文數(shù) 課標版,第二節(jié) 等差數(shù)列及其前n項和,1.等差數(shù)列的定義 如果一個數(shù)列從 第二項 起,每一項與前一項的差等于 同一個常數(shù) ,那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的 公差 ,通常用字母 d 表示,定義的表達式為an+1-an=d(nN*).,教材研讀,2.等差數(shù)列的通項公式 等差數(shù)列an的通項公式是 an=a1+(n-1)d .,3.等差中項 如果 A= ,那么A叫做a與b的等差中項.,4.等差數(shù)列的常用性質(zhì) (1)通項公式的推廣:an=am+ (n-m)d (n,mN*). (2)若an是等差數(shù)列,且k+l=m+n(k,l,m,nN*),則 ak+al=am+an . (3)若an是等差數(shù)列,公差為d,則a2n也是等差數(shù)列,公差為 2d . (4)若an,bn(項數(shù)相同)是等差數(shù)列,則pan+qbn(p,q是常數(shù))仍是等差 數(shù)列. (5)若an是等差數(shù)列,則ak,ak+m,ak+2m,(k,mN*)組成公差為 md 的 等差數(shù)列.,5.等差數(shù)列的前n項和公式 等差數(shù)列an的前n項和Sn= 或Sn= na1+ .,6.等差數(shù)列的前n項和公式與函數(shù)的關系 Sn= n2+ n. 數(shù)列an是等差數(shù)列Sn=An2+Bn(A、B為常數(shù)).,7.等差數(shù)列的前n項和的最值 在等差數(shù)列an中,若a10,d0,則Sn 存在最 小 值.,判斷下列結論的正誤(正確的打“”,錯誤的打“×”) (1)若一個數(shù)列從第2項起每一項與它的前一項的差都是常數(shù),則這個數(shù) 列是等差數(shù)列. (×) (2)數(shù)列an為等差數(shù)列的充要條件是對任意nN*,都有2an+1=an+an+2. () (3)等差數(shù)列an的單調(diào)性是由公差d決定的. (),(4)已知數(shù)列an的通項公式是an=pn+q(其中p,q為常數(shù)),則數(shù)列an一定 是等差數(shù)列. () (5)若數(shù)列an,bn(項數(shù)相同)都是等差數(shù)列,則數(shù)列an+bn也一定是等 差數(shù)列. () (6)等差數(shù)列an的首項為a1,公差為d,取出數(shù)列中的所有奇數(shù)項,組成一 個新的數(shù)列,則此新數(shù)列一定是等差數(shù)列. (),1.在等差數(shù)列an中,若a2=4,a4=2,則a6= ( ) A.-1 B.0 C.1 D.6 答案 B 設數(shù)列an的公差為d,由a4=a2+2d,a2=4,a4=2,得2=4+2d,d=-1, a6=a4+2d=0.故選B.,2.(2015東北師大附中摸底考試)等差數(shù)列an中,a1+a5=10,a4=7,則數(shù)列 an的公差為 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B 設公差為d.a1+a5=2a3=10,a3=5,又a4=7,d=2.故選B.,3.(2016廣東惠州調(diào)研)等差數(shù)列an的前n項和為Sn,且S3=6,a1=4,則公差d 等于 ( ) A.1 B. C.-2 D.3 答案 C S3=6= (a1+a3),且a3=a1+2d,a1=4,d=-2,故選C.,4.已知等差數(shù)列an滿足a1+a2+a3+a101=0,則有 ( ) A.a1+a1010 B.a2+a1000 C.a3+a99=0 D.a1=51 答案 C S101=0,S101= =0,a1+a101=a2+a100=a3+a99=0.故選 C.,5.已知等差數(shù)列an中,a5+a9-a7=10,記Sn=a1+a2+an,則S13的值為 . 答案 130 解析 由a5+a9-a7=10可得2a7-a7=a7=10,由等差數(shù)列前n項和公式可得S13= =13a7=130.,考點一 等差數(shù)列的基本運算 典例1 (1)設等差數(shù)列an的前n項和為Sn,若a1=2,S3=12,則a6等于 ( ) A.8 B.10 C.12 D.14 (2)設等差數(shù)列an的前n項和為Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,則m= ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 答案 (1)C (2)C 解析 (1)S3= =3a2=12,a2=4.,考點突破,a1=2,d=a2-a1=4-2=2. a6=a1+5d=12.故選C. (2)解法一:Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3, am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3, 公差d=am+1-am=1, 由Sn=na1+ d=na1+ , 得 由得a1= ,代入可得m=5. 解法二:數(shù)列an為等差數(shù)列,且前n項和為Sn,數(shù)列 也為等差數(shù)列. + = , 即 + =0, 解得m=5,經(jīng)檢驗為原方程的解.故選C.,方法指導 (1)等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式共涉及五個量a1,an,d,n,Sn,知其中 三個就能求另外兩個,體現(xiàn)了用方程的思想來解決問題. (2)數(shù)列的通項公式和前n項和公式在解題中可起到變量代換作用,a1和d 是等差數(shù)列的兩個基本量,用它們表示已知和未知是常用解題方法.,1-1 設Sn為等差數(shù)列an的前n項和,若a1=1,公差d=2,Sn+2-Sn=36,則n= ( ) A.5 B.6 C.7 D.8 答案 D 解法一:由題意知Sn=na1+ d=n+n(n-1)=n2, 則Sn+2=(n+2)2, 因為Sn+2-Sn=36, 所以(n+2)2-n2=4n+4=36, 所以n=8. 解法二:由Sn+2-Sn=an+1+an+2=2a1+(2n+1)d=2+2(2n+1)=36,解得n=8.所以 選D.,1-3 已知等差數(shù)列an中,a1=1,a3=-3. (1)求數(shù)列an的通項公式; (2)若數(shù)列an的前k項和Sk=-35,求k的值. 解析 (1)設等差數(shù)列an的公差為d, 因為a1=1,a3=-3,所以1+2d=-3,解得d=-2,則an=1+(n-1)(-2)=3-2n(nN*).,考點二 等差數(shù)列的性質(zhì)及其應用 典例2 (1)在等差數(shù)列an中,a3+a9=27-a6,Sn表示數(shù)列an的前n項和,則 S11= ( ) A.18 B.99 C.198 D.297 (2)已知等差數(shù)列an的公差為2,項數(shù)是偶數(shù),奇數(shù)項之和為15,偶數(shù)項之 和為25,則這個數(shù)列的項數(shù)為 ( ) A.10 B.20 C.30 D.40 (3)等差數(shù)列an的前m項和為30,前3m項和為90,則它的前2m項和為 . 答案 (1)B (2)A (3)60 解析 (1)因為a3+a9=27-a6,2a6=a3+a9,所以3a6=27,所以a6=9,所以S11= (a1,+a11)=11a6=99. (2)設這個數(shù)列有2n項,由等差數(shù)列的性質(zhì)可知:偶數(shù)項之和減去奇數(shù)項 之和等于nd,即25-15=2n,故2n=10,即數(shù)列的項數(shù)為10. (3)由Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差數(shù)列, 可得2(S2m-Sm)=Sm+S3m-S2m, 即S2m= = =60.,易錯警示 一般地,運用等差數(shù)列的性質(zhì)可以化繁為簡、優(yōu)化解題過程.但要注意 性質(zhì)運用的條件,如m+n=p+q(m,n,p,qN*),則am+an=ap+aq,該性質(zhì)的運用 條件是序號之和相等.,2-1 已知an,bn都是等差數(shù)列,若a1+b10=9,a3+b8=15,則a5+b6= . 答案 21 解析 因為an,bn都是等差數(shù)列, 所以2a3=a1+a5,2b8=b10+b6, 所以2(a3+b8)=(a1+b10)+(a5+b6), 即2×15=9+(a5+b6), 解得a5+b6=21.,2-2 已知an為等差數(shù)列,若a1+a2+a3=5,a7+a8+a9=10,則a19+a20+a21= . 答案 20 解析 由等差數(shù)列的性質(zhì),可知S3,S6-S3,S9-S6,S21-S18成等差數(shù)列,設此 數(shù)列的公差為D. 所以5+2D=10,所以D= . 所以a19+a20+a21=S21-S18=5+6D=5+15=20.,考點三 等差數(shù)列的判定與證明 典例3 若數(shù)列an的前n項和為Sn,且滿足an+2SnSn-1=0(n2),a1= . (1)求證: 是等差數(shù)列; (2)求數(shù)列an的通項公式. 解析 (1)證明:當n2時,由an+2SnSn-1=0, 得Sn-Sn-1=-2SnSn-1,又易知Sn0,所以 - =2, 又 = =2,故 是首項為2,公差為2的等差數(shù)列. (2)由(1)可得 =2n,Sn= .,當n2時,an=Sn-Sn-1= - = =- . 當n=1時,a1= 不適合上式. 故an=,方法指導 證明一個數(shù)列為等差數(shù)列的基本方法有兩種:一是定義法,證明an-an-1=d (n2,d為常數(shù));二是等差中項法,證明2an+1=an+an+2.若證明一個數(shù)列不是 等差數(shù)列,則可以舉反例,也可以用反證法.,3-1 已知數(shù)列an中,a1=2,an=2- (n2,nN*),設bn= (nN*).求 證:數(shù)列bn是等差數(shù)列. 證明 an=2- , an+1=2- . bn+1-bn= - = - = =1, bn是首項為b1= =1,公差為1的等差數(shù)列.,考點四 等差數(shù)列的前n項和及其最值 典例4 在等差數(shù)列an中,a1=29,S10=S20,則數(shù)列an的前n項和中最大的 為 ( ) A.S15 B.S16 C.S15和S16 D.S17 答案 A 解析 S10=S20, 10a1+ d=20a1+ d, 又a1=29,d=-2, Sn=29n+ ×(-2)=-n2+30n=-(n-15)2+225. 當n=15時,Sn取得最大值.,方法指導 處理等差數(shù)列前n項和的最值問題的常用方法 (1)利用等差數(shù)列的單調(diào)性,求出其正負轉折項; (2)將等差數(shù)列的前n項和Sn=An2+Bn(A,B為常數(shù)且A0)看作二次函數(shù), 根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解.,變式4-1 若將本例中的條件“a1=29,S10=S20”改為“a10,S5=S12”,如何 求解? 解析 解法一:由S5=S12得5a1+10d=12a1+66d, 即d=- a10. 所以Sn=na1+ d=na1+ ·,=- a1(n2-17n)=- a1 + a1, 因為a10,nN*,所以當n=8或n=9時,Sn取得最大值. 解法二:同解法一得d=- a10. 設此數(shù)列的前k項和最大, 則 即 解得 即8k9,又kN*,所以k=8或9, 所以當n=8或n=9時,Sn取得最大值. 解法三:同解法一得d=- a10, 由于Sn=na1+ d= n2+ n, 設f(x)= x2+ x,則函數(shù)y=f(x)的圖象為開口向下的拋物線, 由S5=S12知,拋物線的對稱軸為x= = , 易知當1n8時,Sn單調(diào)遞增;當n9時,Sn單調(diào)遞減,且S8=S9,所以當n=8 或n=9時,Sn取得最大值.,變式4-2 若將本例中的條件“a1=29,S10=S20”改為“a3=12,S120,S13 0”,如何求解?,解析 因為a3=a1+2d=12,所以a1=12-2d, 因為 所以 解得- 0, 因此S6最大.,解法二:由d0可知an是遞減數(shù)列, 令 可得 由- d-3,可得 所以5.5n7,故n=6, 由此可知S6最大.,