shù)學符號語言之間的正確轉換,常見的轉換關系如表:,【變式訓練】某廠擬生產(chǎn)甲、乙兩種適銷產(chǎn)品,甲、乙產(chǎn)品都需要在A,B兩臺設備上加工,在A,B設備上加工一件甲產(chǎn)品所需工時分別為1小時、2小時,加工一件乙產(chǎn)品所需工時分別為2小時、1小時,A,B兩臺設備每月有效使用時數(shù)分別為400和500.寫出滿足上述所有不等關系的不等式.,【解析】設甲、乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為x,y,則由題意可知,【加固訓練】 1.將一個三邊長度分別為5,12,13的三角形的各邊都縮短x,構 成一個鈍角三角形,試用不等式(組)表示x應滿足的不等關系. 【解析】各邊都縮短x后,長度仍然為正數(shù),只要最短邊大于零 即可,因此5-x0.而要構成三角形,還要滿足(5-x)+(12-x)13- x.當三角形是鈍角三角形時,應使最大角是鈍角,此時只需最長 邊對的角是鈍角即可,因此(5-x)2+(12-x)2(13-x)2,故x應滿足 的不等關系如下:,2.某化工廠制定明年某產(chǎn)品的生產(chǎn)計劃,受下面條件的制約:生產(chǎn)此產(chǎn)品的工人不超過200人,每個工人的年工作時間約為2100h,預計此產(chǎn)品明年的銷售量至少為80000袋,生產(chǎn)每袋產(chǎn)品需用4h,生產(chǎn)每袋產(chǎn)品需用原料20kg,年底庫存原料600t,明年可補充1200t.試根據(jù)這些數(shù)據(jù)預測明年的產(chǎn)量.,【解析】設明年的產(chǎn)量為x袋,則 解得80000x90000. 預計明年的產(chǎn)量在80000袋到90000袋之間.,考點2 比較大小 【典例2】(1)已知a1,a2(0,1),記M=a1a2,N=a1+a2-1,則M與N的大小關系是( ) A.MN C.M=N D.不確定,(2)(2014·鄭州模擬)已知0yz B.zyx C.zxy D.yxz,【解題視點】(1)將M,N作差、變形、因式分解可解. (2)利用對數(shù)運算法則整理,再利用對數(shù)函數(shù)的單調性可解. 【規(guī)范解答】(1)選B.因為M-N=a1a2-a1-a2+1 =a1(a2-1)-(a2-1) =(a1-1)(a2-1), 因為a1,a2(0,1),故a1-10,所以MN.,(2)選D.因為 又0xz.,【互動探究】若將本例(1)中,a1,a2(0,1)這個條件去掉,又將如何判斷M,N的關系? 【解析】作差,即M-N=(a1-1)(a2-1). 當a1,a2(-,1)時, (a1-1)(a2-1)0,即MN; 當a1,a2(1,+)時, (a1-1)(a2-1)0,即MN;,當a1,a2中一個小于或等于1,另一個大于或等于1時,(a1-1)(a2-1)0,即MN. 綜上,當a1,a2(-,1)或a1,a2(1,+)時,MN,當a1,a2中一個小于或等于1,另一個大于或等于1時,MN.,【規(guī)律方法】比較兩個數(shù)大小的常用方法 (1)作差法:其基本步驟為:作差、變形、判斷符號、得出結論,用作差法比較大小的關鍵是判斷差的正負,常采用配方、因式分解、分子(分母)有理化等變形方法.,(2)作商法:即判斷商與1的關系,得出結論,要特別注意當商與1的大小確定后必須對商式分子分母的正負做出判斷,這是用作商法比較大小時最容易漏掉的關鍵步驟. (3)單調性法:利用有關函數(shù)的單調性比較大小. (4)特值驗證法:對于一些題目,有的給出取值范圍,可采用特值驗證法比較大小.,【變式訓練】已知 且a=cos2,b=cos-sin,則a 與b的大小關系為 . 【解析】由于 所以 故a=cos20,且cossin,所以b0.,而 由于 所以 故 即 故必有ab. 答案:ab,【加固訓練】 1.若 則( ) A.aa; 所以ac,即cab.,2.(2013·煙臺模擬)已知xR, 則m,n的大小關系為( ) A.m=n B.mn C.mn D.mn,【解析】選B.因為 所以 則有xR時, 恒成立.故選B.,3.已知等比數(shù)列an中,a10,q0,前n項和為Sn,則 與 的 大小關系為 . 【解析】當q=1時, 所以 當q0且q1時, 所以 綜上可得 答案:,考點3 不等式性質及其應用 【考情】不等式的性質及其應用是高考命題的熱點.不等式性質的應用是高考的?？键c,常通過不等式性質來比較大小,有時也與函數(shù)結合綜合考查充要條件等問題,常以選擇題、填空題形式出現(xiàn),題目難度不大.,高頻考點 通 關,【典例3】(1)(2013·北京高考)設a,b,cR,且ab,則( ) A.acbc B. C.a2b2 D.a3b3 (2)(2013·天津高考)設a,bR,則“(a-b)·a20”是“ab”的( ) A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件,【解題視點】(1)排除法(利用特值)可解. (2)利用兩命題間關系可解. 【規(guī)范解答】(1)選D.A選項,當c0b時,顯然B不正確;C選項,當a=1,b=-2時,a2b時,有a3b3,D是正確的. (2)選A.(a-b)·a20,則必有a-b0,即ab;而ab時,不能推出(a-b)·a20,如a=0,b=1,所以“(a-b)·a20”是“ab”的充分而不必要條件.,【通關錦囊】,【關注題型】,【通關題組】 1.(2013·陜西高考)設x表示不大于x的最大整數(shù),則對任意實數(shù)x,y,有( ) A.-x=-x B.2x=2x C.x+yx+y D.x-yx-y,【解析】選D.對A,設x=-1.8,則-x=1,-x=2,所以A選項錯. 對B,設x=-1.4,2x=-2.8=-3,2x=-4,所以B選項錯. 對C,設x=y=1.8,x+y=3.6=3, x+y=2,所以C選項錯.,2.(2012·四川高考)設a,b為正實數(shù),現(xiàn)有下列命題: 若a2-b2=1,則a-b1; 若 =1,則a-b1; 若| |=1,則|a-b|1; 若|a3-b3|=1,則|a-b|1. 其中的真命題有 (寫出所有真命題的序號).,【解析】中a2-b2=1,所以a-b= 而a0,b0,又a2=b2+11, 所以a1,所以 b,因為a3-b3=1,又(a-b)3 =a3-3a2b+3ab2-b3=1+3ab(b-a)1,故a-b1,所以正確. 答案:,【加固訓練】 1.(2012·湖南高考)設ab1,cloga(b-c).則其中所有的正確結論的序號是( ) A. B. C. D.,【解析】選D.因為ab1,所以 又cb1,所以acb1,-c0,所以a-cb-c1, 所以logb(a-c)loga(a-c)loga(b-c), 故logb(a-c)loga(b-c),故對.,2.(2014·臺州模擬)已知函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)的圖象經(jīng)過點 (-1,3)和(1,1)兩點,若0c1,則a的取值范圍是( ) A.(1,3) B.(1,2) C.2,3) D.1,3 【解析】選B.函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)的圖象經(jīng)過點(-1,3) 和(1,1)兩點,則 可得c=2-a, 因為0c1,所以02-a1,所以1a2, 所以實數(shù)a的取值范圍是1a2.故選B.,3.(2014·棗莊模擬)若ab0,c-d0, 又ab0,所以a-cb-d0,故 而e0,所以,4.(2014·紹興模擬)若二次函數(shù)f(x)的圖象關于y軸對稱,且1f(1)2,3f(2)4,求f(3)的范圍.,【解析】設f(x)=ax2+c(a0), f(3)=9a+c=3f(2)-3f(1)+ 因為1f(1)2,3f(2)4, 所以55f(1)10,248f(2)32,148f(2)-5f(1)27, 所以,【巧思妙解6】巧用特值判斷不等式問題 【典例】(2014·寧波模擬)若 則下列不等式: |a|+b0; lna2lnb2中,正確 的不等式是( ) A. B. C. D.,【解析】常規(guī)解法: 選C.由 可知b0,所以 故有 故正確,排除B,D;中,因為bab, 又因為 所以 故正確,排除A,選C. 巧妙解法: 選C.因為 故可取a=-1,b=-2,顯然 故對,排除B,D,對于中, 而 故 成立,排除A,選C.,【解法分析】,【小試牛刀】若ab0,則下列不等式中一定成立的是( ),【解析】常規(guī)解法:選A.對B, 故B不成立. 對D, 故D不成立.,另外,函數(shù)f(x)=x- 是(0,+)上的增函數(shù),但函數(shù)g(x)=x+ 在(0,1上遞減,在1,+)上遞增.所以,當ab0時,f(a)f(b) 必定成立.但g(a)g(b)未必成立,這樣, 巧妙解法:選A.取a=2,b=1,排除B和D,取a=2,b= ,排除C.,