成才之路 · 數(shù)學(xué),路漫漫其修遠(yuǎn)兮 吾將上下而求索,北師大版 · 選修2-1,常用邏輯用語(yǔ),第一章,1.3 全稱(chēng)量詞與存在量詞,第一章,1全稱(chēng)量詞和全稱(chēng)命題 (1)全稱(chēng)量詞：短語(yǔ)“所有的”“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做_，并用符號(hào)“_”表示 (2)全稱(chēng)命題：含有_的命題叫做全稱(chēng)命題全稱(chēng)命題“對(duì)M中任意一個(gè)x，有p(x)成立”可用符號(hào)簡(jiǎn)記為_(kāi)，讀作“對(duì)任意x屬于M，有p(x)成立”,全稱(chēng)量詞,全稱(chēng)量詞,xM，p(x),2存在量詞和特稱(chēng)命題 (1)存在量詞：短語(yǔ)“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做_，并用符號(hào)“_”表示 (2)特稱(chēng)命題：含有_的命題叫做特稱(chēng)命題特稱(chēng)命題“存在M中的一個(gè)x0，使p(x0)成立”可用符號(hào)簡(jiǎn)記為_(kāi)，讀作“存在M中的一個(gè)元素x0，使p(x0)成立” 3全稱(chēng)命題的否定是_命題；特稱(chēng)命題的否定是_命題,存在量詞,存在量詞,x0M，p(x0),特稱(chēng),全稱(chēng),1必須明確存在量詞和全稱(chēng)量詞的含義及表示符號(hào) 明確全稱(chēng)命題與特稱(chēng)命題的含義 “任意xM，p(x)”通俗說(shuō)就是對(duì)集合M中所有元素x，都有p(x)成立；“存在xM，q(x)”通俗說(shuō)存在集合M中的元素x，使q(x)成立,2全稱(chēng)命題與特稱(chēng)命題的否定 全稱(chēng)命題的否定是特稱(chēng)命題，特稱(chēng)命題的否定是全稱(chēng)命題，即它們互為否定形式在寫(xiě)出兩種命題的否定時(shí)，要掌握形式上的兩個(gè)變化：全稱(chēng)量詞與特稱(chēng)量詞的變化，條件p(x)與其否定的變化 要判定一個(gè)特稱(chēng)命題為真，只要在給定集合中找到一個(gè)元素x，使命題p(x)為真；否則命題為假，要判定一個(gè)全稱(chēng)命題為真，必須對(duì)給定的集合中每一個(gè)元素x，p(x)都為真；但要判定一個(gè)全稱(chēng)命題為假，只要在給定的集合內(nèi)找到一個(gè)x0，使p(x0)為假即可,對(duì)于含有一個(gè)量詞的命題的否定，先對(duì)量詞進(jìn)行變化，全稱(chēng)量詞變?yōu)榇嬖诹吭~，存在量詞變?yōu)槿Q(chēng)量詞，然后把結(jié)論p(x)否定,3同一個(gè)全稱(chēng)命題或特稱(chēng)命題，由于自然語(yǔ)言的不同，可以有不同的表述方法，在應(yīng)用中可以靈活選擇.,4.否定命題時(shí)，要注意特殊的詞，如“全”“都”等常見(jiàn)關(guān)鍵詞及其否定形式如下表.,1命題“所有能被2整除的整數(shù)都是偶數(shù)”的否定是( ) A所有不能被2整除的整數(shù)都是偶數(shù) B所有能被2整除的整數(shù)都不是偶數(shù) C存在一個(gè)不能被2整除的整數(shù)是偶數(shù) D存在一個(gè)能被2整除的整數(shù)不是偶數(shù) 答案 D 解析 全稱(chēng)命題的否定：所有變?yōu)榇嬖?，且否定結(jié)論 所以原命題的否定是：存在一個(gè)能被2整除的整數(shù)不是偶數(shù),答案 C 解析 “任意”改為“存在”，“”改為“”,3下列命題為特稱(chēng)命題的是( ) A偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng) B正四棱柱都是平行六面體 C不相交的兩條直線是平行直線 D存在實(shí)數(shù)大于等于3 答案 D,4下列命題中的假命題是( ) Ax0R，logx00 Bx0R，tanx01 CxR，x30 DxR,2x0 答案 C,6命題“某些平行四邊形是矩形”的否定是( ) A某些平行四邊形不是矩形 B任何平行四邊形是矩形 C每一個(gè)平行四邊形都不是矩形 D以上都不對(duì) 答案 C 解析 特稱(chēng)命題的否定是把存在量詞變?yōu)槿Q(chēng)量詞，然后否定結(jié)論,判斷下列命題是全稱(chēng)命題還是特稱(chēng)命題，并判斷真假 (1)對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有x230； (2)每一個(gè)指數(shù)函數(shù)都是增函數(shù)； (3)至少有一個(gè)自然數(shù)小于1； (4)存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，使得x22x20.,全稱(chēng)命題與特稱(chēng)命題的判斷,總結(jié)反思 (1)要確定一個(gè)全稱(chēng)命題是真命題，必須對(duì)所有元素驗(yàn)證，即給出嚴(yán)格的證明；要確定一個(gè)全稱(chēng)命題是假命題，只需舉出一個(gè)反例 (2)要確定一個(gè)特稱(chēng)命題是真命題，只需找到一個(gè)滿(mǎn)足要求的特例；要確定一個(gè)特稱(chēng)命題是假命題，需要嚴(yán)格證明對(duì)所有元素均不符合要求,判斷下列命題是全稱(chēng)命題還是特稱(chēng)命題，并判斷其真假 (1)對(duì)數(shù)函數(shù)都是單調(diào)函數(shù)； (2)至少有一個(gè)整數(shù)，它既能被2整除，又能被5整除； (3)任意xx|x是無(wú)理數(shù)，x2是無(wú)理數(shù)； (4)存在xx|xZ，log2x0.,寫(xiě)出下列全稱(chēng)命題的否定： (1)p：所有能被3整除的整數(shù)都是奇數(shù)； (2)p：每一個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓； (3)p：對(duì)任意的xZ，x2的個(gè)位數(shù)字不等于3. 分析 全稱(chēng)命題的否定，其模式是固定的，即相應(yīng)的全稱(chēng)量詞變?yōu)榇嬖诹吭~，后面進(jìn)行否定,全稱(chēng)命題的否定,總結(jié)反思 全稱(chēng)命題的否定是特稱(chēng)命題，對(duì)省略全稱(chēng)量詞的全稱(chēng)命題可補(bǔ)上量詞后進(jìn)行否定,判斷下列命題是否為全稱(chēng)命題，并寫(xiě)出命題的否定： (1)所有的矩形都是平行四邊形； (2)數(shù)列1,2,3,4,5中的每一項(xiàng)都是偶數(shù)； (3)所有的a，bR，方程axb都有惟一解； (4)可以被5整除的整數(shù)，末位是0.,解析 (1)是全稱(chēng)命題，其否定：存在一個(gè)矩形，不是平行四邊形 (2)是全稱(chēng)命題，其否定：數(shù)列1,2,3,4,5中至少有一項(xiàng)不是偶數(shù) (3)是全稱(chēng)命題，其否定：存在a、bR，使方程axb的解不惟一 (4)是全稱(chēng)命題，其否定：存在被5整除的整數(shù)，末位不是0.,分析 特稱(chēng)命題的否定是全稱(chēng)命題,特稱(chēng)命題的否定,解析 (1)p的否定：所有的xR，x22x20. (2)p的否定：所有的三角形都不是等邊三角形 (3)p的否定：每一個(gè)素?cái)?shù)都不含三個(gè)正因數(shù),寫(xiě)出下列命題的否定 (1)存在x1，使x22x30. (2)p：有些棱臺(tái)的底面是梯形； (3)p：有些平行四邊形不是矩形 解析 (1)p的否定：所有的x1，x22x30.(假) (2)p的否定：所有的棱臺(tái)的底面都不是梯形 (3)p的否定：所有的平行四邊形都是矩形,對(duì)于滿(mǎn)足0p4的一切實(shí)數(shù)，不等式x2px4xp3恒成立，試求x的取值范圍 分析 本題看上去是一個(gè)不等式的問(wèn)題，但是經(jīng)過(guò)等價(jià)轉(zhuǎn)化，確定適當(dāng)?shù)淖兞亢蛥?shù)，把它轉(zhuǎn)化為一個(gè)簡(jiǎn)單的一次函數(shù)，并借助函數(shù)圖像建立一個(gè)關(guān)于x的不等式組，從而求得x的取值范圍,利用全稱(chēng)命題與特稱(chēng)命題求參數(shù)的取值范圍,總結(jié)反思 全稱(chēng)命題的考查在試題中經(jīng)常出現(xiàn)，如：“恒成立”問(wèn)題就屬于這一題型其命題方向往往是求式子中某個(gè)參數(shù)的取值范圍而存在性命題常常以適合某種條件的結(jié)論“存在”、“不存在”、“是否存在”，求出相應(yīng)的參數(shù)的取值范圍解題時(shí)的依據(jù)是：“假設(shè)存在，利用條件進(jìn)行推理論證，若導(dǎo)出合理結(jié)論，則存在性隨之解決；若導(dǎo)致矛盾，則可否定存在性”,命題：“不等式x22yy22ya”恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_ 答案 2，) 解析 將命題中的不等式轉(zhuǎn)化為(x1)2(y1)22a恒成立 當(dāng)xR，yR時(shí)，(x1)2(y1)2的最小值為0. 02a，即a2.a的取值范圍是2，) 總結(jié)反思 本題中的不等式是一個(gè)恒成立的不等式，可將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求最小值的問(wèn)題，從而使問(wèn)題迎刃而解,誤解 p的否定：方程x25x60有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 正解 p的否定：方程x25x60沒(méi)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 迷津點(diǎn)撥 命題p的結(jié)論為“有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根”，所以“p的否定”應(yīng)否定“有”，而不能否定“相等”,迷津點(diǎn)撥 該命題是特稱(chēng)命題，其否定是全稱(chēng)命題，但誤解(1)中得到的“p的否定”仍是特稱(chēng)命題，顯然只對(duì)結(jié)論進(jìn)行了否定，而沒(méi)有對(duì)存在量詞進(jìn)行否定；誤解(2)中只對(duì)存在量詞進(jìn)行了否定，而沒(méi)有對(duì)結(jié)論進(jìn)行否定,誤解 (1)不相交的兩條直線不是平行直線； (2)奇函數(shù)的圖象不關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng) 正解 (1)存在不相交的兩條直線不是平行直線； (2)存在一個(gè)奇函數(shù)的圖象不關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),迷津點(diǎn)撥 以上錯(cuò)誤解答在于沒(méi)有看出這兩個(gè)命題都是全稱(chēng)命題對(duì)于一些量詞不明顯或不含有量詞，但其實(shí)質(zhì)只是在文字?jǐn)⑹錾鲜÷粤四承┝吭~的命題，要特別引起注意,