理數(shù) 課標(biāo)版,第五節(jié) 空間向量及其運(yùn)算,1.空間向量的有關(guān)概念,教材研讀,2.空間向量中的有關(guān)定理 (1)共線向量定理 空間兩個(gè)向量a(a≠0)與b共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ,使得⑨ b=λa . 推論 如圖所示,點(diǎn)P在l上的充要條件是 = +ta(O為空間上任意一點(diǎn)). (*) 其中a叫直線l的方向向量,t∈R,在l上取 =a,則(*)可化為 = +t,或 =⑩ (1-t) +t . (2)共面向量定理 共面向量定理的向量表達(dá)式:p= xa+yb ,其中x,y∈R,a,b為不共線 向量,推論的表達(dá)式為 =x +y 或?qū)臻g任意一點(diǎn)O,有 = +x +y 或 =u +v +w ,其中u+v+w= 1 . (3)空間向量基本定理 如果向量e1,e2,e3是空間三個(gè)不共面的向量,a是空間任意一向量,那么存 在唯一一組實(shí)數(shù)λ1,λ2,λ3,使得a= λ1e1+λ2e2+λ3e3 ,其中{e1,e2,e3}叫做 這個(gè)空間的一個(gè)基底.,3.空間向量的數(shù)量積及運(yùn)算律 (1)數(shù)量積及相關(guān)概念 (i)兩向量的夾角 已知兩個(gè)非零向量a,b,在空間任取一點(diǎn)O,作 =a, =b,則∠AOB叫做 向量a與b的夾角,記作 ,其范圍是 0≤≤π ,若= ,則稱a與b 互相垂直 ,記作a⊥b. (ii)兩向量的數(shù)量積 已知空間兩個(gè)非零向量a,b,則 |a||b|cos 叫做向量a,b的數(shù)量 積,記作 a·b ,即a·b= |a||b|cos . (2)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律 結(jié)合律:(λa)·b= λ(a·b) ;,交換律:a·b= b·a ; 分配律:a·(b+c)= a·b+a·c .,4.空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用 設(shè)a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).,5.兩個(gè)重要向量 (1)直線的方向向量 直線的方向向量是指和這條直線平行(或在這條直線上)的有向線段所 表示的向量,一條直線的方向向量有無數(shù)個(gè). (2)平面的法向量 直線l⊥平面α,取直線l的方向向量,則這個(gè)向量叫做平面α的法向量.顯 然一個(gè)平面的法向量有無數(shù)個(gè),它們是共線向量.,1.已知a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ-1,2λ),若a∥b,則λ與μ的值可以是 ( ) A.2, B.- , C.-3,2 D.2,2 答案 A ∵a∥b,∴b=ka(k∈R),即(6,2μ-1,2λ)=k(λ+1,0,2),∴ 解得 或,2.若平面α、β的法向量分別為n1=(2,-3,5),n2=(-3,1,-4),則( ) A.α∥β B.α⊥β C.α與β相交但不垂直 D.以上均不正確 答案 C 由題意知n1與n2不平行,又∵n1·n2=2×(-3)+(-3)×1+5×(-4)≠0, ∴n1與n2不垂直,∴α與β相交但不垂直.故選C.,,,3.已知正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E為上底面A1C1的中心,若 = +x +y ,則x,y的值分別為 ( ) A.x=1,y=1 B.x=1,y= C.x= ,y= D.x= ,y=1 答案 C 易求 = + + ,故x=y= .,4.已知向量a=(4,-2,-4),b=(6,-3,2),則(a+b)·(a-b)的值為 . 答案 -13 解析 (a+b)·(a-b)=a2-b2=42+(-2)2+(-4)2-[62+(-3)2+22]=-13.,,,5.下列命題: ①若A、B、C、D是空間任意四點(diǎn),則有 + + + =0; ②|a|-|b|=|a+b|是a、b共線的充要條件; ③若a、b共線,則a與b所在直線平行; ④對(duì)于空間任意一點(diǎn)O與不共線的三點(diǎn)A、B、C,若 =x +y +z (其中x,y,z∈R),則P、A、B、C四點(diǎn)共面. 其中不正確的命題是 . 答案 ②③④ 解析 ①正確;對(duì)于②,|a|-|b|=|a+b|是a、b共線的充分不必要條件;對(duì)于 ③,a與b所在的直線可能是同一條直線;對(duì)于④,必須滿足x+y+z=1,故④ 錯(cuò).,,考點(diǎn)一 空間向量的線性運(yùn)算 典例1 (2017四川內(nèi)江六中期末)如圖所示,在平行六面體ABCD-A1B1C1 D1中,設(shè) =a, =b, =c,M,N,P分別是AA1,BC,C1D1的中點(diǎn),試用a,b,c 表示以下各向量: (1) ; (2) ; (3) + .,考點(diǎn)突破,解析 (1)∵P是C1D1的中點(diǎn), ∴ = + + =a+ + =a+c+ =a+c+ b. (2)∵N是BC的中點(diǎn), ∴ = + + =-a+b+ =-a+b+ =-a+b+ c.,(3)∵M(jìn)是AA1的中點(diǎn), ∴ = + = + =- a+ = a+ b+c, 又 = + = + = + = c+a, ∴ + = + = a+ b+ c.,方法技巧 用基向量表示指定向量的方法 (1)結(jié)合已知向量和所求向量觀察圖形. (2)將已知向量和所求向量轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中. (3)利用三角形法則或平行四邊形法則把所求向量用已知基向量表示出來. 變式1-1 在本例的條件下,若 =xa+yb+zc,求x,y,z的值. 解析 ∵ = + =- + + =- + +,=- a+b+ c, ∴x=- ,y=1,z= .,,考點(diǎn)二 共線、共面向量定理的應(yīng)用 典例2 已知點(diǎn)A,B,C三點(diǎn)不共線,對(duì)平面ABC外的任一點(diǎn)O,若點(diǎn)M滿足 = ( + + ). (1)判斷 , , 三個(gè)向量是否共面; (2)判斷點(diǎn)M是否在平面ABC內(nèi). 解析 (1)由已知得 + + =3 , 所以 - =( - )+( - ), 即 = + =- - , 所以 , , 共面. (2)由(1)知 , , 共面,又它們有公共點(diǎn)M, 所以四點(diǎn)M,A,B,C共面,從而點(diǎn)M在平面ABC內(nèi).,,方法技巧 1.證明點(diǎn)共線的方法 證明點(diǎn)共線問題可轉(zhuǎn)化為證明向量共線問題,如證明A,B,C三點(diǎn)共線,即 證明 , 共線,亦即證明 =λ (λ≠0).,2.證明點(diǎn)共面的方法 證明點(diǎn)共面問題可轉(zhuǎn)化為證明向量共面問題,如果證明P,A,B,C四點(diǎn)共 面,只要能證明 =x +y 或?qū)臻g任一點(diǎn)O,有 = +x +y 或 =u +v +w (u+v+w=1)即可.共面向量定理實(shí)際上也是三個(gè)非 零向量所在直線共面的充要條件.,2-1 如圖所示,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1,點(diǎn)M,N分別在AC1和BC上,且 滿足 =k , =k (0≤k≤1).向量 是否與向量 , 共面?,解析 ∵ =k , =k , ∴ = + + =k + +k =k( + )+ =k( + )+,=k + = -k = -k( + ) =(1-k) -k , ∴由共面向量定理知向量 與向量 , 共面.,考點(diǎn)三 利用空間向量證明平行或垂直 典例3 如圖所示,已知四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD,側(cè)面PBC⊥底面ABCD.證明: (1)PA⊥BD; (2)平面PAD⊥平面PAB.,證明 (1)取BC的中點(diǎn)O,連接PO, ∵平面PBC⊥底面ABCD,△PBC為等邊三角形, ∴PO⊥底面ABCD.,以BC的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),以BC所在直線為x軸,過點(diǎn)O與AB平行的直線 為y軸,OP所在直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示. 不妨設(shè)CD=1,則AB=BC=2,PO= . ∴A(1,-2,0),B(1,0,0),D(-1,-1,0),P(0,0, ).,∴ =(-2,-1,0), =(1,-2,- ). ∵ · =(-2)×1+(-1)×(-2)+0×(- )=0, ∴ ⊥ ,∴PA⊥BD. (2)取PA的中點(diǎn)M,連接DM,則M . ∵ = , =(1,0,- ), ∴ · = ×1+0×0+ ×(- )=0, ∴ ⊥ ,即DM⊥PB. ∵ · = ×1+0×(-2)+ ×(- )=0, ∴ ⊥ ,即DM⊥PA.,又∵PA∩PB=P,∴DM⊥平面PAB. ∵DM?平面PAD,∴平面PAD⊥平面PAB.,方法技巧 1.用向量證明平行的方法 (1)線線平行:只需證明兩直線的方向向量是共線向量. (2)線面平行:證明直線的方向向量能用平面的兩個(gè)基向量表示,或證明 直線的方向向量與平面的法向量垂直. (3)面面平行:①證明兩平面的法向量是共線向量. ②轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行問題.,2.用向量證明垂直的方法 (1)線線垂直:證明兩直線的方向向量互相垂直,即證它們的數(shù)量積為零. (2)線面垂直:證明直線的方向向量與平面的法向量共線,或?qū)⒕€面垂直 的判定定理用向量表示. (3)面面垂直:證明兩個(gè)平面的法向量垂直,或?qū)⒚婷娲怪钡呐卸ǘɡ碛?向量表示.,3-1 如圖所示,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB = ,AF=1,M是線段EF的中點(diǎn).求證: (1)AM∥平面BDE; (2)AM⊥平面BDF. 證明 (1)以C為坐標(biāo)原點(diǎn),CD,CB,CE所在直線分別為x軸,y軸,z軸的正 方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AC∩BD=N,連接NE.,,則點(diǎn)N,E的坐標(biāo)分別為 ,(0,0,1). ∴ = . 又點(diǎn)A,M的坐標(biāo)分別是( , ,0), , ∴ = .,∴ = 且NE與AM不共線.∴NE∥AM. 又∵NE?平面BDE,AM?平面BDE, ∴AM∥平面BDE. (2)由(1)知 = , ∵D( ,0,0),F( , ,1), ∴ =(0, ,1). ∴ · =0. ∴ ⊥ . 同理可證 ⊥ .,又DF∩BF=F,DF?平面BDF,BF?平面BDF, ∴AM⊥平面BDF.,