第三節(jié) 二元一次不等式(組)與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題,【知識(shí)梳理】 1.二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域,包括邊界直線,公共部分,2.二元一次不等式(組)的解集 滿足二元一次不等式(組)的x和y的取值構(gòu)成的_, 叫做二元一次不等式(組)的解,所有這樣的_構(gòu) 成的集合稱為二元一次不等式(組)的解集.,有序數(shù)對(duì)(x,y),有序數(shù)對(duì)(x,y),3.線性規(guī)劃的有關(guān)概念,不等式(組),不等式(組),解析式,一次,最大值或最小值,最大值,最小值,【考點(diǎn)自測(cè)】 1.(思考)給出下列命題: 不等式Ax+By+C0表示的平面區(qū)域一定在直線Ax+By+C=0的上方; 任何一個(gè)二元一次不等式組都表示平面上的一個(gè)區(qū)域; 線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解可能是不唯一的; 線性目標(biāo)函數(shù)取得最值的點(diǎn)一定在可行域的頂點(diǎn)或邊界上;,目標(biāo)函數(shù)z=ax+by(b0)中,z的幾何意義是直線ax+by-z=0在y軸上的截距. 其中正確的是( ) A. B. C. D.,【解析】選C.錯(cuò)誤.不等式Ax+By+C0表示的平面區(qū)域也可能在直線Ax+By+C=0的下方,這要取決于A與B的符號(hào); 錯(cuò)誤.不一定,如果二元一次不等式組的解集為空集,它就不表示任何區(qū)域; 正確.當(dāng)目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的直線與可行域的某一條邊界直線平行時(shí),最優(yōu)解可能有無數(shù)多個(gè);,正確.線性目標(biāo)函數(shù)都是通過平移直線,在與可行域有公共點(diǎn) 的情況下,分析其在y軸上的截距的取值范圍,因此其取得最值 的點(diǎn)一定在可行域的頂點(diǎn)或邊界上; 錯(cuò)誤.由ax+by-z=0可得 所以 才是該直線在y 軸上的截距.,2.若點(diǎn)(m,1)在不等式2x+3y-50所表示的平面區(qū)域內(nèi),則m的取值范圍是( ) A.m1 B.m1 C.m1 【解析】選D.依題意有2m+3-50,解得m1.,3.不等式組 所表示的平面區(qū)域的面積為( ) A.1 B. C. D.2 【解析】選B.不等式組表示的區(qū)域如圖所示. 所以面積S= ×1×1= .,4.(2013·天津高考)設(shè)變量x,y滿足約束條件 則目標(biāo)函數(shù)z=y-2x的最小值為( ) A.-7 B.-4 C.1 D.2,【解析】選A.由z=y-2x,得y=2x+z.作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū) 域ABC(如圖).作直線y=2x,平移直線y=2x+z,由圖象知當(dāng)直線經(jīng) 過點(diǎn)B時(shí),y=2x+z的截距最小,此時(shí)z最小.由 得 代入z=y-2x得z=3-2×5=-7.所以最小值為-7.,5.(2014·杭州模擬)華源裝飾公司要為客戶做4個(gè)文字版面,3個(gè)繪畫版面.現(xiàn)有兩種規(guī)格原料,甲種規(guī)格每張3m2,可做文字版面2個(gè),繪畫版面2個(gè);乙種規(guī)格每張2m2,可做文字版面2個(gè),繪畫版面1個(gè).為了節(jié)約費(fèi)用,使總用料面積最小,則需要買甲、乙兩種規(guī)格的原料的張數(shù)分別為 .,【解析】設(shè)買甲種規(guī)格原料x張,乙種規(guī)格原料y張. 由題意得 所用原料總面積的目標(biāo)函數(shù)S=3x+2y,作 出可行域,當(dāng)直線S=3x+2y過2x+2y=4與2x+y=3的交點(diǎn)M(1,1)時(shí), S最小,故甲、乙規(guī)格原料各1張. 答案:1,1,6.若實(shí)數(shù)x,y滿足不等式組 且x+y的最大值為9, 則實(shí)數(shù)m= .,【解析】如圖作出可行域. 由 得 平移直線y=-x, 當(dāng)其經(jīng)過點(diǎn)A時(shí),x+y取得最大值, 即 解得m=1. 答案:1,考點(diǎn)1 平面區(qū)域的相關(guān)問題 【典例1】(1)(2014·衢州模擬)如果不等式組 表 示的平面區(qū)域是一個(gè)直角三角形且y=2x與kx-y+1=0垂直,則該 三角形的面積為( ) A. B. C. D.,(2)(2013·山東高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M為不等式組 所表示的區(qū)域上一動(dòng)點(diǎn)，則|OM|的最小值為_.,【解題視點(diǎn)】(1)根據(jù)構(gòu)成的平面區(qū)域?yàn)橹苯侨切蝸砬蠼? (2)作出不等式組表示的平面區(qū)域,利用區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離及數(shù)形結(jié)合可求|OM|的最小值.,【規(guī)范解答】(1)選C.由y=2x與kx-y+1=0垂直,則k=- ,三角 形的三個(gè)頂點(diǎn)為(0,0),(0,1), 面積為,(2)作出可行域如圖 易知過原點(diǎn)作直線x+y2=0的垂線， 即為|OM|的最小值, |OM|min= 答案：,【規(guī)律方法】平面區(qū)域問題的解題思路 (1)求平面區(qū)域的面積: 首先畫出不等式組表示的平面區(qū)域,若不能直接畫出,應(yīng)利用題目的已知條件轉(zhuǎn)化為不等式組問題,從而再作出平面區(qū)域; 對(duì)平面區(qū)域進(jìn)行分析,若為三角形應(yīng)確定底與高,若為規(guī)則的四邊形(如平行四邊形或梯形),可利用面積公式直接求解.若為不規(guī)則四邊形,可分割成幾個(gè)三角形分別求解再求和即可. (2)利用幾何意義求解的平面區(qū)域問題,也應(yīng)作出平面圖形,利用數(shù)形結(jié)合的方法去求解.,【變式訓(xùn)練】(2014·溫州模擬)已知不等式組 表示的平面區(qū)域的面積是 ,則a等于( ) A. B.3 C. D.2 【解析】選A.畫出平面區(qū)域,可知該區(qū)域是一個(gè)三角形,其面積 等于 所以 解方程組 得 所以 解得a= ,選A.,【加固訓(xùn)練】 1.若M為不等式組 表示的平面區(qū)域,則當(dāng)a從-2連續(xù) 變化到1時(shí),動(dòng)直線x+y=a掃過M中的那部分區(qū)域的面積為( ) A. B.1 C. D.2,【解析】選C.根據(jù)題意作圖如圖所示. 圖中陰影部分為所求的區(qū)域,設(shè)其面積為S,S=SAOD-SABC = ×2×2- ×1× = .,2.(2012·福建高考)若直線y=2x上存在點(diǎn)(x,y)滿足約束條件 則實(shí)數(shù)m的最大值為( ) A.-1 B.1 C. D.2,【解析】選B.如圖, 當(dāng)y=2x經(jīng)過且只經(jīng)過x+y-3=0和x=m的交點(diǎn)時(shí),m取到最大值,此時(shí)點(diǎn)(m,2m)在直線x+y-3=0上,則m=1.,3.若不等式組 表示的平面區(qū)域?yàn)镸,當(dāng)拋物線y2= 2px(p0)與平面區(qū)域M有公共點(diǎn)時(shí),實(shí)數(shù)p的取值范圍是( ) A.(0,2 B. C. D.,【解析】選D.作出平面區(qū)域(如圖),可以求得A(1,2),B(2,1), 代入拋物線方程可得p=2,p= , 所以,考點(diǎn)2 線性規(guī)劃的相關(guān)問題 【考情】線性規(guī)劃問題以其獨(dú)特的表達(dá)形式成為不等式部分的重要內(nèi)容,線性規(guī)劃中,通過最優(yōu)解求參數(shù)的值或范圍問題是高考命題的亮點(diǎn)與熱點(diǎn),作為不等式的重要組成部分,高考中常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn),解答題偶爾也會(huì)考查.,高頻考點(diǎn) 通 關(guān),【典例2】(1)(2013·新課標(biāo)全國(guó)卷)設(shè)x,y滿足約束條件 則z=2x-3y的最小值是( ) A.-7 B.-6 C.-5 D.-3 (2)(2013·大綱版全國(guó)卷)記不等式組 所表示的 平面區(qū)域?yàn)镈.若直線y=a(x+1)與D有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是 _.,【解題視點(diǎn)】(1)作出可行域找到取最優(yōu)解的點(diǎn),聯(lián)立方程得交點(diǎn)代入可求. (2)先確定可行域,再根據(jù)該直線過定點(diǎn)(-1,0),然后把該直線繞(-1,0)旋轉(zhuǎn),根據(jù)傾斜角和斜率的關(guān)系求解.,【規(guī)范解答】(1)選B.由z=2x-3y得3y=2x-z， 即 作出可行域如圖, 平移直線 由圖象可知當(dāng)直 線 經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，直線 的截距最大，此時(shí)z取得最小 值，由 即B(3，4),代入直線z=2x-3y,得z=2×3-3×4=-6，選B.,(2)畫出可行域如圖所示， 當(dāng)直線y=a(x+1)過點(diǎn)A(0,4)時(shí)，a取得 最大值為4，當(dāng)直線y=a(x+1)過點(diǎn) B(1,1)時(shí)，a取得最小值為 所以a的 取值范圍為 答案:,【通關(guān)錦囊】,【特別提醒】對(duì)求線性規(guī)劃中含有參數(shù)的問題,有時(shí)需要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論解決.,【關(guān)注題型】,【通關(guān)題組】 1.(2013·福建高考)若變量x,y滿足約束條件 則 z=2x+y的最大值和最小值分別為( ) A.4和3 B.4和2 C.3和2 D.2和0,【解析】選B.可行域如圖所示,可行域的三個(gè)端點(diǎn)為(1,0), (2,0),(1,1),當(dāng)直線z=2x+y分別過點(diǎn)(1,0),(2,0)時(shí),z取得最小 值與最大值,分別代入可得zmin=2×1+0=2,zmax=2×2+0=4.,2.(2013·四川高考)若變量x,y滿足約束條件 且z=5yx的最大值為a，最小值為b，則ab的值是( ) A.48 B.30 C.24 D.16,【解析】選C.作出可行域如圖，結(jié)合 圖形可知，當(dāng) 經(jīng)過點(diǎn)A(4,4) 時(shí)，z取最大值16，當(dāng) 經(jīng)過 點(diǎn)B(8,0)時(shí)，z取最小值為-8，所以 ab=24，故選C.,3.(2013·北京高考)設(shè)D為不等式組 表示的平面區(qū) 域,區(qū)域D上的點(diǎn)與點(diǎn)(1,0)之間的距離的最小值為 .,【解析】不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示,可得點(diǎn)(1,0)到區(qū) 域D上點(diǎn)的最小距離即是點(diǎn)(1,0)到直線2x-y=0的距離, 答案:,4.(2014·紹興模擬)設(shè)x,y滿足約束條件 若目標(biāo) 函數(shù)z=abx+y(a0,b0)的最大值為8,則a+b的最小值為 .,【解析】如圖所示,線性約束條件表示的區(qū)域?yàn)閳D中的陰影部 分,A(0,2), C(1,4),當(dāng)直線l:y=-abx+z過點(diǎn)C時(shí),z取最 大值8,即8=ab+4, 所以ab=4.又因?yàn)閍0,b0, 所以a+b =4. 答案:4,【加固訓(xùn)練】 1.(2013·安徽高考)在平面直角坐標(biāo)系中,O是坐標(biāo)原點(diǎn),兩定 點(diǎn)A,B滿足 則點(diǎn)集 所表示的區(qū)域的面積是( ),【解析】選D.因?yàn)?所以 又|+|1， 故|1-|1-11,同理可推得-11,滿足 的點(diǎn)所在的區(qū)域如圖所示, 其中AOB是正三角形,其面積為S1= 故所求區(qū)域的面積為S=4S1=4 .,2.(2013·江蘇高考)拋物線y=x2在x=1處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形區(qū)域?yàn)镈(包含三角形內(nèi)部和邊界).若點(diǎn)P(x,y)是區(qū)域D內(nèi)的任意一點(diǎn),則x+2y的取值范圍是 .,【解析】由y'=2x得拋物線y=x2在x=1處的切線方程為y-1=2(x-1)即y=2x-1, 即得可行域如圖中陰影. 目標(biāo)函數(shù)z=x+2y 平移目標(biāo)函數(shù),經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)x+2y最小, 經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)x+2y最大,故x+2y的取值范圍是 答案:,考點(diǎn)3 線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用 【典例3】(1)(2013·湖北高考)某旅行社租用A,B兩種型號(hào)的客車安排900名客人旅行,A,B兩種車輛的載客量分別為36人和60人,租金分別為1600元/輛和2400元/輛,旅行社要求租車總數(shù)不超過21輛,且B型車不多于A型車7輛.則租金最少為( ) A.31200元 B.36000元 C.36800元 D.38400元,(2)某加工廠用某原料由甲車間加工出A產(chǎn)品,由乙車間加工出B產(chǎn)品.甲車間加工一箱原料需耗費(fèi)工時(shí)10小時(shí)可加工出7千克A產(chǎn)品,每千克A產(chǎn)品獲利40元.乙車間加工一箱原料需耗費(fèi)工時(shí)6小時(shí)可加工出4千克B產(chǎn)品,每千克B產(chǎn)品獲利50元.甲、乙兩車間每天共能完成至多70箱原料的加工,每天甲、乙兩車間耗費(fèi)工時(shí)總和不得超過480小時(shí),甲、乙兩車間每天總獲利最大的生產(chǎn)計(jì)劃為( ),A.甲車間加工原料10箱,乙車間加工原料60箱 B.甲車間加工原料15箱,乙車間加工原料55箱 C.甲車間加工原料18箱,乙車間加工原料50箱 D.甲車間加工原料40箱,乙車間加工原料30箱,【解題視點(diǎn)】(1)利用題意設(shè)出A,B兩種型號(hào)的車輛數(shù)量,列出不等式組及目標(biāo)函數(shù),利用線性規(guī)劃求解. (2)設(shè)出兩車間加工原料數(shù)量及總利潤(rùn),列出不等式組及目標(biāo)函數(shù),利用線性規(guī)劃求解.,【規(guī)范解答】(1)選C.設(shè)A型、B型車輛的數(shù)量分別為x，y輛， 則相應(yīng)的租金為1 600x+2 400y，依題意，x，y還需滿足： x+y21，yx+7，36x+60y900，于是問題等價(jià)于求滿足約 束條件 且使目標(biāo)函數(shù)z=1 600x+2 400y達(dá)到最小的x，y,作可行域如圖所示的陰影部分中的整點(diǎn),可行域的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為P(5，12)，Q(7，14)，R(15，6)， 由圖可知，當(dāng)直線z=1 600x+2 400y 經(jīng)過可行域的點(diǎn)P時(shí)，直線z=1 600x+ 2 400y在y軸上的截距 最小， 即z取得最小值. 故應(yīng)配備A型車5輛，B型車12輛. zmin=1 600x+2 400y=1 600×5+2 400×12=36 800(元).,(2)選B.設(shè)甲車間加工x箱原料,乙車間加工y箱原料,總獲利為z, 則 目標(biāo)函數(shù)z=280x+200y, 畫出可行域如圖所示(陰影部分整數(shù)點(diǎn)),聯(lián)立 平移7x+5y=0,知z在點(diǎn)A(15,55)時(shí)取最大值.,【易錯(cuò)警示】關(guān)注實(shí)際問題的特殊性 本例(1),約束條件要全面,不能漏掉某些條件,本例(2)中是最優(yōu)整數(shù)解,解題時(shí)忽略這一點(diǎn),易造成誤解.,【規(guī)律方法】解線性規(guī)劃應(yīng)用題的步驟 (1)轉(zhuǎn)化:設(shè)元,寫出約束條件和目標(biāo)函數(shù),從而將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)上的線性規(guī)劃問題. (2)求解:解這個(gè)純數(shù)學(xué)的線性規(guī)劃問題. 求解過程: 作圖:畫出約束條件所確定的平面區(qū)域和目標(biāo)函數(shù)所表示的平面直線系中的任意一條直線l.,平移:將l平行移動(dòng),以確定最優(yōu)解所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置. 求值:解有關(guān)方程組求出最優(yōu)解的坐標(biāo),再代入目標(biāo)函數(shù),求出目標(biāo)函數(shù)的最值.,(3)作答:就應(yīng)用題提出的問題作出回答. 提醒:線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用問題,需要通過審題理解題意,找出各量之間的關(guān)系,最好是列成表格,找出線性約束條件,寫出所研究的目標(biāo)函數(shù),轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題.,利用線性規(guī)劃解實(shí)際問題的一般思路 (1)認(rèn)真分析并掌握實(shí)際問題的背景,收集有關(guān)數(shù)據(jù). (2)將影響問題的各項(xiàng)主要因素作為決策量,設(shè)為未知數(shù). (3)根據(jù)問題特點(diǎn),寫出約束條件. (4)根據(jù)問題特點(diǎn),寫出目標(biāo)函數(shù),并求出最優(yōu)解或其他要求的解.,【變式訓(xùn)練】某營(yíng)養(yǎng)師要為某個(gè)兒童預(yù)訂午餐和晚餐.已知一個(gè)單位的午餐含12個(gè)單位的碳水化合物,6個(gè)單位的蛋白質(zhì)和6個(gè)單位的維生素C;一個(gè)單位的晚餐含8個(gè)單位的碳水化合物,6個(gè)單位的蛋白質(zhì)和10個(gè)單位的維生素C.另外,該兒童這兩餐需要的營(yíng)養(yǎng)中至少含64個(gè)單位的碳水化合物,42個(gè)單位的蛋白質(zhì)和54個(gè)單位的維生素C.如果一個(gè)單位的午餐、晚餐的費(fèi)用分別是2.5元和4元,那么要滿足上述的營(yíng)養(yǎng)要求,并且花費(fèi)最少,應(yīng)當(dāng)為該兒童分別預(yù)訂多少個(gè)單位的午餐和晚餐?( ) A.4,4 B.4,3 C.3,4 D.3,3,【解析】選B.設(shè)需要預(yù)訂滿足要求的午餐和晚餐分別為x個(gè)單位和y個(gè)單位,所花的費(fèi)用為z元, 則依題意得z=2.5x+4y,且x,y滿足,作出線性約束條件所表示的可行域,如圖中陰影部分的整數(shù)點(diǎn), 讓目標(biāo)函數(shù)表示的直線2.5x+4y=z在可行域上平移,由此可知 z=2.5x+4y在B(4,3)處取得最小值. 因此,應(yīng)當(dāng)為該兒童預(yù)訂4個(gè)單位的午餐和3個(gè)單位的晚餐,就可 滿足要求.,【加固訓(xùn)練】 1.某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品,已知生產(chǎn)每噸甲產(chǎn)品要用A原料3噸,B原料2噸;生產(chǎn)每噸乙產(chǎn)品要用A原料1噸,B原料3噸.甲產(chǎn)品每噸利潤(rùn)為5萬元,乙產(chǎn)品每噸利潤(rùn)為3萬元,該企業(yè)在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)消耗A原料不超過13噸,B原料不超過18噸,那么該企業(yè)的最大利潤(rùn)為 .,【解析】設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品x噸,乙產(chǎn)品y噸,利潤(rùn)為z萬元,由題意可 得 目標(biāo)函數(shù)為z=5x+3y,作出如圖所示的可行域 (陰影部分).當(dāng)直線5x+3y=z經(jīng)過A(3,4)時(shí),z取得最大值, 所以zmax=5×3+3×4=27(萬元). 答案:27萬元,2.(2014·徐州模擬)某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品,其產(chǎn)量分別為45個(gè)與55個(gè),所用原料為A,B兩種規(guī)格金屬板,每張面積分別為2m2與3m2.用A種規(guī)格金屬板可造甲種產(chǎn)品3個(gè),乙種產(chǎn)品5個(gè);用B種規(guī)格金屬板可造甲、乙兩種產(chǎn)品各6個(gè).問A,B兩種規(guī)格金屬板各取多少張才能完成計(jì)劃,并使總的用料面積最省?,【解析】設(shè)A,B兩種金屬板各取x張,y張,用料面積為z, 則約束條件為 目標(biāo)函數(shù)z=2x+3y. 作出不等式組所表示的平面區(qū)域,即可行域,如圖所示.,z=2x+3y變成 得斜率為- ,在y軸上截距為 ,且 隨z變化的一族平行直線. 當(dāng)直線z=2x+3y過可行域上點(diǎn)M時(shí),截距最小,z最小, 解方程組 得M點(diǎn)的坐標(biāo)為(5,5). 此時(shí)zmin=2×5+3×5=25(m2). 答:兩種金屬板各取5張時(shí),用料面積最省.,【易錯(cuò)誤區(qū)14】含參數(shù)的線性規(guī)劃問題的易錯(cuò)點(diǎn) 【典例】(2013·浙江高考)設(shè)z=kx+y，其中實(shí)數(shù)x,y滿足 若z的最大值為12，則實(shí)數(shù)k=_.,【解析】畫出可行域如圖所示. 其中A(2，3)，B(2，0)，C(4，4). 當(dāng)k=0時(shí)，顯然不成立； 當(dāng)k0時(shí),最大值在C處取得，此時(shí) 12=4k+4，得k=2； 當(dāng)k0時(shí)，最大值在A或C處取得， 此時(shí)，12=2k+3或12=4k+4, 得 均不合要求，故k=2. 答案：2,【誤區(qū)警示】 1.處易出現(xiàn)未對(duì)k的取值討論，直接將點(diǎn)代入求解. 2.處忘記檢驗(yàn)所求值與條件是否相符.,【規(guī)避策略】 1.對(duì)于含參數(shù)的線性規(guī)劃問題，若目標(biāo)函數(shù)含參數(shù)一般需要分類討論. 2.解題過程中，對(duì)求出的參數(shù)值要進(jìn)行檢驗(yàn)是否合乎要求.,【類題試解】(2014·余姚模擬)已知x,y滿足約束條件|x|+ 2|y|2，且z=y-mx(m0)的最小值等于-2，則實(shí)數(shù)m的值等于_.,【解析】原不等式等價(jià)于以下四個(gè)不等式組： 因此可畫出可行域(如圖).由z=y-mx得y=mx+z.,(1)當(dāng)m 時(shí)，由圖形可知，目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)A(2,0)處取得最小值，因此-2=0-2m，解得m=1. (2)當(dāng)0m 時(shí)，由圖形可知，目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)D(0,-1)取得最小值，因此-2=-1-m×0,m無解. (3)當(dāng)m- 時(shí)，由圖形可知，目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)C(-2,0)處取得最小值，因此-2=0+2m，解得m=-1.,(4)當(dāng)- m0時(shí)，由圖形可知，目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)D(0,-1)取得最小值，因此-2=-1-m×0，m無解. 綜上，實(shí)數(shù)m的值等于1或-1. 答案:1或-1,