第 1 頁 中文提要 在數(shù)學(xué)中 ,圖形也像文字那樣具有記錄作用 ,而且比文字更形象 ,所以有助于學(xué)生探索解題路徑 ,有利于形象記憶 ,又可交流思想 。本 文主要討論圖形在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用與研究，經(jīng)反復(fù)閱讀中學(xué)數(shù)學(xué)教材， 參考教育心理學(xué)，數(shù)學(xué)教育心理學(xué)等文獻(xiàn)，將研究分為 (一 )圖形在中學(xué)數(shù)學(xué)中如何應(yīng)用 ， (二 )在圖形教學(xué)中， 應(yīng) 注意 什么 ， (三 )認(rèn)真抓好圖形入門教學(xué) ， (四 )如何解圖形綜合題 ， (五 )圖形的應(yīng)用給學(xué)生帶來怎樣的影響五個方面進(jìn)行探討，在研究中發(fā)現(xiàn)圖形領(lǐng)域的教學(xué) 向?qū)W生提供充分的數(shù)學(xué)活動和數(shù)學(xué)交流的機會，幫助他們在自主探索的過程中真正理解 和掌握基本的數(shù)學(xué)知識和技能、基本的數(shù)學(xué)思想和方法 ，發(fā)現(xiàn)了圖形在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性。 通過本次課題的研究加深了對中學(xué)數(shù)學(xué)教材和學(xué)生在學(xué)習(xí)中的心理的了解。 第 2 頁 n as a so it to is to of on in in to of is a) of in of in (b) in a of (e) of of to to in to to to in of to he of to of in 第 3 頁 關(guān)鍵詞： 圖形 中學(xué)數(shù)學(xué) 心理 影響 應(yīng)用 (一 )引言 在數(shù)學(xué)中 ,圖形也像文字那樣具有記錄作用 ,而且比文字更形象 ,所以有助于學(xué)生探索解題路徑 ,有利于形象記憶 ,又可交流思想 ,因此我們把圖形作語言來使用 ,圖 形語言用得好 ,將大大有利于我們的幾何學(xué)習(xí) ,真正起到事半功倍的作用 . (二 )圖形在中學(xué)數(shù)學(xué) 中如何 應(yīng)用 在初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中 ,圖形主要應(yīng)用于幾何，幾何一直是大多數(shù)學(xué)生的難題，對 于幾何，我們要善于歸納總結(jié)，熟悉常見的特征圖形。舉個例子， 如圖 ,已知 A， B， C 三點共線，分別以 邊向外作等邊 等邊 如果再沒有其他附加條件，那么你能從這個圖形中找到哪些結(jié)論？如果我們通過很多習(xí)題能夠總結(jié)出：一般情況下題目中如果有兩個有公共頂點的等邊三角形就必然會出現(xiàn)一對旋轉(zhuǎn)式的全等三角形的結(jié)論，這樣我們很容易得 出 在這對全等三角形的基礎(chǔ)上我們還會得出 等邊三角形， C 等主要結(jié)論，這些結(jié)論也會成為解決其它問題的橋梁。 還有相似三角形中的兩種基本圖形，就是我們熟知的 A 字形和 8 字形， 在幾何的學(xué)習(xí)中這樣典型的圖形很多，要善于總結(jié)。 慮問題全面也是學(xué)好幾何至關(guān)重要的一點。在幾何的學(xué)習(xí)中，經(jīng)常會遇到分兩種或多種情況來解的問題，那么我們怎么能更好的解決這部分問題呢？這要靠平時的點滴積累，對比較常見的分情況考慮的問題要熟悉。例如 說到等腰三角形的角要考慮是頂角還是底角，說到等腰三角形的邊要考慮是底還是腰，說到過一點作直線和圓相交，要考慮點和圓有三種位置關(guān)系， 相交、相切、相離， 所以要畫出三種圖形。在幾何教學(xué)中我們經(jīng)常會應(yīng)用到多媒體教學(xué)，這讓學(xué)生對圖形的認(rèn)識印象更加深刻，使學(xué)生知其然，又知其所以然。運用多媒體可以將教學(xué)中涉及的事物形象、過程等全部內(nèi)容再現(xiàn)于課堂，使教學(xué)過程形象生動，使難以覺察的東西清晰地呈現(xiàn)在學(xué)生的感覺能力可 第 4 頁 及的范圍之內(nèi)。例如：在教學(xué) “ 角的認(rèn)識 ” 這一課時，教學(xué)生如何畫角是一個重要內(nèi)容。我們可以先用多媒體演示畫角的步驟和基 本方法，由于用多媒體演示，手段新穎，學(xué)生的注意力集中，給學(xué)生留下的表象深刻。演示結(jié)束后，教師再到黑板上示范畫角， 并且把步驟講解清楚 ， 最后讓學(xué)生獨立畫角。這樣的教學(xué)過程設(shè)計，符合學(xué)生的心理需求，使學(xué)生對畫角方法清楚明了，教學(xué)效果好。 (三 )在圖形教學(xué)中， 應(yīng) 注意 什么 要注意以下幾點 : 第一，高度重視圖形導(dǎo)言課的教學(xué)，精心設(shè)計并以極大的熱情講好導(dǎo)言課，使學(xué)生產(chǎn)生一種要學(xué)好有關(guān)圖形知識的良好愿望這對培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣起奠基作用 第二，要善于挖掘教材的實質(zhì)，聯(lián)系學(xué)生感興趣的生活原型，使抽象的圖形知識變得直觀具體形 象，從而激發(fā)學(xué)生的求知欲 第三，配合教學(xué)內(nèi)容介紹中外數(shù)學(xué)家在圖形 研究 方面的成就，使他們把圖形學(xué)習(xí)與崇高的理想結(jié)合起來，以此激勵學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，使興趣化為主動學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力 (四 )認(rèn)真抓好圖形入門教學(xué) 圖形入門教學(xué)，就內(nèi)容而言，一般指平面幾何的基本概念、相交線與平行線和三角形這三章現(xiàn)行中學(xué)教材的這三章內(nèi)容已涉及概念、命題、推理論證、作圖等圖形教學(xué)的基本問題這些內(nèi)容既是入門教學(xué)的重點又是難點形成圖形入門難的主要原因是： 學(xué)科內(nèi)容發(fā)生了由數(shù)到形由計算到推理的轉(zhuǎn)變，學(xué)生一時難以適應(yīng) ； 圖形入門概念多，而學(xué)生開始又不能正確理解和掌握圖形語言 。 為解 決圖形入門教學(xué)的問題，人們已作了許多有益的探討，取得了一定成效 。 充分重視圖形入門教學(xué)，根據(jù)教材內(nèi)容與學(xué)生的實際制訂出整體計劃及具體措施，是解決入門難的前提；選用符合圖形認(rèn)知規(guī)律的教學(xué)方法，適當(dāng)放慢進(jìn)度，分散難點，逐步提高要求是入門階段總的教學(xué)原則；注重 圖形語言訓(xùn)練與數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，是搞好圖形入門教學(xué)的有效途徑 。 還需指出的是，眾多的概念作為圖形知識的基 礎(chǔ)是入門教學(xué)的關(guān)鍵點 。 教學(xué)中，鑒于圖形的抽象性，切忌采用就概念講概念的填鴨 式教學(xué)，而應(yīng)設(shè)法借助生活實例或直觀教具的演示，引導(dǎo)學(xué)生觀察、溝通概念與圖形、感性認(rèn)識與理性認(rèn)識的聯(lián)系 。 特別應(yīng)注意從概念的產(chǎn)生、發(fā)展過程中為學(xué)生提供思維情境，讓學(xué)生通過由具體 到抽象、由特殊到一般這樣一個和諧的教學(xué)情境，理解和掌握圖形概念 。 (五 )如何解圖形綜合題 華羅庚先生曾指出 :善于 "退 ",足夠地 "退 ",退到最原始又不失重要性的地方 ,是學(xué)習(xí) 第 5 頁 數(shù)學(xué)的一個訣竅。 在教學(xué)生如何解圖形綜合題時 ， 常采取如下步驟 : 1、 題讀三遍 第 (1)遍 :粗讀。將整條題目先對照圖形全讀下來 ,大概了解題意。 第 (2)遍 :細(xì)讀。將題目中認(rèn)為對解題有用的條件用筆勾畫出來。 第 (3)遍 :精讀。結(jié)合圖形以及題目中的條件進(jìn)行分析、思考 ， 尋找解題的方法。 2、 畫圖解意 對于一些不易解決的問題 ， 按題目中條件自己畫圖 ， 在畫圖過程可避免看原圖時的繁瑣雜亂 ， 而得出原圖中不易看出的結(jié)論 ， 分析所得結(jié)論與題目中所證結(jié)論之間的關(guān)聯(lián)。有些必要的條件可在圖中用粗線條或彩色線條描出來。 3、 分題畫圖 在解綜合題時 ， 有時常因圖中其它條件干擾 ,使解題帶來障礙 ， 如一題多問 ， 最好一問一圖 ， 不必要的條件在圖形中可省。這樣畫出來的圖形更簡單 ， 更清晰。 復(fù)雜的題目 ,都由一些基本題組成的 ,教師要把學(xué)生的主要精力引導(dǎo)到對基本題的 "聽懂、記懂、記住、用活 "上 ， 聽懂 ， 即把握例題的主要因素及聯(lián)系 ， 能用自己的語言準(zhǔn)確清晰復(fù)述。記住 ， 即要求學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上 ， 用巧妙的方法記憶基本內(nèi)容 ； 用活 ， 就是能將基本題用于不同的問題情境或采取不同方式運用。 像這樣處理圖形 ， 不僅可以幫助學(xué)生形成圖形意識 ， 而且促進(jìn)學(xué)生在解決問題中探究思考能力 ， 培養(yǎng)學(xué)生從不同角度、運用不同方式解決問題 ， 降低思考的難度 ， 有利于學(xué)生思維的激活。 (六 )圖形 的應(yīng)用給學(xué)生帶來怎樣的影響 一 . 學(xué) 習(xí)數(shù)學(xué)中簡單圖形的美，使學(xué)生感到學(xué)習(xí) “ 有味 ” 。 1. 優(yōu)美的圖形總帶給人們美的享受。 利用數(shù)學(xué)中圖形的美，培養(yǎng)學(xué)生的興趣。優(yōu)美的圖形或圖案，給我們提供了生動的視覺形象，給我們帶來美的感受，它能把學(xué)生引導(dǎo)到學(xué)習(xí)的情景中去，更能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)樂趣和強烈的探索欲望，所以，在教學(xué)過程中，遇到優(yōu)美的圖案和圖片，要恰倒好處的利用，讓它們真正為教育教學(xué)服務(wù)，起到吸引學(xué)生注意，引導(dǎo)學(xué)生興趣的目的。如華東師大版初一數(shù)學(xué)（上）第一章 六題：請以給定的圖形（兩個圓、兩個三角形、兩條平行線）為構(gòu)件，構(gòu)思獨特且有意義的圖形，并寫一兩句詼諧的解說詞。在教學(xué)中我讓學(xué)生先個人設(shè)計，發(fā)揮想象，并相互交流，然后對全班同 學(xué)中的優(yōu)秀作品展示并評獎。如 “ 戰(zhàn)車 ” 、 “ 風(fēng)箏 ” 、 “ 夕陽夾山 ” 、 “ 倒影入溪 ” 等許多構(gòu)思巧妙、意義豐富的圖形加上詼諧的解說詞，讓同學(xué)們體會到成功的樂趣。為用簡單的幾種幾何圖形也能 構(gòu)成美麗的圖案而感到驚奇，從而大大提高了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。 2. 圖形的對稱性、統(tǒng)一性 第 6 頁 對稱圖形的學(xué)習(xí)，學(xué)生不僅僅是獲得了知識，還獲得了美的享受，提高了分析問題的能力?？陀^世界中存在著許許多多的對稱圖形，它們讓我們感受到數(shù)學(xué)世界的美好。很多的對稱圖形是前人或現(xiàn)在的人們創(chuàng)造出來的，其中的精品可以說是人類智慧的結(jié)晶，這些圖形裝點著我們生活的 方方面面，不僅使我們的審美水平和創(chuàng)造力得到了提高，還使我們多了一條解決問題的思路，對于一些題目，從對稱的角度去思考，可以使問題得到巧妙的解答。數(shù)學(xué)的對稱性、統(tǒng)一性既有利于減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，又使學(xué)生感到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有趣。比如在教學(xué)華師版初一數(shù)學(xué)（下）等腰三角形一節(jié)中 “ 等腰三角形三線合一 ” 性質(zhì)時，在等腰三角形的三線（頂角的角平分線、底邊上的中線、底邊上的高線）中，知其一可說明另二。學(xué)生掌握這一定理也就容易多了。又如在平行四邊形一章中，幾種四邊形之間既有區(qū)別，又有著必然的聯(lián)系。學(xué)生認(rèn)識從一般的四邊形到平行四邊形到矩 形、菱形、正方形之間的變化過程，對于學(xué)生認(rèn)識幾種圖形，減輕學(xué)習(xí)中的負(fù)擔(dān)有很重要的作用，同時學(xué)生發(fā)現(xiàn)了所有平行四邊形間的變化過程、掌握這一類圖形間的區(qū)別與聯(lián)系，也感到了學(xué)習(xí)樂趣。 二 . 培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力 創(chuàng)新能力在數(shù)學(xué)教學(xué)中主要表現(xiàn)對已解決問題尋求新的解法。 “ 學(xué)起于思，思源于疑 ” ，學(xué)生探索知識的思維過程總是從問題開始，又在解決問題中得到發(fā)展和創(chuàng)新。 教學(xué)過程中學(xué)生在教師創(chuàng)設(shè)的情境下，自己動手操作、動腦思考、動口表達(dá)，探索未知領(lǐng)域，尋找客觀真理，成為發(fā)現(xiàn)者，要讓學(xué)生自始至終地參與這一探索過程 ，發(fā)展學(xué)生創(chuàng)新能力。如在球的體積教學(xué)中，我利用課余時間將學(xué)生分為三組，要求第一組每人做半徑為 10 厘米的半球；第二組每人做半徑為 10 厘米、高 10 厘米的圓錐；第三組每人做半徑為 10 厘米、高 10 厘米的圓柱。每組出一人又組成許多小組，各小組分別將圓錐放入圓柱中，然后用半球裝滿土倒入圓柱中，學(xué)生們發(fā)現(xiàn)它們之間的關(guān)系，半球的體積等于圓柱與圓錐體積之差。球的體積公式的推導(dǎo)過程，集公理化思想、轉(zhuǎn)化思想、等積類比思想及割補轉(zhuǎn)換方法之大成，就是這些思想方法靈活運用的完美范例。教學(xué)中再次通過展現(xiàn)體積問題解決的思路分析，形 成系統(tǒng)的條理的體積公式的推導(dǎo)線索，把這些思想方法明確地呈現(xiàn)在學(xué)生的眼前，學(xué)生從中領(lǐng)悟到當(dāng)初數(shù)學(xué)家的創(chuàng)造思維過程，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造思維和創(chuàng)新能力。 三 . 利用動態(tài)，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力 運動變化的東西，新鮮有趣的事物容易引起學(xué)生的注意。在教學(xué)中充分發(fā)揮多媒體“ 動 ” 的特長，變靜的 “ 說 ” 為動的 “ 演 ” ，啟迪學(xué)生思維。 將傳統(tǒng)教學(xué)過程中教師通過黑板、投影片、教具模型等媒體展示的各種信息，由計算機加工成文字、圖形、影像等資料，并進(jìn)行一些必要的處理如動畫 )，將這些資料組織起來。在進(jìn)行課堂教學(xué)時，多媒體 的動態(tài)變化可以將形與數(shù)有機結(jié)合起來，把運動和變化展現(xiàn)在學(xué)生面前，加深對知識的理解，因而可以做到更高密度的知識傳授，大大提高課堂利 第 7 頁 用率。 例如，對于三角形 “ 三線合一 ” 的教學(xué)，傳統(tǒng)教學(xué)因較難展現(xiàn)其發(fā)現(xiàn)過程，從而造成學(xué)生對其不好理解。利用多媒體，可以在屏幕上作出斜三角形 其角 A 的平分線、 后用鼠標(biāo)在屏幕上隨意拖動點 A，利用軟件功能，此時三角形 “ 三線 ” 在保持依存關(guān)系的前提下隨之發(fā)生變化。在移動的過程中，學(xué)生會直觀地發(fā)現(xiàn)存在這樣的點 A，使得角平分線、垂直平分線和中 線三線重合。再如，對于圓周率的概念的教學(xué)，利用 ，可以對圓周進(jìn)行展開，同時跟蹤測量圓周長和圓半徑，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)圓周長與圓半徑的比是一個定值。由于實驗中圓可以隨意變化，學(xué)生很容易接受 的存在。 四 . 培養(yǎng)學(xué)生動手實踐能力 通過教具模型創(chuàng)設(shè)情境 情境案例 :橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程 材料 1:地球圍繞著太陽旋轉(zhuǎn) ; 材料 2:“ 神舟六號 ” 飛船升空錄像 . 師 :引導(dǎo)學(xué)生觀察軌道 . 生 :觀察動畫 ,指出地球與 “ 神六 ” 的運行軌道 . 引入課題 :橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程 . 動手實驗 : 取一定長的細(xì)繩 ,把它的兩個端點固定在黑板的同一點處 ,套上鉛筆 ,拉緊繩子 ,旋轉(zhuǎn)一周 ,會得到什么圖形 ? 把繩子的兩個端點拉開一段距離 ,再套上鉛筆旋轉(zhuǎn) ,又會得到什么圖形 ? 繼續(xù)拉遠(yuǎn)兩個端點的距離 ,直到把繩子拉直 ,又會得到什么圖形 ? 實驗 教師演示 ,學(xué)生觀察思考 、 , 各小組學(xué)生利用手中工具在圖板上進(jìn)行實驗 . 多媒體展示 :橢圓形成過程 描述橢圓的定義 . 設(shè)計意圖 :利用學(xué)生熟知的地理規(guī)律 :地球圍繞太陽轉(zhuǎn)引入 ,讓學(xué)生感到親切自然 ;通過 “ 神六 ” 的升 空錄像 ,讓學(xué)生感受現(xiàn)實 ,激發(fā)學(xué)生的興趣 ,培養(yǎng)愛國思想 讓學(xué)生動手實踐 ,體驗橢圓的形成過程 ,加深對橢圓定義的理解 考、討論 ,概括出橢圓的定義 ,讓學(xué)生全程參與概念的探究過程 ,加深理解 ,提高概括能力和數(shù)學(xué)語言的表達(dá)能力 。 五 . 培養(yǎng)解決實際問題的能力 結(jié)合平時的作業(yè)，教師可以有意識地引導(dǎo)學(xué)生創(chuàng)造性地學(xué)習(xí)，自己發(fā)現(xiàn)問題、挖掘問題、解決問題。這就要求教師適當(dāng)設(shè)計一些開放性的練習(xí)。例如教師可設(shè)計這樣的教學(xué)內(nèi)容：把校園內(nèi)的一塊長 100 米，寬 60 米的長方形的空白地段設(shè)計成一個花園 ，其中要有 第 8 頁 圓形、方形、菱形等面積不等的花池、草坪。要求：（ 1）花池、草坪、道路所占面積的比例適中；（ 2）圖案美觀。這樣的研究性教學(xué)打破了人為編制的應(yīng)用題進(jìn)行機械解題訓(xùn)練的模式，使學(xué)生把所學(xué)的知識、應(yīng)用在實際問題中，既達(dá)到了綜合訓(xùn)練的目標(biāo)，又能培養(yǎng)學(xué)生解決實際問題的能力。 （七 ）結(jié)束 圖形領(lǐng)域的教學(xué)從學(xué)生的生活經(jīng)驗和已有的知識背景出發(fā)，向?qū)W生提供充分的數(shù)學(xué)活動和數(shù)學(xué)交流的機會，幫助他們在自主探索的過程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識和技能、基本的數(shù)學(xué)思想和方法，同時可以獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。 第 9 頁 參考文獻(xiàn)： 1邵瑞珍，皮連生教育心理學(xué) M上海：上海教育出版社， 1988 2李士琦 學(xué)教育心理 M北京：高等教育出版社 3全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀 M，北京師范大學(xué)出版社， 2002 4 綦春霞數(shù)學(xué)課程論與數(shù)學(xué)課程教材改革，北京師范大學(xué)出版社， 2001 5 章建躍 朱文芳中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)心理學(xué)，北京教育出版社， 2001