第2講 概率、離散型隨機變量及其分布,考情分析,總綱目錄,考點一 古典概型與幾何概型 1.古典概型的概率公式 P(A)= = . 說明 求事件包含的基本事件數(shù)常用到計數(shù)原理與排列、組合的相 關(guān)知識.,2.幾何概型的概率公式 P(A)= .,典型例題 (1)(2017山東,8,5分)從分別標有1,2,9的9張卡片中不放回地隨機 抽取2次,每次抽取1張.則抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率是 ( ) A. B. C. D. (2)(2017西安八校聯(lián)考)在平面區(qū)域(x,y)|0x2,0y4內(nèi)隨機投入 一點P,則點P的坐標(x,y)滿足yx2的概率為 ( ) A. B. C. D.,解析 (1)由題意可知依次抽取兩次的基本事件總數(shù)n=9×8=72,抽到的2 張卡片上的數(shù)奇偶性不同的基本事件個數(shù)m= =40,所以所求概率 P= = = .故選C. (2)不等式組 表示的平面區(qū)域的面積為2×4=8,不等式組 表示的平面區(qū)域的面積為 x2dx= x3 = ,因此所求的概率為 = ,故選B.,答案 (1)C (2)B,方法歸納 1.古典概型求解的關(guān)鍵點 (1)正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù),這常常用到 排列、組合的有關(guān)知識; (2)對于較復雜的題目計數(shù)時要正確分類,分類時應(yīng)不重不漏.,2.幾何概型的適用條件及其關(guān)鍵 (1)適用條件:當構(gòu)成試驗的結(jié)果的區(qū)域為長度、面積、體積、弧長、 夾角等時,應(yīng)考慮使用幾何概型求解. (2)關(guān)鍵:尋找構(gòu)成試驗全部結(jié)果的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域是關(guān)鍵,有時 需要設(shè)出變量,在坐標系中表示所需要的區(qū)域.,跟蹤集訓 1.(2017廣東五校協(xié)作體第一次診斷考試)從1至9共9個自然數(shù)中任取七 個不同的數(shù),則這七個數(shù)的平均數(shù)是5的概率為 ( ) A. B. C. D.,答案 C 從1至9共9個自然數(shù)中任取七個不同的數(shù)的取法共有 = =36種,因為1+9=2+8=3+7=4+6,所以從(1,9),(2,8),(3,7),(4,6)中任選三 組,則有 =4,故這七個數(shù)的平均數(shù)是5的概率為 = ,故選C.,2.(2017廣東五校協(xié)作體第一次診斷考試)在區(qū)間-1,1上隨機取一個 數(shù)k,使直線y=k(x+3)與圓x2+y2=1相交的概率為 ( ) A. B. C. D.,答案 C 若直線y=k(x+3)與圓x2+y2=1相交,則圓心到直線的距離d= 1,解得- k ,故在區(qū)間-1,1上隨機取一個數(shù)k,使直線y=k (x+3)與圓x2+y2=1相交的概率為P= = ,選C.,典型例題 (2017天津,16改編)從甲地到乙地要經(jīng)過3個十字路口,設(shè)各路口信號燈 工作相互獨立,且在各路口遇到紅燈的概率分別為 , , . (1)記X表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個數(shù),求隨機變量X的分布列; (2)若有2輛車獨立地從甲地到乙地,求這2輛車共遇到1個紅燈的概率. 解析 (1)隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3. P(X=0)= × × = , P(X=1)= × 1- × 1- + 1- × × 1- + × × = , P(X=2)= × × + × × + × × = ,(2)設(shè)Y表示第一輛車遇到紅燈的個數(shù),Z表示第二輛車遇到紅燈的 個數(shù),則所求事件的概率為 P(Y+Z=1)=P(Y=0,Z=1)+P(Y=1,Z=0) =P(Y=0)P(Z=1)+P(Y=1)P(Z=0) = × + × = . 所以,這2輛車共遇到1個紅燈的概率為 .,P(X=3)= × × = . 所以,隨機變量X的分布列為,方法歸納 求相互獨立事件和獨立重復試驗概率的策略 (1)求復雜事件的概率,要正確分析復雜事件的構(gòu)成,看復雜事件能轉(zhuǎn)化 為幾個彼此互斥的事件的和事件還是能轉(zhuǎn)化為幾個相互獨立事件同時 發(fā)生的積事件,然后用概率公式求解. (2)一個復雜事件若正面情況比較多,反面情況較少,則一般利用對立事 件進行求解,對于“至少”“至多”等問題往往用這種方法求解. (3)注意辨別獨立重復試驗的基本特征:在每次試驗中,試驗結(jié)果只有 發(fā)生與不發(fā)生兩種情況;在每次試驗中,事件發(fā)生的概率相同. (4)牢記公式Pn(k)= pk(1-p)n-k,k=0,1,2,n,并深刻理解其含義.,跟蹤集訓 1.(2017武漢武昌調(diào)研考試)小趙、小錢、小孫、小李到4個景點旅游,每 人只去一個景點,設(shè)事件A=“4個人去的景點不相同”,事件B=“小趙 獨自去一個景點”,則P(A|B)= ( ) A. B. C. D.,答案 A 小趙獨自去一個景點,則有4個景點可選;其余3人只能在剩下 的3個景點中選擇,共有3×3×3=27種選取方法,所以小趙獨自去一個景點 共有4×27=108種選取方法, 4個人去的景點不相同共有4×3×2×1=24種選取方法, 所以P(A|B)= = .故選A.,2.(2017寶雞質(zhì)量檢測(一)現(xiàn)有4個人去參加春節(jié)聯(lián)歡活動,該活動有 甲、乙兩個項目可供參加者選擇,為增加趣味性,約定:每個人通過擲一 枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己去參加哪個項目聯(lián)歡,擲出點數(shù)為1或2的人 去參加甲項目聯(lián)歡,擲出點數(shù)大于2的人去參加乙項目聯(lián)歡. (1)求這4個人中恰好有2人去參加甲項目聯(lián)歡的概率; (2)求這4個人中去參加甲項目聯(lián)歡的人數(shù)大于去參加乙項目聯(lián)歡的人 數(shù)的概率.,考點三 隨機變量的分布列、均值與方差 1.均值與方差的性質(zhì) (1)E(aX+b)=aE(X)+b(a,b為實數(shù)). (2)D(aX+b)=a2D(X)(a,b為實數(shù)).,2.兩點分布與二項分布的均值、方差 (1)若X服從兩點分布,則E(X)=p,D(X)=p(1-p). (2)若XB(n,p),則E(X)=np,D(X)=np(1-p).,典型例題 (2017課標全國,18,12分)某超市計劃按月訂購一種酸奶,每天進貨量 相同,進貨成本每瓶4元,售價每瓶6元,未售出的酸奶降價處理,以每瓶2 元的價格當天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗,每天需求量與當天最高 氣溫(單位:)有關(guān).如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶;如果最高氣 溫位于區(qū)間20,25),需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20,需求量為200 瓶.為了確定六月份的訂購計劃,統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫 數(shù)據(jù),得下面的頻數(shù)分布表:,以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率. (1)求六月份這種酸奶一天的需求量X(單位:瓶)的分布列; (2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位:元).當六月份這種酸奶 一天的進貨量n(單位:瓶)為多少時,Y的數(shù)學期望達到最大值? 解析 (1)由題意知,X所有可能取值為200,300,500,由表格數(shù)據(jù)知 P(X=200)= =0.2,P(X=300)= =0.4,P(X=500)= =0.4. 因此X的分布列為,(2)由題意知,這種酸奶一天的需求量至多為500瓶,至少為200瓶,因 此只需考慮200n500. 當300n500時,若最高氣溫不低于25,則Y=6n-4n=2n; 若最高氣溫位于區(qū)間20,25), 則Y=6×300+2(n-300)-4n=1 200-2n; 若最高氣溫低于20,則Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n. 因此EY=2n×0.4+(1 200-2n)×0.4+(800-2n)×0.2=640-0.4n. 當200n300時,若最高氣溫不低于20,則Y=6n-4n=2n; 若最高氣溫低于20,則Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n. 因此EY=2n×(0.4+0.4)+(800-2n)×0.2=160+1.2n. 所以n=300時,Y的數(shù)學期望達到最大值,最大值為520元.,方法歸納 求解隨機變量分布列問題的兩個關(guān)鍵點 (1)求離散型隨機變量分布列的關(guān)鍵是正確理解隨機變量取每一個值所 表示的具體事件,然后綜合應(yīng)用各類概率公式求概率. (2)求隨機變量均值與方差的關(guān)鍵是正確求出隨機變量的分布列,若隨 機變量服從二項分布,則可直接使用公式法求解.,跟蹤集訓 (2017廣西三市第一次聯(lián)考)某公司為招聘新員工設(shè)計了一個面試方案: 應(yīng)聘者從6道備選題中一次性隨機抽取3道題,按照題目要求獨立完成. 規(guī)定:至少正確完成其中2道題的便可通過.已知6道備選題中應(yīng)聘者甲 有4道題能正確完成,2道題不能完成;應(yīng)聘者乙每題正確完成的概率都 是 ,且每題正確完成與否互不影響. (1)分別求甲、乙兩人正確完成面試題數(shù)的分布列及數(shù)學期望; (2)請分析比較甲、乙兩人誰面試通過的可能性大. 解析 (1)設(shè)甲正確完成面試的題數(shù)為,則的可能取值為1,2,3. P(=1)= = ;,P(=2)= = ; P(=3)= = . 應(yīng)聘者甲正確完成題數(shù)的分布列為,E()=1× +2× +3× =2. 設(shè)乙正確完成面試的題數(shù)為,則的可能取值為0,1,2,3. P(=0)= = ; P(=1)= × = ;,P(=2)= × = ; P(=3)= = . 應(yīng)聘者乙正確完成題數(shù)的分布列為,E()=0× +1× +2× +3× =2. (2)因為D()=(1-2)2× +(2-2)2× +(3-2)2× = ,D()=3× × = ,所以D() D().綜上所述,從做對題數(shù)的數(shù)學期望考察,兩人水平相當;從做對題數(shù)的方差考察,甲較穩(wěn)定;從至少完成2道題的概率考察,甲面試通過的可能性大.,1.(2017課標全國,2,5分)如圖,正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的 太極圖.正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中 心對稱.在正方形內(nèi)隨機取一點,則此點取自黑色部分的概率是 ( ) A. B. C. D.,隨堂檢測,答案 B 設(shè)正方形的邊長為2,則正方形的內(nèi)切圓半徑為1,其中黑色部 分和白色部分關(guān)于正方形的中心對稱,則黑色部分的面積為 ,所以在 正方形內(nèi)隨機取一點,此點取自黑色部分的概率P= = ,故選B.,2.(2017安徽兩校階段性測試)將三顆骰子各擲一次,記事件A=“三個點 數(shù)都不同”,B=“至少出現(xiàn)一個6點”,則條件概率P(A|B),P(B|A)分別是 ( ) A. , B. , C. , D. ,答案 A 由題意得事件A包含的基本事件個數(shù)為6×5×4=120,事件B包 含的基本事件個數(shù)為63-53=91,在B發(fā)生的條件下A發(fā)生包含的基本事件 個數(shù)為 =60,在A發(fā)生的條件下B發(fā)生包含的基本事件個數(shù)為 = 60,所以P(A|B)= ,P(B|A)= = .故選A.,3.(2017課標全國,13,5分)一批產(chǎn)品的二等品率為0.02,從這批產(chǎn)品中 每次隨機取一件,有放回地抽取100次,X表示抽到的二等品件數(shù),則DX= .,答案 1.96,解析 由題意可知XB(100,0.02),由二項分布可得DX=100×0.02×(1-0.0 2)=1.96.,4.(2017湖南五市十校聯(lián)考)為響應(yīng)國家“精準扶貧,產(chǎn)業(yè)扶貧”戰(zhàn)略的 號召,進一步優(yōu)化能源消費結(jié)構(gòu),某市決定在地處山區(qū)的A縣推進光伏發(fā) 電項目.在該縣山區(qū)居民中隨機抽取50戶,統(tǒng)計其年用電量得以下統(tǒng)計 表.以樣本的頻率作為概率.,(1)在該縣山區(qū)居民中隨機抽取10戶,記其中年用電量不超過600度的戶 數(shù)為X,求X的數(shù)學期望; (2)已知該縣某山區(qū)自然村有居民300戶.若計劃在該村安裝總裝機容量 為300千瓦的光伏發(fā)電機組,該機組所發(fā)電量除保證該村正常用電外,剩 余電量國家電網(wǎng)以0.8元/度的價格進行收購.經(jīng)測算每千瓦裝機容量的 發(fā)電機組年平均發(fā)電1 000度,試估計該機組每年所發(fā)電量除保證正常 用電外還能為該村創(chuàng)造直接收益多少元.,解析 (1)記在抽取的50戶居民中隨機抽取1戶,其年用電量不超過600 度為事件A,則P(A)= . 由已知可得從該縣山區(qū)居民中隨機抽取10戶,記其中年用電量不超過60 0度的戶數(shù)為X,X服從二項分布,即XB ,故E(X)=10× =6. (2)設(shè)該縣山區(qū)居民戶年均用電量為E(Y),由抽樣可得E(Y)=100× +300 × +500× +700× +900× =500(度). 則該自然村年均用電約150 000度. 又該村所裝發(fā)電機組年預(yù)計發(fā)電量為300 000度,故該機組每年所發(fā)電 量除保證正常用電外還能剩余電量約150 000度,能為該村創(chuàng)造直接收 益120 000元.,