第四節(jié) 基本不等式,【知識梳理】 1.基本不等式: (1)基本不等式成立的條件是_. (2)等號成立的條件:當(dāng)且僅當(dāng)_時取等號.,a0,b0,a=b,2.常用的幾個重要不等式 (1) (2)a+b_(a0,b0). (3)a2+b2_(a,bR). (4) 以上不等式等號成立的條件均為a=b時取得.,2ab,3.算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù),不小于,4.利用基本不等式求最值 (1)兩個正數(shù)的和為定值時,它們的積有最大值,即若a,b為正實 數(shù),且a+b=M,M為定值,則ab_,等號當(dāng)且僅當(dāng)_時成立. 簡記:和定積最大. (2)兩個正數(shù)的積為定值時,它們的和有最小值,即若a,b為正實 數(shù),且ab=P,P為定值,則a+b_,等號當(dāng)且僅當(dāng)_時成立. 簡記:積定和最小.,a=b,a=b,【考點自測】 1.(思考)給出下列命題: 函數(shù)y=x+ 的最小值是2; ab 成立的條件是ab0; 函數(shù)f(x)=cosx+ 的最小值等于4; x0且y0是 的充分不必要條件;,若a0,則 的最小值為2. 其中正確的是( ) A. B. C. D.,【解析】選D.錯誤.當(dāng)x0時,函數(shù)值一定為負(fù),最小值不是2. 錯誤.當(dāng)ab0時,仍有 因此對于不等式 當(dāng)a,b中有0或一個負(fù)數(shù)時也是成立的. 錯誤.雖然由基本不等式可得 但由于其中的等號成立的條件是 即cosx=2,但這顯然不成立,所以不能說函數(shù)的最小值是4.,正確.當(dāng)x0且y0時一定有 但當(dāng) 時,不一 定有x0且y0,所以x0且y0是 的充分不必要條件. 正確.因為a0,所以a20,所以 等號成 立的條件是a=±1.,2.若x0,y0,且x+y= ,則xy的最大值為( ) 【解析】選D.由基本不等式可得 當(dāng)且僅當(dāng)x=y= 時,xy取最大值 .故選D.,3.若x1,則 的最小值是( ) 【解析】選C.由x1得x-10,則 當(dāng)且僅當(dāng)x=1+ 時取等號.故選C.,4.已知x,y0且x+4y=1,則 的最小值為( ) A.8 B.9 C.10 D.11 【解析】選B.因為x,y0且x+4y=1, 所以 當(dāng)且僅當(dāng) 時取等號.,5.某公司租地建倉庫,每月土地占用費y1與倉庫到車站的距離 成反比,而每月庫存貨物的運費y2與倉庫到車站的距離成正比, 如果在距離車站10千米處建倉庫,這兩項費用y1和y2分別為2萬 元和8萬元.那么,要使這兩項費用之和最小,倉庫應(yīng)建在離車站 千米處.,【解析】設(shè)倉庫到車站的距離為x千米,由題意設(shè) y2= k2x,而當(dāng)x=10時,y1=2,y2=8,于是k1=20,k2= ,因此y1= ,y2= x,所以 當(dāng)且僅當(dāng)x=5時取等號,所 以倉庫應(yīng)建在離車站5千米處. 答案:5,6.已知a,b(0,+),且滿足8a+2b=ab-9,則ab的取值范圍是 . 【解析】由a,b(0,+)可得ab-9=8a+2b 即ab- -90, 故 故ab81,等號成立的條件是b=4a=18. 答案:81,+),考點1 利用基本不等式求最值 【典例1】(1)(2014·福州模擬)已知a0,b0,則 的最 小值是( ) A.2 B. C.4 D.5 (2)已知x,yR+,且滿足 則xy的最大值為 . (3)(2014·余姚模擬)已知正數(shù)a,b滿足 則a+b的取值 范圍是 .,【解題視點】(1)利用基本不等式可解. (2)利用基本不等式先求 的取值范圍,從而可求xy的最大值. (3)一種思路是根據(jù) 將a+b中的b用a表示,然后用基本 不等式求范圍;另一種思路是對 變形,獲得a+b與ab的 關(guān)系,然后利用基本不等式消去ab建立a+b的不等式求解.,【規(guī)范解答】(1)選A.因為a0,b0,所以ab0,所以 等號當(dāng)且僅當(dāng)ab=1時取得. (2)因為 所以xy3,當(dāng)且僅當(dāng) 即x= ,y=2時取等號,故xy的最大值為3. 答案:3,(3)方法一:由 得a+b=3ab,所以 由于a0,b0, 可得a .于是 當(dāng)且僅當(dāng) 即a= 時取等號,所以a+b的取值范圍 是,方法二:由 得a+b=3ab. 由于 所以 即4(a+b)3(a+b)2,所以a+b ,即a+b的取值范圍是 答案:,【互動探究】本例題(3)中,條件不變,求ab的取值范圍. 【解析】由于a+b2 ,所以3ab2 ,即9(ab)24ab, 所以ab ,即ab的取值范圍是,【規(guī)律方法】利用基本不等式求最值的常見類型 (1)若直接滿足基本不等式條件,則直接應(yīng)用基本不等式. (2)若不直接滿足基本不等式條件,則需要創(chuàng)造條件對式子進行恒等變形,如構(gòu)造“1”的代換等. (3)若可用基本不等式,但等號不成立,則一般是利用函數(shù)單調(diào)性求解. (4)若一次應(yīng)用基本不等式不能達到要求,需多次應(yīng)用基本不等式,但要注意等號成立的條件必須要一致.,利用基本不等式求最值的要求 (1)在利用基本不等式求最值時,必須滿足三個條件: 各項均為正數(shù); 含變數(shù)的各項的和(或積)必須是定值; 當(dāng)含變數(shù)的各項均相等時取得最值,即一正、二定、三相等.這三個條件極易忽略而導(dǎo)致解題失誤,應(yīng)引起足夠的重視. (2)上述結(jié)論是我們用基本不等式求最值的依據(jù),可簡述為“和定積最大,積定和最小”.,【變式訓(xùn)練】(2014·慈溪模擬)若正數(shù)x,y滿足2x+y-3=0,則 的最小值為 . 【解析】因為2x+y-3=0,所以 所以 = = 答案:3,【加固訓(xùn)練】 1.(2013·福州模擬)已知f(x)=x+ -2(x0,則f(x)=x+ -2= 當(dāng)且僅當(dāng)x=-1時取等號.,2.設(shè)x0,則函數(shù) 的最小值等于 . 【解析】 當(dāng)且僅當(dāng)x+1= ,即x=1時取等號,所以函數(shù)的最小值等于2. 答案:2,3.函數(shù)f(x)=sinx+ (0x)的最小值是 . 【解析】因為0x,所以0sinx1.因此由基本不等式得: 當(dāng)且僅當(dāng) sinx= ,即x= 或x= 時取等號,所以函數(shù)的最小值等于1. 答案:1,考點2 基本不等式的實際應(yīng)用 【典例2】(1)(2013·四平模擬)某種飲料分兩次提價,提價方 案有兩種,方案甲:第一次提價p%,第二次提價q%;方案乙:每次 都提價 若pq0,則提價多的方案是 .,(2)為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗,房屋的屋頂和 外墻需要建造隔熱層.某幢建筑物需建造可使用20年的隔熱層, 每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元.該建筑物每年的能源消耗 費用C(單位:萬元)與隔熱層厚度x(單位:cm)滿足關(guān)系:C(x)= (0x10),若不建隔熱層,每年能源消耗費用為8萬元. 設(shè)f(x)為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和. 求k的值及f(x)的表達式; 隔熱層修建多厚時,總費用f(x)最小,并求最小值.,【解題視點】(1)列出兩次提價的關(guān)系式,利用基本不等式比較大小即可. (2)利用已知條件代入關(guān)系式可求k,從而可求f(x)的表達式. 整理轉(zhuǎn)化后利用基本不等式可解.,【規(guī)范解答】(1)設(shè)原價為1,則提價后的價格,方案甲:(1+p%)(1+q%),方案乙: 因為 且pq0,所以 即 所以提價多的方案是乙. 答案:乙,(2)由題設(shè),建筑物每年能源消耗費用為C(x)= 再由 C(0)=8,得k=40, 所以C(x)= 而隔熱層建造費用為C1(x)=6x, 所以20年的能源消耗費用之和與隔熱層建造費用之和為f(x)=20C(x)+C1(x)=,f(x)= 當(dāng)且僅當(dāng) 即x=5時取等號. 所以當(dāng)隔熱層修建厚度為5 cm時,總費用最小,為70萬元.,【易錯警示】關(guān)注自變量的取值范圍 本例(2)中建立關(guān)系時,一定要注意自變量的取值范圍,否則解題時易丟分,一定要注意實際問題中自變量的范圍.,【規(guī)律方法】解應(yīng)用題的關(guān)鍵點及步驟 (1)關(guān)鍵:如何把等量關(guān)系、不等量關(guān)系轉(zhuǎn)化為不等式的問題來解決. (2)一般步驟:審題:審清題意,初步形成用怎樣的模型能夠解決問題的思路,明確解題方向; 建立數(shù)學(xué)模型:根據(jù)中的分析,把實際問題用“符號語言”“圖形語言”抽象成數(shù)學(xué)模型,建立所得數(shù)學(xué)模型和已知數(shù)學(xué)模型的對應(yīng)關(guān)系;,討論不等關(guān)系:根據(jù)中建立起來的數(shù)學(xué)模型和題目要求,討論與結(jié)論有關(guān)的不等關(guān)系,得到有關(guān)理論參數(shù)的值; 得出問題結(jié)論:根據(jù)中得到的理論參數(shù)的值,結(jié)合題目要求得出問題的結(jié)論.,提醒:當(dāng)運用基本不等式求最值時,若使等號成立的自變量的值不在定義域內(nèi)時,就不能使用基本不等式求解,此時可根據(jù)變量的范圍用對應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性求解.,【變式訓(xùn)練】(2014·武漢模擬)經(jīng)觀測,某公路段在某時段內(nèi) 的車流量y(萬輛/小時)與汽車的平均速度v(千米/小時)之間有 函數(shù)關(guān)系 (1)在該時段內(nèi),當(dāng)汽車的平均速度v為多少時車流量y最大?最 大車流量為多少? (2)為保證在該時段內(nèi)車流量至少為1萬輛/小時,則汽車的平均 速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)?,【解析】(1) 當(dāng) 即v=40(千米/小時)時,車流量最大,最大值約為 1.108萬輛/小時.,(2)據(jù)題意有 化簡得v2-89v+16000,即(v-25)(v-64)0, 所以25v64. 所以汽車的平均速度應(yīng)控制在25,64(千米/小時)這個范圍內(nèi).,【加固訓(xùn)練】 1.某種汽車,購車費用為10萬元,每年的保險費、汽油費約為0.9萬元,年維修費第一年是0.2萬元,以后逐年遞增0.2萬元.這種汽車使用多少年時,它的年平均費用最少?,【解析】由于“年維修費第一年是0.2萬元,以后逐年遞增0.2萬元”,可知汽車每年維修費構(gòu)成以0.2萬元為首項,0.2萬元為公差的等差數(shù)列,因此,汽車使用x年時總的維修費用為 萬元.,設(shè)汽車的年平均費用為y萬元,則有 當(dāng)且僅當(dāng) 即x=10時,y取得最小值. 答:汽車使用10年時,它的年平均費用最少.,2.某單位建造一間地面面積為12 m2的背面靠墻的矩形小房,由于地理位置的限制,房子側(cè)面的長度x不得超過5 m.房屋正面的造價為400元/m2,房屋側(cè)面的造價為150元/m2,屋頂和地面的造價費用合計為5800元,如果墻高為3 m,且不計房屋背面的費用.當(dāng)側(cè)面的長度為多少時,總造價最低?,【解析】由題意可得,總造價y= 則 當(dāng)且僅當(dāng)x= ,即x=4時取等號. 故當(dāng)側(cè)面的長度為4m時,總造價最低.,考點3 基本不等式的綜合應(yīng)用 【考情】基本不等式是高考考查的熱點,幾乎每年高考均有與其有關(guān)的題目.常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn).通常以不等式為載體綜合考查函數(shù)、方程、三角函數(shù)、立體幾何、解析幾何等問題.,高頻考點 通 關(guān),【典例3】(1)(2013·福建高考)若2x+2y=1,則x+y的取值范圍 是( ) A0,2 B2,0 C2,+) D(,2 (2)(2013·四川高考)已知函數(shù)f(x)=4x+ (x0,a0)在x=3時 取得最小值，則a=_.,【解題視點】(1)利用基本不等式、有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可解. (2)利用基本不等式確定等號成立條件可求a.,【規(guī)范解答】(1)選D. 2x+2y=1， 所以2x+y 即2x+y22，所以x+y2. (2)由f(x)=4x+ (x0,a0)，根據(jù)基本不等式4x+ 當(dāng) 且僅當(dāng)4x= 時取等號，而由題知當(dāng)x=3時取得最小值，即a=36. 答案：36,【通關(guān)錦囊】,【關(guān)注題型】,【通關(guān)題組】 1.(2014·湖州模擬)若a0,b0,a+b=2,則下列不等式:a2+b2 2; ab1; 恒成立的是( ) A. B. C. D.,【解析】選B.因為a0,b0,a+b=2, 所以由 得a2+b22; ab1;即均正確;不妨令a=b=1,則 故 錯誤;綜上所述,恒成立的是.故選B.,2.(2012·陜西高考)小王從甲地到乙地往返的時速分別為a和 b(ab),其全程的平均時速為v,則( ) 【解析】選A. 設(shè)甲乙兩地的路程為s，則往返時間分別是,3.(2014·溫州模擬)已知a,b為正實數(shù),且 若a+b-c0 對于滿足條件的a,b恒成立,則c的取值范圍為( ),【解析】選A.因為a,b為正實數(shù),且 可知 所以 = 當(dāng)且僅當(dāng) 時取等號. 因此可知c小于等于a+b的最小值即可,故有c的取值范圍是 選A.,4.(2013·天津高考)設(shè)a+b=2,b0,則 的最小值為_. 【解析】因為a+b=2,b0，所以 當(dāng)且僅當(dāng) 時等號成立，此時 a=2或 答案：,【加固訓(xùn)練】 1.(2012·湖北高考)設(shè)a,b,cR+,則“abc=1”是“ a+b+c”的( ) A.充分條件但不是必要條件 B.必要條件但不是充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要的條件,【解析】選A.,2.(2013·浙江十校聯(lián)考)若正數(shù)x,y滿足4x2+9y2+3xy=30,則xy 的最大值是( ) 【解析】選C.由x0,y0知4x2+9y2+3xy2×(2x)×(3y)+3xy (當(dāng)且僅當(dāng)2x=3y時等號成立),所以12xy+3xy30,即xy2,故 選C.,3.(2013·鄭州模擬)函數(shù)y=loga(x+3)-1(a0,且a1)的圖象 恒過定點A,若點A在mx+ny+2=0上,其中mn0,則 的最小值 為 . 【解析】當(dāng)x=-2時,y=loga(-2+3)-1=-1,即定點A的坐標(biāo)為(-2, -1),于是有-2m-n+2=0,即 當(dāng)且僅當(dāng) 即n= m=2( -1)時取等號,因此 的最小值是 答案:,4.(2013·孝感模擬)已知a,b,c都為正數(shù),且a+b+c=1,求證 【證明】因為a,b,c都為正數(shù),且a+b+c=1,所以 同理 上述三個不等式兩邊均為正,分別相乘,得 當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c= 時取等號.,【易錯誤區(qū)15】多元基本不等式求最值的易錯點 【典例】(2013·山東高考)設(shè)正實數(shù)x,y,z滿足x23xy+4y2z=0，則當(dāng) 取得最大值時，x+2yz的最大值為( ),【解析】選C. 由x23xy+4y2z=0，得z=x23xy+4y2. 所以 當(dāng)且僅當(dāng) 即x=2y時取等號,此時z=2y2， 所以x+2yz=2y+2y2y2=4y2y2=2y(2y),當(dāng)且僅當(dāng)y=2-y時取等號. 或x+2y-z=2y+2y-2y2=4y-2y2 =-2(y-1)2+2， 當(dāng)y=1時，此時x=2,z=2，x+2y-z的最大值為2.,【誤區(qū)警示】 1.處進行轉(zhuǎn)化消元,化為x,y的關(guān)系式時出現(xiàn)錯誤而失分. 2.處忘記利用已求得的最值,將x,z均用y表示,而后用基本不等式或化為二次函數(shù)求解導(dǎo)致錯誤而失分.,【規(guī)避策略】 1.對多元關(guān)系式求最值要進行消元轉(zhuǎn)化,再利用基本不等式. 2.求解過程中能消元的盡量消元,能轉(zhuǎn)化為一元的,要轉(zhuǎn)化為一元,從而使求解方法更為靈活.,【類題試解】(2014·杭州模擬)已知x0,y0,x,a,b,y成等差 數(shù)列,x,c,d,y成等比數(shù)列,則 的最小值是 . 【解析】因為x,a,b,y成等差數(shù)列,所以a+b=x+y. 因為x,c,d,y成等比數(shù)列,所以cd=xy,則 當(dāng)且僅當(dāng) 時,取等號. 答案:4,