成才之路 · 數(shù)學(xué),路漫漫其修遠兮 吾將上下而求索,北師大版 · 必修1,集 合,第一章,第一章,§3 集合的基本運算,3.2 全集與補集,如果你所在班級共有60名同學(xué)，要求你從中選出56名同學(xué)參加體操比賽，你如何完成這件事呢？ 你不可能直接去找張三、李四、王五、，一一確定出誰去參加吧？如果按這種方法做這件事情，可就麻煩多了若確定出4位不參加比賽的同學(xué)，剩下的56名同學(xué)都參加，問題可就簡單多了不要小看這個問題的解決方法，它可是這節(jié)內(nèi)容(補集)的現(xiàn)實基礎(chǔ).,1.全集 在研究某些集合的時候，這些集合往往是_的子集，這個_叫作全集，用符號_表示,某個給定集合,給定的集合,U,2補集,x|xU，且xA,所有不屬于A的元素,U,A,1.(2014·湖北高考)已知全集U1,2,3,4,5,6,7，集合A1,3,5,6，則 UA( ) A1,3,5,6 B2,3,7 C2,4,7 D2,5,7 答案 C 解析 U1,2,3,4,5,6,7，A1,3,5,6， UA2,4,7,2(2015·天津高考)已知全集U1,2,3,4,5,6，集合A2,3,5，集合B1,3,4,6，則集合A(UB)( ) A3 B2,5 C1,4,6 D2,3,5 答案 B 解析 A2,3,5，UB2,5，則A(UB)2,5，故選B.,3集合AA|1x2，Bx|x1 Bx|x1 Cx|1x2 Dx|1x2 答案 D 解析 Bx|x1，Ax|1x2， RBx|x1， A(RB)x|1x2,4設(shè)全集Ux|x9且xN，A2,4,6，B0,1,2,3,4,5,6，則UA_，UB_，BA_. 答案 0,1,3,5,7,8 7,8 BA0,1,3,5 解析 由題意得U0,1,2,3,4,5,6,7,8，用Venn圖表示出U，A，B，易得UA0,1,3,5,7,8，UB7,8，BA0,1,3,5,5已知集合A3,4，m，集合B3,4，若AB5，則實數(shù)m_. 答案 5 解析 由補集的定義知5B，且5A，故m5.,已知全集U，集合A1,3,5,7，UA2,4,6，UB1,4,6，求集合B. 思路分析 先由集合A與UA求出全集，再由補集定義求出集合B，或利用Venn圖求出集合B. 規(guī)范解答 解法1：A1,3,5,7，UA2,4,6，U1,2,3,4,5,6,7， 又UB1,4,6，B2,3,5,7 解法2：借助Venn圖，如圖所示， 由圖可知B2,3,5,7,求補集的簡單運算,規(guī)律總結(jié) 1.求補集的兩個步驟 (1)明確全集：根據(jù)題中所研究的對象，確定全集U. (2)借助補集定義：利用UAx|xU，且xA求A的補集 2根據(jù)補集定義，借助Venn圖，可直觀地求出全集，此類問題，當(dāng)集合中元素個數(shù)較少時，可借助Venn圖；當(dāng)集合中元素?zé)o限時，可借助數(shù)軸，利用數(shù)軸分析法求解,已知A0,1,2，UA3，2，1，UB3，2,0，用列舉法寫出集合B. 解析 A0,1,2， UA3，2，1， U3，2，1,0,1,2 又UB3，2,0， B1,1,2.,集合的交、并、補的綜合運算,設(shè)全集為R，Ax|3x7，Bx|2x10，求R(AB)及(RA)B.,規(guī)律總結(jié) 1.進行集合的交、并、補運算時應(yīng)緊扣定義，適當(dāng)借助Venn圖及數(shù)軸等工具 2交、并、補運算時常用的性質(zhì) (1)(UA)(UB)U(AB) (2)(UA)(UB)U(AB),設(shè)全集UR，Ax|x2px120，Bx|x25xq0，若(UA)B2，A(UB)4，求AB. 解析 因為(UA)B2， 所以2B，且2A. 因為A(UB)4，所以4A，且4B. 所以424p120,225×2q0， 所以p7，q6. 此時A3,4，B2,3，所以AB2,3,4.,利用Venn圖進行集合運算,集合Sx|x10，且xN，AS，BS，且AB4,5，(SB)A1,2,3，(SA)(SB)6,7,8，求集合A和B. 思路分析 本題可用直接法求解，但不易求出結(jié)果，用Venn圖法較為簡單 規(guī)范解答 解法1：(1)因為AB4,5，所以4A,5A,4B,5B. (2)因為(SB)A1,2,3，所以1A,2A,3A,1B,2B, 3B.,(3)因為(SA)(SB)6,7,8，所以6,7,8既不屬于A，也不屬于B. 因為Sx|x10，且xN，所以9,10不知所屬 由(2)(3)可知，9,10均不屬于SB，所以9B,10B. 綜上可得A1,2,3,4,5，B4,5,9,10 解法2：如圖所示 因為AB4,5， 所以將4,5寫在AB中 因為(SB)A1,2,3，所以將1,2,3寫在A中,因為(SB)(SA)6,7,8， 所以將6,7,8寫在S中A，B之外 因為(SB)A與(SB)(SA)中均無9,10，所以9,10在B中 故A1,2,3,4,5，B4,5,9,10 規(guī)律總結(jié) 此題解答中的解法2的巧妙之處就是運用數(shù)形結(jié)合的方法求解，即利用Venn圖將已知條件在圖中標(biāo)出，并從圖中找出所求，直觀形象，一目了然，省去解法一中的推理,設(shè)全集UxZ|2x4，集合S與T都是U的子集，ST2，(US)T1，(US)(UT)1,3，則有( ) A0S且0T B0S但0T C0S但0T D0S且0T 答案 B 解析 由已知，得U1,0,1,2,3， ST2，2S,2T. (US)T1，1T，1S.,利用補集思想求參數(shù)范圍,已知集合Ax|x22(m3)x3m50，Bx|x0，若AB，求實數(shù)m的取值范圍 思路分析 直接求解，情況較多，十分麻煩，這時我們從求解問題的反面來考慮，就比較簡單 規(guī)范解答 設(shè)全集Um|4(m3)24(3m5)0m|m2或m7，若方程x22(m3)x3m50的兩根均為非正，則,規(guī)律總結(jié) 本題運用的“正難則反”的解題策略，正是運用了“補集思想”對于難于從正面入手的數(shù)學(xué)問題，在解題時，調(diào)整思路，從問題的反面入手，探求已知和未知的關(guān)系，這時能起到化難為易、化隱為顯，從而將問題解決,若集合AxR|x2xm0至少含有一個元素，求m的取值范圍 分析 解答本題可通過14m0，或14m0來求根的情況，亦可利用補集的思想，先求14m0，然后取其補集,若集合Ax|1x1，當(dāng)全集U分別取下列集合時，求UA. (1)UR；(2)Ux|x2；(3)Ux|4x1 錯解 三種都求為UAx|x1或x1 辨析 給定集合A，如果不指定全集，是不能求補集的，本題應(yīng)該利用補集定義、結(jié)合數(shù)軸求解,正解 (1)UR，Ax|1x1， UAx|x1或x1 (2)Ux|x2，Ax|1x1， UAx|x1或1x2 (3)Ux|4x1，Ax|1x1， UAx|4x1或x1 規(guī)律總結(jié) 全集主要在與補集有關(guān)問題中用到，要注意它是求補集的條件，研究補集問題需先確定全集,