成才之路 · 數(shù)學(xué),路漫漫其修遠(yuǎn)兮 吾將上下而求索,北師大版 · 選修2-1,常用邏輯用語(yǔ),第一章,1.4 邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”“或”“非”,第一章,1“且”“或”命題與真假判定,pq,p且q,真命題,假命題,pq,p或q,真命題,假命題,2.命題p的否定¬p (1)“非”命題的表示及讀法 對(duì)命題p加以否定，就得到一個(gè)新的命題，記作“_”，讀作“_”或“p的否定” (2)含有“非”的命題的真假判定,¬p,非p,假,真,1邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”與自然語(yǔ)言中的“并且”、“和”相當(dāng)“或”與自然語(yǔ)言中的“或者”、“可能”相當(dāng)，但自然語(yǔ)言中的“或者”有兩種用法：一是“不可兼”的“或”；二是“可兼”的“或”，而我們僅研究可兼“或”在數(shù)學(xué)中的含義“非”與日常生活中的“不是”、“全盤(pán)否定”、“問(wèn)題的反面”相近而“非”命題，就是對(duì)命題的否定 2在判斷三種形式的新命題的真假時(shí)，要熟練運(yùn)用“至少”、“最多”、“同時(shí)”、以及“至少有一個(gè)是(不是)”、“最多有一個(gè)是(不是)”、“都是(不是)”、“不都是”這些詞語(yǔ),3通過(guò)實(shí)例去理解“且”、“或”、“非”的含義 對(duì)“且”的理解，可聯(lián)想“交集”的概念A(yù)Bx|xA，且xB中的“且”，邏輯聯(lián)結(jié)詞中的“且”的含義與“交集”中的“且”的含義是一致的 對(duì)“或”的理解，可聯(lián)想“并集”的概念A(yù)Bx|xA，或xB中的“或”，邏輯聯(lián)結(jié)詞中的“或”的含義與“并集”中的“或”的含義是一致的 對(duì)“非”的理解，可聯(lián)想“補(bǔ)集”的概念，若將命題p對(duì)應(yīng)集合P，則命題非p就對(duì)應(yīng)集合P在全集U中的補(bǔ)集UP.,4在判斷復(fù)合命題真假時(shí)，先確定復(fù)合命題的構(gòu)成形成，同時(shí)要掌握以下規(guī)律： (1)“非p”形式的復(fù)合命題的真假與命題p的真假相反 (2)“p或q”形式的復(fù)合命題只有當(dāng)命題p與q同時(shí)為假時(shí)才為假，否則為真 (3)“p且q”形式的復(fù)合命題只有當(dāng)命題 p與q同時(shí)為真時(shí)才真，否則為假,真值表,1命題“平行四邊形的對(duì)角線相等且互相平分”是( ) A“p或q”形式的命題 B“p且q”形式的命題 C“非p”形式的命題 D以上均不正確 答案 B 解析 相等且平分包含兩個(gè)同時(shí)成立的結(jié)論，所以它是p且q形式的命題,2如果命題“pq”與命題“¬p”都是真命題，那么( ) A命題p不一定是假命題 B命題q一定為真命題 C命題q不一定是真命題 D命題p與命題q的真假相同 答案 B 解析 ¬p為真命題，所以p為假命題，又pq為真命題，q為真命題,3“x不大于y”是指( ) Axy Bxy或xy Cxy Dxy且xy 答案 B 解析 “不大于”是指“小于或等于”,答案 B 解析 由題意知，p假q真，只有B滿足,5命題p：a2b20(a、bR)，命題q：a2b20(a、bR)，下列結(jié)論正確的是( ) A“pq”為真 B“pq”為真 C“¬p”為假 D“¬q”為真 答案 A 解析 因?yàn)閜為假q為真，所以“pq”為假；“pq”為真；“¬p”為真；“¬q”為假,將下列命題用“且”聯(lián)結(jié)成新命題，并判斷它們的真假： (1)p：菱形的對(duì)角線互相垂直，q：菱形的對(duì)角線互相平分； (2)p：35是15的倍數(shù)，q：35是7的倍數(shù) 解析 (1)pq：菱形的對(duì)角線互相垂直且平分，由于p是真命題，q是真命題，所以pq是真命題 (2)pq：35是15的倍數(shù)且是7的倍數(shù)，由于p是假命題，q是真命題，所以pq是假命題,pq命題,總結(jié)反思 判斷pq形式的命題的真假，首先判斷命題p與命題q的真假，然后根據(jù)真值表“一假則假，全真則真”進(jìn)行判斷,指出下列命題的構(gòu)成形式及構(gòu)成它的命題p，q，并判斷它們的真假 (1)(n1)·n·(n1)(nN*)既能被2整除，也能被3整除； (2)函數(shù)yx2x2的圖象與x軸沒(méi)有公共點(diǎn)，并且不等式x2x20無(wú)解,解析 (1)此命題為“p且q”形式的命題，其中p：(n1)·n·(n1)(nN*)能被2整除；q：(n1)·n·(n1)(nN*)能被3整除，其中p為真命題，q為真命題，所以“pq”為真命題 (2)此命題為“p且q”形式的命題，其中，p：函數(shù)yx2x2的圖象與x軸沒(méi)有公共點(diǎn)；q：不等式x2x20無(wú)解因?yàn)閜為真命題，q也為真命題，所以“p且q”為真命題,分別指出下列命題的構(gòu)成形式及命題的真假： (1)相似三角形的面積相等或?qū)?yīng)角相等； (2)集合A是AB的子集或是AB的子集； (3)周長(zhǎng)相等的兩個(gè)三角形全等或面積相等的兩個(gè)三角形全等 解析 (1)這個(gè)命題是“pq”的形式，其中p：相似三角形的面積相等；q：相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等 因?yàn)閜假、q真，所以pq為真命題,pq命題,(2)命題“集合A是AB的子集或是AB的子集”是由命題： p：集合A是AB的子集； q：集合A是AB的子集 用“或”聯(lián)結(jié)后構(gòu)成的新命題，即pq. 因?yàn)槊}q是真命題，所以命題pq是真命題 (3)命題“周長(zhǎng)相等的兩個(gè)三角形全等或面積相等的兩個(gè)三角形全等”是由命題： p：周長(zhǎng)相等的兩個(gè)三角形全等； q：面積相等的兩個(gè)三角形全等 用“或”聯(lián)結(jié)后構(gòu)成的新命題，即pq. 因?yàn)槊}p，q都是假命題，所以命題pq是假命題,總結(jié)反思 為判斷pq形式命題的真假，首先判斷命題p與命題q的真假，只要有一個(gè)為真，即可判定pq形式命題為真，而p與q均為假命題時(shí)，命題pq為假命題，可簡(jiǎn)記為有真則真，全假為假,對(duì)下列各組命題，用邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”構(gòu)造新命題，并判斷它們的真假 (1)p：正數(shù)的平方大于0，q：負(fù)數(shù)的平方大于0； (2)p：1是方程x24x30的解，q：3是方程x24x30的解 (3)p：是整數(shù)，q：是分?jǐn)?shù),解析 (1)pq：“正數(shù)或負(fù)數(shù)的平方大于0”，即“非零實(shí)數(shù)的平方大于0”，是真命題 (2)pq：1或3是方程x24x30的解，是真命題 (3)pq：“是整數(shù)或分?jǐn)?shù)”，即“是有理數(shù)”，是假命題,¬p命題,總結(jié)反思 ¬p是對(duì)命題p的全盤(pán)否定，其命題的真假與原命相反對(duì)一些詞語(yǔ)的正確否定是寫(xiě)¬p的關(guān)鍵，如“都”的否定是“不都”，“至多兩個(gè)”的反面是“至少三個(gè)”、“pq”的否定是“¬p¬q”等,寫(xiě)出下列命題的否定形式 (1)面積相等的三角形都是全等三角形； (2)若m2n20，則實(shí)數(shù)m、n全為零； (3)若xy0，則x0或y0. 解析 (1)面積相等的三角形不都是全等三角形 (2)m、n滿足m2n20，但實(shí)數(shù)m、n不全為零 (3)xy0，但x0且y0.,(2013·臨沂高二檢測(cè))已知p：方程x2mx10有兩個(gè)不相等的負(fù)根；q：方程4x24(m2)x10無(wú)實(shí)根，若“p或q”為真，“p且q”為假，求m的取值圍 分析 此條件涉及方程的根的問(wèn)題，可考慮用判別式及根與系數(shù)的關(guān)系求解 “p或q”、“p且q”的真假已知，故可根據(jù)含聯(lián)結(jié)詞的命題真假的判斷規(guī)律，判斷出p、q的真假,用邏輯聯(lián)結(jié)詞求參數(shù)的范圍,總結(jié)反思 1.根的分布 已知方程ax2bxc0(a0)根的情況求參數(shù)的范圍時(shí)，一般要從兩個(gè)方面分析：(1)判別式(2)根與系數(shù)的關(guān)系，如本例利用x1x20的情況 2重視命題真假的判斷規(guī)律 對(duì)于含有聯(lián)結(jié)詞的命題的真假的判斷，要根據(jù)“p且q”、“p或q”的真假判斷p、q的真假，如本例就是由“p或q”為真，“p且q”為假，判斷出p、q一真一假 3分類討論的意識(shí) 在解決問(wèn)題時(shí)，當(dāng)出現(xiàn)不同情況時(shí)要注意分類討論,若命題p：函數(shù)f(x)x22(a1)x2在區(qū)間(，4上是減函數(shù)，寫(xiě)出非p.若非p是假命題，則a的取值范圍是什么？ 分析 利用二次函數(shù)圖像的對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，結(jié)合p與非p的真假相反來(lái)求解 解析 非p：函數(shù)f(x)x22(a1)x2在區(qū)間(，4上不是減函數(shù) 因?yàn)榉莗為假命題，所以p為真命題 故(a1)4. 所以a3，即所求a的取值范圍是(，3,正解 (1)pq：方程(x11)(x2)0的根是x11或方程(x11)(x2)0的根是x2. (2)pq：四條邊相等的四邊形是正方形且四個(gè)角相等的四邊形是正方形 迷津點(diǎn)撥 (1)(2)兩題中p，q都是假命題，所以“pq”，“pq”也都應(yīng)是假命題而上述解答中寫(xiě)出的兩命題卻都是真命題錯(cuò)誤原因是：(1)只聯(lián)結(jié)了兩個(gè)命題的結(jié)論； (2)只聯(lián)結(jié)了兩個(gè)命題的條件,