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振動和波動 小結 習題課,一、簡諧振動,1、簡諧振動的特征,簡諧振動的動力學特征,簡諧振動的受力特征 ，或 , k 為常數(shù),2、振體的速度和加速度,為系統(tǒng)的固有角頻率。對彈簧振子 。,簡諧振動的運動學特征 , A、 為兩積分常數(shù)，其值由初始條件決定。,3、描述簡諧振動的三個特征量,（1）振幅,（2）角頻率(或稱圓頻率)?,（3）初相 ?,以上三個量稱為描述諧振動的三個特征量。其中: ? 由振動系統(tǒng)本身的性質決定。振幅A和初相 則由初始條件決定.,位移振幅 A，速度振幅?A ，加速度振幅,彈簧振子,4、諧振動的旋轉矢量描述法,任意時刻，矢量 的末端在x軸上的投影點Ｐ的坐標就是Ｐ點在x 軸上作諧振動的位移方程。,y,t =0 時刻,矢量 與 x 軸正向的夾角 ? 為諧振動的初相;,的長度為簡諧振動的振幅;,轉動的角速度? 為諧振動的圓頻率；,用矢量 描述諧振動的方法:,5、簡諧振動的能量,系統(tǒng)的總能,６、同方向同頻率簡諧振動的合成,合振動,合振動的振幅和初相,二、平面簡諧波,１、描述波動的三個物理量及其關系,２、平面簡諧波的波函數(shù)(波動方程),“+ ” 號對應波向 x 軸負方向傳播。,波長和波速與介質有關，周期和頻率與振源相同。,波函數(shù)(波動方程) —— 波線上x處質點在t 時刻的位移方程,波函數(shù)(波動方程)的標準形式,注意波函數(shù)的物理意義及波動方程中每一項的物理意義！,—— 波從坐標原點傳到x處需要的時間。,—— x處質點落后原點處質點振動的相位。,—— x處質點在t時刻的相位。,—— 原點處質點振動的初相。,—— x處質點振動的初相。,—— x處質點在t 時刻的振動位移。,若知道波速u，從時間上考慮直接寫出波線上任意x處質點的振動方程此即波動方程；,若知道波長 ，則從相位上考慮可直接寫出波線上任意x處質點的振動方程此即波動方程；,３、波動方程的建立,兩類問題：,這類問題通常根據(jù)題給的波形曲線，先寫出原點處質點的振動方程，再寫波動方程。關鍵是找初相 ，原點處質點的振動方程寫出后即回到了第一類問題。,（1）已知波線上某點（含坐標原點）的振動方程，波的傳播方向，波速u（或波長 ），寫波動方程,（2）已知某時刻（含t = 0 時刻）的波形曲線，波的傳播方向，波速u（或波長 ），寫波動方程,已知u =20 m/s, 波向x負方向傳，A點的振動方程為,（1）以A點為原點的波動表達式,第一類問題： 《教材》P229頁7-19題,,（2）以B點為原點的波動表達式,已知t =2 s時刻的波形曲線, 波向x負方向傳，寫o點的振動方程,設o點的振動表達式為,第二類問題：P226頁第7-5題,由圖知：A=0.5 m，,t = 2 s時刻，原點處質點在平衡位置且向y軸正向運動，畫出該時刻旋轉矢量的位置如圖,o點的振動表達式,即,故,例1 平面簡諧波以波速u向x 負方向傳播，t = 2 s時刻的波形如圖，（1）求波動表達式；（2）P 處質點的振動方程。,解：,先寫原點處質點的振動方程,設,故,由圖知：A，,t = 2 s時刻，原點處質點在平衡位置且向y軸正向運動，畫出該時刻旋轉矢量的位置如圖,即,波動方程,（2）P 處質點的振動方程， 代入上式,7-24 平面簡諧波沿x 軸正方向傳播，波的周期T = 2 s, t = 1/3 s時刻的波形如圖，求: (1) O點和P點的振動表達式;（2）該波的波動表達式；（3）P 點離O點的距離。,解：,(1) 設原點處質點的振動方程,由題設條件知,(2) 波動方程,所以P點的振動方程,設P點處質點的振動方程為,③,②,該相位應與②式中確定的相位相同, 有,(3) 設P點坐標為 , 代入③得P處質點在 t 時刻的相位,求得,,4、波的能量（了解兩點）,（1）波動中，任意時刻，任一體元的動能和勢能相等，相 位相同，總能不守恒。,（2）質元在平衡位置，形變最大，動能和勢能最大；質元在 最大位移處，形變最小，動能和勢能最?。?）。,答案：,例3 t 時刻的波形如圖所示，則該時刻能量為最大值的媒質質點的位置是？,波的平均能量密度,能流密度 ——,在單位時間內通過垂直于波線的單位面積上的平均波的能量。,W.m-2,能流密度也叫波的強度.,5、波的疊加（波的干涉）,相干波源的條件：,頻率相同，振動方向相同，相位相同或相位差恒定。,干涉加強減弱的條件：,當 時,6、駐波（波干涉的特例）,（1）駐波的形成及條件,（2）駐波方程,兩振幅相同的相干波在同一直線上沿相反方向傳播時, 疊加的結果便形成駐波。,弦線上形成駐波的條件,坐標原點取在某波腹處，且 處質點向上達正最大位移的時刻開始計時,波腹的位置,波節(jié)的位置,任意坐標原點和任意計時起點的駐波方程,相鄰兩個波節(jié)（或波幅）的間距為,設入射波和反射波方程分別為：,合成波即駐波波函數(shù),(3) 駐波中各點的相位,駐波分段振動, 相鄰兩波節(jié)之間的各點振動相位始終相同，任一個波節(jié)兩邊的點, 振動相位始終反相. 駐波沒有振動狀態(tài)或相位的傳播。,P227頁，選7-9題,（4）半波損失,波從波疏介質入射到波密介質界面反射時, 反射波有半波損失.,波在固定端反射時有半波損失, 反射點為波節(jié);,波在自由端反射時無半波損失, 反射點為波腹。,解：,設o點的振動方程為,t = 0時，,例4 如圖一頻率為 ，振幅為 A的 平面簡諧波沿x 軸正方向傳播，在t=0時該波在原點o處引起的振動使媒質元由平衡位置向y負方向運動，BC為波密媒質的反射面, 波由P點反射, 已知 ，設反射波的振幅不衰減，求（1）入射波與反射波的波動方程。（2）D點的振動方程。,故入射波表達式為,P點入射波引起的振動為,P點反射有一相位突變,所以，反射波表達式為,合成波表達式為,例5 如圖一平面簡諧波沿x 軸正方向傳播，BC為波密媒質的反射面, 波由P點反射, ,在t=0時, o處質點的合振動是經(jīng)過平衡位置向負方向運動。求D點處入射波與反射波的合振動方程。（設入射波和反射波的振幅皆為A，頻率為 ）,解：,取o點為坐標原點，設入射波表達式為,則反射波表達式,將D點坐標 代入得D點振動表達式,由題設t = 0時，x = 0處質點,合成波（駐波）表達式為,故，D點處合振動的表達式為,故反射波表達式為,,注：,