,§9.5 橢 圓,數(shù)學 蘇（理）,第九章 平面解析幾何,基礎知識·自主學習,題型分類·深度剖析,思想方法·感悟提高,練出高分,1.橢圓的概念 平面內(nèi)到兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于F1F2)的點的軌跡叫做 .這兩個定點叫做橢圓的 ，兩焦點間的距離叫做橢圓的 .,橢圓,焦點,焦距,集合PM|MF1MF22a，F(xiàn)1F22c，其中a0，c0，且a，c為常數(shù)： (1)若 ，則集合P為橢圓； (2)若 ，則集合P為線段； (3)若 ，則集合P為空集.,ac,ac,ac,2.橢圓的標準方程和幾何性質(zhì),2a,2b,2c,c2a2b2,知識拓展 點P(x0，y0)和橢圓的關系,思考辨析,判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“×”) (1)平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)的點的軌跡是橢圓.( ) (2)橢圓上一點P與兩焦點F1，F(xiàn)2構成PF1F2的周長為2a2c(其中a為橢圓的長半軸長，c為橢圓的半焦距).( ) (3)橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓.( ),×,×,(4)方程mx2ny21(m0，n0，mn)表示的曲線是橢圓.( ),×,4或8,16,解析,所以a2，b2a2c23.,例1 (1)已知圓(x2)2y236的圓心為M，設A為圓上任一點，且點N(2,0)，線段AN的垂直平分線交MA于點P，則動點P的軌跡是_.,題型一 橢圓的定義及標準方程,思維點撥,解析,答案,例1 (1)已知圓(x2)2y236的圓心為M，設A為圓上任一點，且點N(2,0)，線段AN的垂直平分線交MA于點P，則動點P的軌跡是_.,題型一 橢圓的定義及標準方程,主要考慮橢圓的定義；,思維點撥,解析,答案,例1 (1)已知圓(x2)2y236的圓心為M，設A為圓上任一點，且點N(2,0)，線段AN的垂直平分線交MA于點P，則動點P的軌跡是_.,題型一 橢圓的定義及標準方程,點P在線段AN的垂直平分線上，故PAPN， 又AM是圓的半徑， PMPNPMPAAM6MN， 由橢圓定義知，P的軌跡是橢圓.,思維點撥,解析,答案,例1 (1)已知圓(x2)2y236的圓心為M，設A為圓上任一點，且點N(2,0)，線段AN的垂直平分線交MA于點P，則動點P的軌跡是_.,題型一 橢圓的定義及標準方程,思維點撥,解析,答案,點P在線段AN的垂直平分線上，故PAPN， 又AM是圓的半徑， PMPNPMPAAM6MN， 由橢圓定義知，P的軌跡是橢圓.,橢圓,例1 (2)已知橢圓以坐標軸為對稱軸，且長軸是短軸的3倍，并且過點P(3,0)，則橢圓的方程為 _.,思維點撥,解析,答案,例1 (2)已知橢圓以坐標軸為對稱軸，且長軸是短軸的3倍，并且過點P(3,0)，則橢圓的方程為 _.,要分焦點在x軸和y軸上兩種情況；,思維點撥,解析,答案,例1 (2)已知橢圓以坐標軸為對稱軸，且長軸是短軸的3倍，并且過點P(3,0)，則橢圓的方程為 _.,思維點撥,解析,答案,例1 (2)已知橢圓以坐標軸為對稱軸，且長軸是短軸的3倍，并且過點P(3,0)，則橢圓的方程為 _.,思維點撥,解析,答案,例1 (2)已知橢圓以坐標軸為對稱軸，且長軸是短軸的3倍，并且過點P(3,0)，則橢圓的方程為 _.,思維點撥,解析,答案,思維點撥,解析,答案,思維升華,可以用待定系數(shù)法求解.,思維點撥,解析,答案,思維升華,設橢圓方程為mx2ny21(m0，n0且mn). 橢圓經(jīng)過點P1、P2，點P1、P2的坐標適合橢圓方程.,思維點撥,解析,答案,思維升華,思維點撥,解析,答案,思維升華,(1)求橢圓的方程多采用定義法和待定系數(shù)法，利用橢圓的定義定形狀時，一定要注意常數(shù)2aF1F2這一條件. (2)求橢圓標準方程的基本方法是待定系數(shù)法，具體過程是先定形，再定量，即首先確定焦點所在位置，然后再根據(jù)條件建立關于a，b的方程組.如果焦點位置不確定，要考慮是否有兩解，有時為了解題方便，也可把橢圓方程設為mx2ny21 (m0，n0，mn)的形式.,思維點撥,解析,答案,思維升華,由c2a2b2可得b24.,其焦點在y軸上，且c225916.,c216，且c2a2b2，故a2b216. ,由得b24，a220，,(2)(2014·安徽)設F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：x2 1(0b1)的左，右焦點，過點F1的直線交橢圓E于A，B兩點.若AF13F1B，AF2x軸，則橢圓E的方程為_.,解析 設點B的坐標為(x0，y0).,例2 (2014·江蘇)如圖，在平面直角坐標系 xOy中，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓 1(ab0) 的左，右焦點，頂點B的坐標為(0，b)，連結(jié) BF2并延長交橢圓于點A，過點A作x軸的垂線交橢圓于另一點C，連結(jié)F1C.,題型二 橢圓的幾何性質(zhì),思維點撥,解析,根據(jù)橢圓的定義，建立方程關系即可求出a、b的值.,思維點撥,解析,解 設橢圓的焦距為2c，則F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0).,思維點撥,解析,例2 (2)若F1CAB，求橢圓離心率e的值.,思維點撥,解析,思維升華,例2 (2)若F1CAB，求橢圓離心率e的值.,求出C的坐標，利用F1CAB建立斜率之間的關系，解方程即可求出e的值.,思維點撥,解析,思維升華,例2 (2)若F1CAB，求橢圓離心率e的值.,解 因為B(0，b)，F(xiàn)2(c,0)在直線AB上，,思維點撥,解析,思維升華,例2 (2)若F1CAB，求橢圓離心率e的值.,又AC垂直于x軸，由橢圓的對稱性，,思維點撥,解析,思維升華,例2 (2)若F1CAB，求橢圓離心率e的值.,又b2a2c2，整理得a25c2.,思維點撥,解析,思維升華,例2 (2)若F1CAB，求橢圓離心率e的值.,求橢圓的離心率的方法： (1)直接求出a、c來求解e，通過已知條件列方程組，解出a、c的值； (2)構造a、c的齊次式，解出e，由已知條件得出a、c的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關于離心率e的一元二次方程求解； (3)通過特殊值或特殊位置，求出離心率.,思維點撥,解析,思維升華,2,解析 如圖，在ABF中，AB10，AF6，,設BFm，,m216m640，m8.,設橢圓右焦點為F，連結(jié)BF，AF，,由對稱性，得BFAF6， 2aBFBF14.,(1)若直線l的方程為yx4，求弦MN的長.,思維點撥,解析,思維升華,題型三 直線與橢圓位置關系 的相關問題,(1)若直線l的方程為yx4，求弦MN的長.,題型三 直線與橢圓位置關系 的相關問題,直線與圓錐曲線的位置關系問題，一般可以直接聯(lián)立方程，“設而不求”，把方程組轉(zhuǎn)化成關于x或y的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關系及弦長公式求解.,思維點撥,解析,思維升華,(1)若直線l的方程為yx4，求弦MN的長.,題型三 直線與橢圓位置關系 的相關問題,則4x25y280與yx4聯(lián)立，,思維點撥,解析,思維升華,(1)若直線l的方程為yx4，求弦MN的長.,題型三 直線與橢圓位置關系 的相關問題,思維點撥,解析,思維升華,(1)若直線l的方程為yx4，求弦MN的長.,題型三 直線與橢圓位置關系 的相關問題,思維點撥,解析,思維升華,(1)解決直線與橢圓的位置關系的相關問題，其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立,消元、化簡，然后應用根與系數(shù)的關系建立方程,解決相關問題.涉及弦中點的問題常常用“點差法”解決，往往會更簡單.,(1)若直線l的方程為yx4，求弦MN的長.,題型三 直線與橢圓位置關系 的相關問題,思維點撥,解析,思維升華,(2)設直線與橢圓的交點坐標為A(x1，y1)，B(x2，y2)，,提醒：利用公式計算直線被橢圓截得的弦長是在方程有解的情況下進行的，不要忽略判別式.,例3 (2)如果BMN的重心恰好為橢圓的右焦點F，求直線l方程的一般式.,思維點撥,解析,思維升華,例3 (2)如果BMN的重心恰好為橢圓的右焦點F，求直線l方程的一般式.,直線與圓錐曲線的位置關系問題，一般可以直接聯(lián)立方程，“設而不求”，把方程組轉(zhuǎn)化成關于x或y的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關系及弦長公式求解.,思維點撥,解析,思維升華,例3 (2)如果BMN的重心恰好為橢圓的右焦點F，求直線l方程的一般式.,解 橢圓右焦點F的坐標為(2,0)，,設線段MN的中點為Q(x0，y0)，,又B(0,4)，(2，4)2(x02，y0)，故得x03，y02，,即得Q的坐標為(3，2). 設M(x1，y1)，N(x2，y2)，,思維點撥,解析,思維升華,例3 (2)如果BMN的重心恰好為橢圓的右焦點F，求直線l方程的一般式.,則x1x26，y1y24，,思維點撥,解析,思維升華,例3 (2)如果BMN的重心恰好為橢圓的右焦點F，求直線l方程的一般式.,即6x5y280.,思維點撥,解析,思維升華,例3 (2)如果BMN的重心恰好為橢圓的右焦點F，求直線l方程的一般式.,思維點撥,解析,思維升華,(1)解決直線與橢圓的位置關系的相關問題，其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立,消元、化簡，然后應用根與系數(shù)的關系建立方程,解決相關問題.涉及弦中點的問題常常用“點差法”解決，往往會更簡單.,例3 (2)如果BMN的重心恰好為橢圓的右焦點F，求直線l方程的一般式.,設直線與橢圓的交點坐標為A(x1，y1)，B(x2，y2)，,提醒：利用公式計算直線被橢圓截得的弦長是在方程有解的情況下進行的，不要忽略判別式.,思維點撥,解析,思維升華,將b2a2c2代入2b23ac，,(2)若直線MN在y軸上的截距為2，且MN5F1N，求a，b.,解 由題意，得原點O為F1F2的中點，MF2y軸， 所以直線MF1與y軸的交點D(0,2)是線段MF1的中點，,由MN5F1N得DF12F1N. 設N(x1，y1)，由題意知y10，,高頻小考點9 高考中求橢圓的離心率問題,思 維 點 撥,解 析,溫 馨 提 醒,利用點差法得出關于a，b的方程.,思 維 點 撥,解 析,溫 馨 提 醒,思 維 點 撥,解 析,溫 馨 提 醒,x1x22，y1y22，,a22b2.又b2a2c2，,思 維 點 撥,解 析,溫 馨 提 醒,離心率是橢圓的重要幾何性質(zhì)，是高考重點考查的一個知識點.這類問題一般有兩類：一類是根據(jù)一定的條件求橢圓的離心率；另一類是根據(jù)一定的條件求離心率的取值范圍.無論是哪類問題，其難點都是建立關于a，b，c的關系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b用a，c表達，轉(zhuǎn)化為關于離心率e的關系式，這是化解有關橢圓的離心率問題難點的根本方法.,思 維 點 撥,解 析,溫 馨 提 醒,思 維 點 撥,解 析,溫 馨 提 醒,由正弦定理將已知等式轉(zhuǎn)化為PF1、PF2的等量關系.,思 維 點 撥,解 析,溫 馨 提 醒,思 維 點 撥,解 析,溫 馨 提 醒,離心率是橢圓的重要幾何性質(zhì)，是高考重點考查的一個知識點.這類問題一般有兩類：一類是根據(jù)一定的條件求橢圓的離心率；另一類是根據(jù)一定的條件求離心率的取值范圍.無論是哪類問題，其難點都是建立關于a，b，c的關系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b用a，c表達，轉(zhuǎn)化為關于離心率e的關系式，這是化解有關橢圓的離心率問題難點的根本方法.,思 維 點 撥,解 析,溫 馨 提 醒,方 法 與 技 巧,1.橢圓的定義揭示了橢圓的本質(zhì)屬性，正確理解、掌握定義是關鍵，應注意定義中的常數(shù)大于F1F2，避免了動點軌跡是線段或不存在的情況.,2.求橢圓方程的方法，除了直接根據(jù)定義外，常用待定系數(shù)法. 當橢圓的焦點位置不明確而無法確定其標準方程時，設方程為 1 (m0，n0，且mn)可以避免討論和煩瑣的計算，也可以設為Ax2By21 (A0，B0，且AB)，這種形式在解題中更簡便.,方 法 與 技 巧,3.討論橢圓的幾何性質(zhì)時，離心率問題是重點，求離心率的常用方法有以下兩種： (1)求得a，c的值，直接代入公式e 求得； (2)列出關于a，b，c的齊次方程(或不等式)，然后根據(jù)b2a2c2，消去b，轉(zhuǎn)化成關于e的方程(或不等式)求解.,失 誤 與 防 范,1.判斷兩種標準方程的方法為比較標準形式中x2與y2的分母大小.,2.注意橢圓的范圍，在設橢圓 1 (ab0)上點的坐標為P(x，y)時，則|x|a，這往往在求與點P有關的最值問題中用到，也是容易被忽略而導致求最值錯誤的原因.,2,3,4,5,6,7,8,9,1,10,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,PF26，PF12×564.,4,2.若橢圓x2my21的焦點在y軸上，且長軸長是短軸長的兩倍.則m的值為_.,3,4,5,6,7,8,9,1,10,2,2,4,5,6,7,8,9,1,10,3,解析 如圖所示，,設以(0,6)為圓心， 以r為半徑的圓的方程為x2(y6)2r2(r0)，,2,4,5,6,7,8,9,1,10,3,令1224×9(r246)0，,2,3,5,6,7,8,9,1,10,4,解析 由題意知AF1ac，F(xiàn)1F22c，F(xiàn)1Bac，且三者成等比數(shù)列，則 AF1·F1B， 即4c2a2c2，a25c2，,2,3,5,6,7,8,9,1,10,4,2,3,4,6,7,8,9,1,10,5,解析 圓M的方程可化為(xm)2y23m2， 則由題意得m234，即m21(m0)， m1，則圓心M的坐標為(1,0). 由題意知直線l的方程為xc， 又直線l與圓M相切，c1，a231，a2. 答案 2,2,3,4,6,7,8,9,1,10,5,2,3,4,5,7,8,9,1,10,6,2,3,4,5,7,8,9,1,10,6,知MF1F260°，又MF1F22MF2F1， 所以MF2F130°，MF1MF2，,7.(2014·遼寧)已知橢圓C： 1，點M與C的焦點不重合.若M關于C的焦點的對稱點分別為A，B，線段MN的中點在C上，則ANBN_.,2,3,4,5,6,8,9,1,10,7,如圖，設MN的中點為D，,則DF1DF22a6.,D，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為MN，AM，BM的中點， BN2DF2，AN2DF1， ANBN2(DF1DF2)12. 答案 12,2,3,4,5,6,8,9,1,10,7,8.橢圓 y21的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P為橢圓上一動點，若F1PF2為鈍角，則點P的橫坐標的取值范圍是_.,2,3,4,5,6,7,9,1,10,8,解析 設橢圓上一點P的坐標為(x，y)，,即x23y20， ,2,3,4,5,6,7,9,1,10,8,2,3,4,5,6,7,8,1,10,9,(1)求橢圓C的方程；,(2)若直線yxm與橢圓C交于不同的兩點A，B，且線段AB的中點M在圓x2y21上，求m的值.,2,3,4,5,6,7,8,1,10,9,解 設點A，B的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)， 線段AB的中點為M(x0，y0)，,2,3,4,5,6,7,8,1,10,9,點M(x0，y0)在圓x2y21上，,2,3,4,5,6,7,8,9,1,10,(1)求橢圓的標準方程；,解 設F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)，其中c2a2b2.,2,3,4,5,6,7,8,9,1,10,2,3,4,5,6,7,8,9,1,10,(2)設圓心在y軸上的圓與橢圓在x軸的上方有兩個交點，且圓在這兩個交點處的兩條切線相互垂直并分別過不同的焦點，求圓的半徑.,2,3,4,5,6,7,8,9,1,10,P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是兩個交點，,解 如圖，設圓心在y軸上的圓C與橢圓 y21相交，,y10，y20，F(xiàn)1P1，F(xiàn)2P2是圓C的切線，且F1P1F2P2.,2,3,4,5,6,7,8,9,1,10,由圓和橢圓的對稱性，易知x1x2，y1y2，P1P22|x1|. 由(1)知F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)，,2,3,4,5,6,7,8,9,1,10,當x10時，P1，P2重合，此時題設要求的圓不存在.,由F1P1，F(xiàn)2P2是圓C的切線，且F1P1F2P2，,知CP1CP2，又CP1CP2，,2,3,4,5,6,7,8,9,1,10,2,3,4,5,1,6,2,3,4,5,1,6,2,3,4,5,1,6,解析 由題意可設P(c，y0)(c為半焦距)，,2,3,4,5,1,6,2,3,4,5,1,6,3.已知F1、F2是橢圓C的左、右焦點，點P在橢圓上，且滿 足PF12PF2，PF1F230°，則橢圓的離心率為_.,解析 在三角形PF1F2中，由正弦定理得,2,3,4,5,1,6,解析 PF1PF210，F(xiàn)1F26，,2,3,4,5,1,6,5.設F1、F2分別是橢圓 1的左、右焦點，P為橢圓上任一點，點M的坐標為(6,4)，則PMPF1的最大值為_.,解析 PF1PF210，PF110PF2， PMPF110PMPF2， 易知M點在橢圓外，連結(jié)MF2并延長交橢圓于P點，,2,3,4,5,1,6,此時PMPF2取最大值MF2，,答案 15,2,3,4,5,1,6,(1)求橢圓C的方程；,2,3,4,5,1,6,2,3,4,5,1,6,解 假設存在直線l1且由題意得斜率存在， 設滿足條件的方程為yk1(x2)1，代入橢圓C的方程得，,2,3,4,5,1,6,因為直線l1與橢圓C相交于不同的兩點A，B， 設A，B兩點的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，,2,3,4,5,1,6,2,3,4,5,1,6,2,3,4,5,1,6,