成才之路 · 數(shù)學(xué),路漫漫其修遠(yuǎn)兮 吾將上下而求索,人教A版 · 選修1-1 1-2,常用邏輯用語,第一章,1.1 命題及其關(guān)系,第一章,1.1.2 四種命題 1.1.3 四種命題間的相互關(guān)系,1.了解四種命題的概念 2了解命題的逆命題，否命題、逆否命題，能寫出一個命題的逆命題、否命題和逆否命題 能利用四種命題間的相互關(guān)系判斷命題的真假,重點：了解命題的逆命題、否命題、逆否命題 難點：分析四種命題的相互關(guān)系以及四種命題的真假之間的關(guān)系,新知導(dǎo)學(xué) 1一般地，對于兩個命題，如果一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和條件，那么我們把這樣的兩個命題叫做_，其中一個命題叫做_，另一個叫做原命題的_,命題的逆命題、否命題、逆否命題,互逆命題,原命題,逆命題,2一般地，對于兩個命題，如果一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的條件的否定和結(jié)論的否定，我們把這樣的兩個命題叫做_，其中一個命題叫做_，另一個叫做原命題的_ 3一般地，對于兩個命題，如果一個命題的條件和結(jié)論恰好是另一個命題的結(jié)論的否定和條件的否定，我們把這樣的兩個命題叫做_，其中一個命題叫做_，另一個叫做原命題的_,互否命題,原命題,否命題,互為逆否命題,原命題,逆否命題,牛刀小試 1觀察下列四個命題： (1)若兩個角是對頂角，則它們相等； (2)若兩個角相等，則它們是對頂角； (3)若兩個角不是對頂角，則它們不相等； (4)若兩個角不相等，則它們不是對頂角,命題(1)與命題(2)(3)(4)的條件和結(jié)論之間分別有什么關(guān)系？ 若(1)為原命題，則(2)為(1)的_命題，(3)為(1)的_命題，(4)為(1)的_命題 若(4)為原命題，則(1)為(4)的_命題，(2)為(4)的_命題，(3)為(4)的_命題 答案 逆 否 逆否 逆否 否 逆,新知導(dǎo)學(xué) 4四種命題的相互關(guān)系,四種命題的關(guān)系及真假判斷,5(1)原命題為真，它的逆命題_為真 (2)原命題為真，它的否命題_為真 (3)原命題為真，它的逆否命題_為真 即互為逆否的命題是等價命題，它們同_同_，同一個命題的逆命題和否命題是一對互為_的命題，它們同_同_,不一定,不一定,一定,真,假,逆否,真,假,牛刀小試 2(2015·山東文)設(shè)mR，命題“若m0，則方程x2xm0有實根”的逆否命題是( ) A若方程x2xm0有實根，則m0 B若方程x2xm0有實根，則m0 C若方程x2xm0沒有實根，則m0 D若方程x2xm0沒有實根，則m0 答案 D 解析 當(dāng)原命題的條件和結(jié)論分別否定并交換時為逆否命題,答案 C,4給出命題：“已知a、b、c、d是實數(shù)，若ab且cd，則acbd”；對原命題、逆命題、否命題、逆否命題而言，其中真命題個數(shù)為( ) A0 B1 C2 D4 答案 A 解析 原命題是假命題，故其逆否命題為假命題，其否命題為假命題，故其逆命題為假命題，故選A,寫出下列命題的逆命題、否命題與逆否命題 (1)負(fù)數(shù)的平方是正數(shù)； (2)正方形的四條邊相等 分析 此題的題設(shè)和結(jié)論不很明顯，因此首先將命題改寫成“若p，則q”的形式，然后再寫出它的逆命題、否命題與逆否命題,命題的四種形式之間的轉(zhuǎn)換,解析 (1)改寫成“若一個數(shù)是負(fù)數(shù)，則它的平方是正數(shù)” 逆命題：若一個數(shù)的平方是正數(shù)，則它是負(fù)數(shù) 否命題：若一個數(shù)不是負(fù)數(shù)，則它的平方不是正數(shù) 逆否命題：若一個數(shù)的平方不是正數(shù)，則它不是負(fù)數(shù),(2)原命題可以寫成：若一個四邊形是正方形，則它的四條邊相等 逆命題：若一個四邊形的四條邊相等，則它是正方形 否命題：若一個四邊形不是正方形，則它的四條邊不相等 逆否命題：若一個四邊形的四條邊不相等，則它不是正方形,方法規(guī)律總結(jié) 關(guān)于原命題的逆命題、否命題和逆否命題的寫法： 首先：把原命題整理成“若p，則q”的形式 其次：(1)“換位”(即交換命題的條件與結(jié)論)得到“若q，則p”，即為逆命題； (2)“換質(zhì)”(即將原命題的條件與結(jié)論分別否定后作為條件和結(jié)論)得到“若非p，則非q”即為否命題； (3)既“換位”又“換質(zhì)”(即把原命題的結(jié)論否定后作為新命題的條件，條件否定后作為新命題的結(jié)論)得到“若非q，則非p”即為逆否命題 關(guān)鍵是分清原命題的條件和結(jié)論，然后按定義來寫,寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題 (1)若x2y20，則x、y全為0. (2)若ab是偶數(shù)，則a、b都是偶數(shù) 解析 (1)逆命題：若x、y全為0，則x2y20； 否命題：若x2y20，則x、y不全為0； 逆否命題：若x、y不全為0，則x2y20. (2)逆命題：若a、b都是偶數(shù)，則ab是偶數(shù)； 否命題：若ab不是偶數(shù)，則a、b不都是偶數(shù)； 逆否命題：若a、b不都是偶數(shù)，則ab不是偶數(shù),寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷真假 (1)若ABA，則AB； (2)垂直于同一條直線的兩直線平行； (3)若ab0，則a0或b0. 分析 找準(zhǔn)原命題的條件和結(jié)論，依照定義寫出另外三種命題,四種命題的關(guān)系及真假判斷,解析 (1)逆命題：若AB，則ABA真命題； 否命題：若ABA，則A B真命題； 逆否命題：若A B，則ABA真命題 (2)逆命題：若兩條直線平行，則它們垂直于同一條直線真命題； 否命題：若兩條直線不垂直于同一條直線，則它們不平行真命題； 逆否命題：若兩條直線互相不平行，則它們不垂直于同一條直線假命題,(3)逆命題：若a0或b0，則ab0.真命題； 否命題：若ab0，則a0且b0.真命題； 逆否命題：若a0，且b0，則ab0.真命題,方法規(guī)律總結(jié) 1.由原命題寫出其他三種命題，關(guān)鍵是要分清原命題的條件與結(jié)論，尤其是寫否命題和逆否命題時，要注意對原命題中條件和結(jié)論的否定，這種否定要從條件和結(jié)論的真假性上進(jìn)行否定，而不是僅僅加上一個“不”字，為此可根據(jù)“互為逆否關(guān)系的命題同真假”進(jìn)行檢驗 2當(dāng)一個命題是否定性命題且不易判斷真假時，可通過判斷其逆否命題的真假以達(dá)到目的,已知一個命題與它的逆命題、否命題、逆否命題，在這四個命題中( ) A真命題個數(shù)一定是奇數(shù) B真命題個數(shù)一定是偶數(shù) C真命題個數(shù)可能是奇數(shù)，也可能是偶數(shù) D以上判斷都不對 答案 B 解析 因為原命題是真命題，則它的逆否命題一定是真命題，一個命題的逆命題是真命題，則它的否命題一定是真命題，故選B,我們在直接證明某一個命題為真命題有困難時，可以通過證明它的逆否命題為真命題，來間接地證明原命題為真命題 證明：已知函數(shù)f(x)是(，)上的增函數(shù)，a、bR，若f(a)f(b)f(a)f(b)，則ab0. 分析 已知函數(shù)f(x)的單調(diào)性，可將自變量的大小與函數(shù)值的大小關(guān)系相互轉(zhuǎn)化，本題中條件較復(fù)雜，而結(jié)論比較簡單，故轉(zhuǎn)化為證明其逆否命題,正難則反，等價轉(zhuǎn)化思想,解析 原命題的逆否命題為“已知函數(shù)f(x)是(，)上的增函數(shù)，a、bR，若ab0，則f(a)f(b)f(a)f(b)” 證明如下： 若ab0，則ab，ba， 又f(x)在(，)上是增函數(shù)， f(a)f(b)，f(b)f(a) f(a)f(b)f(a)f(b)， 即逆否命題為真命題 原命題為真命題,有下列四個命題： (1)“若xy0，則x、y互為相反數(shù)”的否命題； (2)“對頂角相等”的逆命題； (3)“若x3，則x2x60”的否命題； (4)“直角三角形的兩銳角互為余角”的逆命題 其中真命題的個數(shù)是( ) A0 B1 C2 D3 答案 B,解析 (1)“若xy0，則x與y不是相反數(shù)”是真命題 (2)“對頂角相等”的逆命題是“相等的角是對頂角”是假命題 (3)“若x3，則x2x60”，解不等式x2x60可得2x3，當(dāng)x4時，x3而x2x660，故是假命題 (4)“若一個三角形的兩銳角互為余角，則這個三角形是直角三角形”，真命題 點評 本題的解法中運用了舉反例的辦法，如(2)、(3)的解法舉出一個反例說明一個命題不正確是以后經(jīng)常用到的方法,分清命題的條件與結(jié)論 寫出命題“已知a、b、c、d是實數(shù)，如果ab，cd，則acbd”的逆命題、否命題，并判斷它們的真假 錯解 逆命題：如果acbd，則a、b、c、d是實數(shù)，且ab，cd.假命題 否命題：如果a、b、c、d不是實數(shù)，ab，cd，則acbd.假命題,辨析 上述解法沒有弄清命題的條件，將大前提“a、b、c、d是實數(shù)”充當(dāng)了條件 正解 逆命題：已知a、b、c、d是實數(shù)，如果acbd，則ab，cd.假命題 否命題：已知a、b、c、d是實數(shù)，如果ab，或cd，則acbd.假命題,