第五節(jié) 曲線與方程,【知識梳理】 1.曲線與方程的定義 一般地,在直角坐標系中,如果某曲線C上的點與一個二元方程f(x,y)=0的實數(shù)解建立如下的對應(yīng)關(guān)系: 那么,這個方程叫做曲線的方程;這條曲線叫做方程的曲線.,這個方程,曲線上,2.求動點的軌跡方程的基本步驟,任意,x,y,所求方程,【考點自測】 1.(思考)給出下列命題: f(x0,y0)=0是點P(x0,y0)在曲線f(x,y)=0上的充要條件; 方程x2+xy=x的曲線是一個點和一條直線; 到兩條互相垂直的直線距離相等的點的軌跡方程是x2=y2; 方程y= 與x=y2表示同一曲線. 其中錯誤的是( ) A. B. C. D.,【解析】選B.正確.由f(x0,y0)=0可知點P(x0,y0)在曲線f(x,y)=0上, 又P(x0,y0)在曲線f(x,y)=0上時,有f(x0,y0)=0, 所以f(x0,y0)=0是P(x0,y0)在曲線f(x,y)=0上的充要條件. 錯誤.方程變?yōu)閤(x+y-1)=0,所以x=0或x+y-1=0, 故方程表示直線x=0或直線x+y-1=0.,錯誤.當以兩條互相垂直的直線為x軸、y軸時,是x2=y2,否則不正確. 錯誤.因為方程y= 表示的曲線只是方程x=y2表示曲線的一部分,故其不正確.,2.若動點P到定點F(1,-1)的距離與到直線l:x-1=0的距離相等,則動點P的軌跡是( ) A.橢圓 B.雙曲線 C.拋物線 D.直線 【解析】選D.因為定點F(1,-1)在直線l:x-1=0上,所以軌跡為過F(1,-1)與直線l垂直的一條直線,故選D.,3.實數(shù)變量m,n滿足m2+n2=1,則坐標(m+n,mn)表示的點的軌跡是( ) A.拋物線 B.橢圓 C.雙曲線的一支 D.拋物線的一部分 【解析】選D.設(shè)x=m+n,y=mn,則x2=(m+n)2=m2+n2+2mn=1+2y,且由于m,n的取值都有限制,因此變量x的取值也有限制,所以點(m+n,mn)的軌跡為拋物線的一部分,故選D.,4.方程x2+xy=0表示的曲線是 . 【解析】因為x2+xy=0,所以x(x+y)=0, 所以x=0或x+y=0,所以方程x2+xy=0表示兩條直線. 答案:兩條直線,5.若方程ax2+by=4的曲線經(jīng)過點A(0,2)和 則a= ,b= . 【解析】因為曲線經(jīng)過點A(0,2)和 所以 解得:a=16-8 ,b=2. 答案:16-8 2,考點1 定義法求點的軌跡方程 【典例1】(1)(2014·北京模擬)ABC的頂點A(-5,0),B(5,0), ABC的內(nèi)切圓圓心在直線x=3上,則頂點C的軌跡方程是_ .,(2)已知圓C與兩圓x2+(y+4)2=1,x2+(y-2)2=1外切,圓C的圓心軌跡方程為L,設(shè)L上的點與點M(x,y)的距離的最小值為m,點F(0,1)與點M(x,y)的距離為n. 求圓C的圓心軌跡L的方程; 求滿足條件m=n的點M的軌跡Q的方程.,【解題視點】(1)根據(jù)題設(shè)條件,尋找動點C與兩定點A,B距離的差滿足的等量關(guān)系|CA|-|CB|=6,由雙曲線的定義得出所求軌跡為雙曲線的一部分,再求其方程. (2)將圓C與另外兩圓都相外切,轉(zhuǎn)化為圓心距與兩圓半徑和之間的關(guān)系.m=n說明到定點的距離與到定直線的距離相等.,【規(guī)范解答】(1)如圖,|AD|=|AE|=8,|BF|=|BE|=2, |CD|=|CF|, 所以|CA|-|CB|=8-2=6. 根據(jù)雙曲線的定義,所求軌跡是以A,B為 焦點,實軸長為6的雙曲線的右支,方程為 答案:,(2)兩圓半徑都為1,兩圓圓心分別為C1(0,-4),C2(0,2),由題 意得|CC1|=|CC2|,可知圓心C的軌跡是線段C1C2的垂直平分線, C1C2的中點為(0,-1),直線C1C2的斜率不存在,故圓心C的軌跡是 線段C1C2的垂直平分線,其方程為y=-1,即圓C的圓心軌跡L的方 程為y=-1. 因為m=n,所以M(x,y)到直線y=-1的距離與到點F(0,1)的距離 相等,故點M的軌跡Q是以y=-1為準線,點F(0,1)為焦點,頂點在 原點的拋物線,而 =1,即p=2,所以,軌跡Q的方程是x2=4y.,【易錯警示】準確把握雙曲線的定義 在本例(1)中易出現(xiàn) 的錯誤結(jié)果,其原因是對雙曲線的定義理解錯誤或沒有注意到頂點C始終在x=3的右側(cè).,【規(guī)律方法】定義法求軌跡方程的適用條件及關(guān)鍵 (1)適用條件:動點與定點、定直線之間的某些關(guān)系滿足直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線的定義. (2)關(guān)鍵:定義法求軌跡方程的關(guān)鍵是理解平面幾何圖形的定義. 提醒:弄清各種常見曲線的定義是用定義法求軌跡方程的關(guān)鍵.,【變式訓(xùn)練】(2013·北京模擬)一圓形紙片的圓心為點O,點Q是圓內(nèi)異于點O的一定點,點A是圓周上一點.把紙片折疊,使點A與Q重合,然后展平紙片,折痕與OA交于P點.當點A運動時點P的軌跡是( ) A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線 【解析】選B.由條件知|PA|=|PQ|, 則|PO|+|PQ|=|PO|+|PA|=R(R|OQ|), 所以點P的軌跡是橢圓.,【加固訓(xùn)練】 1.(2013·榆林模擬)若點P到直線x=-1的距離比它到點(2,0)的距離小1,則點P的軌跡為( ) A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線 【解析】選D.依題意,點P到直線x=-2的距離等于它到點(2,0)的距離,故點P的軌跡是拋物線.,2.已知定點F1(-2,0),F2(2,0),N是圓O:x2+y2=1上任意一點,點F1關(guān)于點N的對稱點為M,線段F1M的中垂線與直線F2M相交于點P,則點P的軌跡是( ) A.橢圓 B.雙曲線 C.拋物線 D.圓,【解析】選B.設(shè)N(a,b),M(x,y),則 代入圓O的 方程得點M的軌跡方程是(x-2)2+y2=22,此時|PF1|-|PF2| =|PM|-|PF2|=|MF2|= =2,2|F1F2|,故所求的軌跡 是雙曲線.,3.動點P(x,y)滿足 =|3x+4y-11|,則點P的軌 跡是( ) A.橢圓 B.雙曲線 C.拋物線 D.直線 【解析】選D.設(shè)定點F(1,2),定直線l:3x+4y-11=0,則|PF|= 點P到直線l的距離 由已知得 但注意到點F(1,2)恰在直線l上,所以點P的軌跡是過點F(1,2)且與直線l垂直的直線,其方程為y-2= (x-1),即4x- 3y+2=0.,4.(2013·九江模擬)在ABC中,A為動點,B,C為定點, (a0),且滿足條件sinC-sinB= sinA,則動點A的軌跡 方程是 . 【解析】由正弦定理,得 (R為外接圓半徑), 所以|AB|-|AC|= |BC|,且為雙曲線右支. 答案: (x0且y0),5.點P是圓C:(x+2)2+y2=4上的動點,定點F(2,0),線段PF的垂直 平分線與直線CP的交點為Q,則點Q的軌跡方程是 . 【解析】依題意有|QP|=|QF|,則|QF|-|QC|=|CP|=2,又|CF|=4 2,故點Q的軌跡是以C,F為焦點的雙曲線的一支,a=1,c=2,得 b2=3,故所求軌跡方程為x2- =1(x0). 答案:x2- =1(x0),考點2 直接法求點的軌跡方程 【考情】直接法求軌跡方程是求軌跡方程的一個重要方法,也是高考命題的一個熱點內(nèi)容,該部分大多數(shù)是以解答題的形式出現(xiàn),考查求軌跡方程的方法,曲線與方程的定義,基本運算能力等.,高頻考點 通 關(guān),【典例2】(1)(2014·杭州模擬)已知M(-2,0),N(2,0),則以MN為斜邊的直角三角形的直角頂點P的軌跡方程為( ) A.x2+y2=2 B.x2+y2=4 C.x2+y2=2(x±2) D.x2+y2=4(x±2),(2)(2013·四川高考)已知橢圓C: (ab0)的兩個焦 點分別為F1(-1,0),F2(1,0),且橢圓C經(jīng)過點 求橢圓C的離心率; 設(shè)過點A(0,2)的直線l與橢圓C交于M,N兩點,點Q是線段MN上 的點,且 求點Q的軌跡方程.,【解題視點】(1)利用勾股定理得等量關(guān)系,坐標化得方程,根據(jù)三角形限定條件. (2)依據(jù)焦點坐標,可求出c的值;由橢圓的定義可求出2a的值.可設(shè)點Q的坐標為(x,y),依據(jù)題設(shè)中的等式求解.,【規(guī)范解答】(1)選D.設(shè)P(x,y), 則|PM|2+|PN|2=|MN|2,所以x2+y2=4(x±2). (2)由橢圓定義知, 2a=|PF1|+|PF2| 所以 又由已知,c=1, 所以橢圓C的離心率,由知,橢圓C的方程為 設(shè)點Q的坐標為(x,y). (i)當直線l與x軸垂直時,直線l與橢圓C交于(0,1),(0,-1)兩點, 此時點Q的坐標為 (ii)當直線l與x軸不垂直時,設(shè)直線l的方程為y=kx+2. 因為M,N在直線l上,可設(shè)點M,N的坐標分別為(x1,kx1+2), (x2,kx2+2),則|AM|2=(1+k2)x12, |AN|2=(1+k2)x22. 又|AQ|2=x2+(y-2)2=(1+k2)x2.,由=(8k)2-4×(2k2+1)×60,得k2 由(*)可知, 代入(*)中并化簡,得 因為點Q在直線y=kx+2上,所以 代入(*)中并化簡,得10(y-2)2-3x2=18. 由(*)及k2 可知0x2,故 由題意,Q(x,y)在橢圓C內(nèi),所以-1y1, 又由10(y-2)2=18+3x2有 (y-2)2 且-1y1, 則y 所以,點Q的軌跡方程為10(y-2)2-3x2=18,【通關(guān)錦囊】,【特別提醒】在解決直線與圓錐曲線有關(guān)的問題時,要注意變量的取值范圍,否則易出現(xiàn)增根.,【關(guān)注題型】,【通關(guān)題組】 1.(2014·紹興模擬)y軸上兩定點B1(0,b), B2(0,-b),x軸上兩動點M,N.P為B1M與B2N的 交點,點M,N的橫坐標分別為xM,xN,且始終 滿足xMxN=a2(ab0且為常數(shù)),試求動點P 的軌跡方程.,【解析】設(shè)P(x,y),M(xM,0),N(xN,0),2.(2013·陜西高考)已知動點M(x,y)到直線l:x=4的距離是它到點N(1,0)的距離的2倍. (1)求動點M的軌跡C的方程. (2)過點P(0,3)的直線m與軌跡C交于A,B兩點.若A是PB的中點,求直線m的斜率.,【解析】(1)點M(x,y)到直線x=4的距離是它到點N(1,0)的距離 的2倍,則 所以,動點M的軌跡為橢圓,方程為,(2)P(0,3),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由題意知:2x1=0+x2,2y1=3+y2, 橢圓的上下頂點坐標分別是(0, )和(0,- ),經(jīng)檢驗直線m 不經(jīng)過這兩點,即直線m斜率k存在.設(shè)直線m的方程為:y=kx+3, 聯(lián)立橢圓和直線方程,整理得:(3+4k2)x2+24kx+24=0 所以直線m的斜率k=,【加固訓(xùn)練】 1.(2014·武威模擬)有一動圓P恒過定點F(a,0)(a0)且與y軸相交于點A,B,若ABP為正三角形,則點P的軌跡為( ) A.橢圓 B.雙曲線 C.拋物線 D.圓,【解析】選B.設(shè)P(x,y),動圓P的半徑為R,由于ABP為正三角 形,所以P到y(tǒng)軸的距離 而R=|PF|= 所以 化簡得 即點P的軌跡為雙曲線.,2.(2013·柳州模擬)如果三個數(shù) (a0且a1)成等差數(shù)列,那么點P(x,y)在平面直角坐標系內(nèi)的軌跡是( ) A.一段圓弧 B.橢圓的一部分 C.雙曲線的一部分 D.拋物線的一部分 【解析】選C.由題意可得 兩邊平方后整理可得 又y-x0,2-2x0,-2x0,可知選C.,考點3 相關(guān)點(代入)法、參數(shù)法求軌跡方程 【典例3】(1)(2014·廊坊模擬)已知點A(-2,0),B(3,0),動點 P(x,y)滿足 =x2-6,則動點P的軌跡是 .,高頻考點 通 關(guān),(2)(2013·福建高考)如圖，在正 方形OABC中，O為坐標原點，點A的 坐標為(10,0)，點C的坐標為(0,10)， 分別將線段OA和AB十等分，分點分 別記為A1,A2,A9和B1,B2,B9， 連接OBi，過Ai作x軸的垂線與OBi交于點Pi(iN*,1i9).,求證：點Pi(iN*,1i9)都在同一條拋物線上，并求拋物線E的方程； 過點C作直線l與拋物線E交于不同的兩點M,N, 若OCM與OCN的面積之比為41，求直線l的方程.,【解題視點】(1)可由 =x2-6及P,A,B三點的坐標直接寫出方程,進而得出軌跡. (2)注意Pi是直線OBi與過Ai(iN*,1i9)且與x軸垂直的直線的交點,適當選擇一個參數(shù)即可;將面積相等轉(zhuǎn)化為點的坐標之間的關(guān)系即可求解.,【規(guī)范解答】(1)因為動點P(x,y)滿足 =x2-6,所以 (-2-x,-y)·(3-x,-y)=x2-6,化簡,得y2=x,所以軌跡為拋物線. 答案:拋物線,(2)方法一:依題意,過Ai(iN*,1i9)且與x軸垂直的直 線方程為x=i,Bi的坐標為(10,i),所以直線OBi的方程為y= x. 設(shè)Pi的坐標為(x,y),由 得y= x2,即x2=10y. 所以點Pi(iN*,1i9)都在同一條拋物線上,且拋物線E的 方程為x2=10y.,方法二:點Pi(iN*,1i9)都在拋物線E:x2=10y上. 證明如下:過Ai(iN*,1i9)且與x軸垂直的直線方程為 x=i,Bi的坐標為(10,i),所以直線OBi的方程為y= x. 由 解得Pi的坐標為 因為點Pi的坐標都滿足方程x2=10y, 所以點Pi(iN*,1i9)都在同一條拋物線上,且拋物線E的 方程為x2=10y.,依題意,直線l的斜率存在,設(shè)直線l的方程為y=kx+10.由 得x2-10kx-100=0. 此時=100k2+4000,直線l與拋物線E恒有兩個不同的交點M,N.設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2), 則 因為SOCM=4SOCN,所以|x1|=4|x2|. 又因為x1·x20,所以x1=-4x2,分別代入和,得 解得k=± . 所以直線l的方程為y=± x+10,即3x-2y+20=0或3x+2y-20=0.,【易錯警示】本例(1)易出現(xiàn)y2=x的結(jié)論,其原因是沒有注意點的軌跡與軌跡方程是不同的.,【規(guī)律方法】 1.相關(guān)點(代入)法求軌跡方程的適用條件 動點所滿足的條件不易得出或不易轉(zhuǎn)化為等式,但形成軌跡的動點與另外一動點有聯(lián)系,而這一動點在某一已知曲線上. 2.參數(shù)法求軌跡方程的適用條件 動點所滿足的條件不易得出或不易轉(zhuǎn)化為等式,也沒有明顯的相關(guān)點,但卻較易發(fā)現(xiàn)(或經(jīng)過分析可發(fā)現(xiàn))這個動點的運動與某一個量或某兩個變量(角、斜率、比值、截距等)有關(guān).,【變式訓(xùn)練】(2014·煙臺模擬)已知點P是直線2x-y+3=0上的一個動點,定點M(-1,2),Q是線段PM延長線上的一點,且|PM|= |MQ|,則點Q的軌跡方程是( ) A.2x+y+1=0 B.2x-y-5=0 C.2x-y-1=0 D.2x-y+5=0 【解析】選D.由題意知,M為PQ的中點,設(shè)Q(x,y),則P為(-2-x, 4-y),代入2x-y+3=0,得2x-y+5=0.,【加固訓(xùn)練】 1. 與x,y軸交點的連線的中點的軌跡方程是 . 【解析】設(shè)直線 與x,y軸交點為A(a,0),B(0,2-a), AB中點為M(x,y),則 消去a,得x+y=1,因為a0, a2,所以x0,x1. 答案:x+y=1(x0,x1),2.(2013·湛江模擬)設(shè)M,N為拋物線C:y=x2上的兩個動點,過M,N分別作拋物線C的切線l1,l2,與x軸分別交于A,B兩點,且l1與l2相交于點P,若|AB|=1. (1)求點P的軌跡方程. (2)求證:MNP的面積為一個定值,并求出這個定值.,【解析】(1)設(shè)M(m,m2),N(n,n2),則依題意知,切線l1,l2的方程 分別為y=2mx-m2,y=2nx-n2,則 設(shè)P(x,y), 因為|AB|=1,所以|n-m|=2,即 (m+n)2-4mn=4,將代入上式,得y=x2-1.所以點P的軌跡方程為 y=x2-1,(2)設(shè)直線MN的方程為y=kx+b. 聯(lián)立方程 消去y,得x2-kx-b=0. 因為M(m,m2),N(n,n2), 所以m+n=k,mn=-b. 點P到直線MN的距離 |MN|= |m-n|,所以SMNP= ·|MN| = ·|m-n| = ·(m-n)2·|m-n|=2. 即MNP的面積為定值2.,【規(guī)范解答12】與圓有關(guān)的軌跡問題 【典例】(14分)(2013·新課標全國卷)已知圓M:(x+1)2+y2 =1,圓N:(x-1)2+y2=9,動圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切,圓心P的軌跡為曲線C. (1)求C的方程. (2)l是與圓P,圓M都相切的一條直線,l與曲線C交于A,B兩點,當圓P的半徑最長時,求|AB|.,【審題】分析信息,形成思路,【解題】規(guī)范步驟，水到渠成 由已知得圓M的圓心為M(-1,0),半徑r1=1,圓N的圓心為N(1,0), 半徑r2=3.設(shè)圓P的圓心為P(x,y),半徑為R. (1)動圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切, 所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4. 由橢圓定義可知,曲線C是以M,N為左、右焦點,長半軸長為2,短 半軸長為 的橢圓(左頂點除外), 其方程為 (x-2) .4分,(2)對于曲線C上任意一點P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-22,所以R2,當且僅當圓P的圓心為(2,0)時,R=2,所以當圓P的半徑最長時,其方程為(x-2)2+y2=4. 6分 若l的傾斜角為90°,則l與y軸重合,可得|AB|= 7分 若l的傾斜角不為90°,由r1R,知l不平行于x軸,設(shè)l與x軸的交點為Q, 則 可求得Q(-4,0),所以可設(shè)l:y=k(x+4), 由l與圓M相切得 解得 8分,當 并整理得7x2+8x-8=0, 解得 所以 12分 當 時,由圖形的對稱性可知 |AB|= 綜上, .14分,【點題】失分警示,規(guī)避誤區(qū),【變題】變式訓(xùn)練,能力遷移 等腰三角形ABC中,若一腰的兩個端點分別為A(4,2),B(-2, 0),A為頂點,求另一腰的一個端點C的軌跡方程.,【解析】設(shè)點C的坐標為(x,y),因為ABC為等腰三角形,且A為頂點.所以AB=AC. 又因為 所以 所以(x-4)2+(y-2)2=40. 又因為點C不能與B重合,也不能使A,B,C三點共線.所以x-2且x10. 所以點C的軌跡方程為(x-4)2+(y-2)2=40(x-2且x10).,