第二章 隨機(jī)變量及其分布 2.1 離散型隨機(jī)變量及其分布列 2.1.1 離散型隨機(jī)變量,1.隨機(jī)變量 (1)定義:在一個對應(yīng)關(guān)系下,隨著_變化而變化的量稱 為隨機(jī)變量. (2)表示:隨機(jī)變量常用字母_等表示. 2.離散型隨機(jī)變量 如果隨機(jī)變量X的所有可能的取值都能_,則稱X為 離散型隨機(jī)變量.,試驗結(jié)果,X,Y,一一列舉出來,1.判一判(正確的打“”,錯誤的打“×”) (1)離散型隨機(jī)變量的取值是任意的實數(shù). ( ) (2)隨機(jī)變量的取值可以是有限個,也可以是無限個. ( ) (3)離散型隨機(jī)變量是指某一區(qū)間內(nèi)的任意值. ( ),【解析】(1)錯誤.離散型隨機(jī)變量的取值是指試驗的結(jié)果對應(yīng)的實數(shù). (2)正確.隨機(jī)變量的取值可以是有限個,如取值為1,2,n;也可以是無限個,如1,2,n,. (3)錯誤.離散型隨機(jī)變量的取值都能一一列出,不可以是某一區(qū)間內(nèi)的任意值. 答案:(1)× (2) (3)×,2.做一做(請把正確的答案寫在橫線上) (1)在考試中,需回答三個問題,考試規(guī)則規(guī)定:每題回答正確得100分,回答不正確得-100分,則這名同學(xué)回答這三個問題的總得分的所有可能取值是 . (2)同時拋擲5枚硬幣,得到硬幣反面向上的個數(shù)為,則的所有可能取值的集合為 . (3)在8件產(chǎn)品中,有3件次品,5件正品,從中任取一件取到次品就停止,抽取次數(shù)為X,則X=3表示的試驗是 .,【解析】(1)可能有回答全對,兩對一錯,兩錯一對,全錯四種結(jié)果,相應(yīng)得分為300分,100分,-100分,-300分. 答案:300,100,-100,-300 (2)當(dāng)硬幣全部為正面向上時,=0,硬幣反面向上的個數(shù)還可能有1個,2個,3個,4個,也可能都反面向上,即5個. 答案:0,1,2,3,4,5 (3)由隨機(jī)試驗可知X=3表示抽取3次,前兩次均是正品,第3次是次品. 答案:共抽取3次,前兩次均是正品,第3次是次品,【要點探究】 知識點 隨機(jī)變量及離散型隨機(jī)變量 1.對隨機(jī)變量的兩點認(rèn)識 (1)隨機(jī)變量是用來表示不同試驗結(jié)果的量.,(2)試驗結(jié)果和實數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系產(chǎn)生了隨機(jī)變量,隨機(jī)變量每取一個確定的值對應(yīng)著試驗的不同結(jié)果,試驗的結(jié)果對應(yīng)著隨機(jī)變量的值,即隨機(jī)變量的取值實質(zhì)上是試驗結(jié)果所對應(yīng)的數(shù).但這些數(shù)是預(yù)先知道的可能值,而不知道究竟是哪一個值,這便是“隨機(jī)”的本源.,2.離散型隨機(jī)變量的特征 (1)可用數(shù)值表示. (2)試驗之前可以判斷其出現(xiàn)的所有值. (3)在試驗之前不能確定取何值. (4)試驗結(jié)果能一一列出.,【微思考】 (1)隨機(jī)變量是特殊的函數(shù)嗎? 提示:隨機(jī)變量是把試驗結(jié)果映射為實數(shù),而函數(shù)是定義在兩個非空數(shù)集之上的,因此隨機(jī)變量應(yīng)為特殊的映射,而非函數(shù). (2)隨機(jī)變量的判斷依據(jù)是什么? 提示:隨機(jī)變量的判斷依據(jù)是變量的取值是否具有可變性.,【即時練】 判斷下列各個量,哪些是隨機(jī)變量,哪些不是隨機(jī)變量,并說明理由. (1)北京國際機(jī)場候機(jī)廳中2015年5月1日的旅客數(shù)量. (2)2015年5月1日到10月1日期間某城市所查酒駕的人數(shù). (3)2015年6月1日濟(jì)南到北京的某次動車到北京站的時間. (4)體積為1000cm3的球半徑長.,【解析】(1)旅客人數(shù)可能是0,1,2,出現(xiàn)哪一個結(jié)果是隨機(jī)的,因此是隨機(jī)變量. (2)所查酒駕的人數(shù)可能是0,1,2,出現(xiàn)哪一個結(jié)果是隨機(jī)的,因此是隨機(jī)變量. (3)動車到達(dá)的時間可在某一區(qū)間內(nèi)任取一值,是隨機(jī)的,因此是隨機(jī)變量. (4)球的體積為1000cm3時,球的半徑為定值,不是隨機(jī)變量.,【題型示范】 類型一 離散型隨機(jī)變量的判定 【典例1】 (1)下列變量中,不是離散型隨機(jī)變量的是 ( ) A.從5張已編號的卡片(從1號到5號)中任取一張,被取出的號數(shù) B.連續(xù)不斷射擊,首次命中目標(biāo)所需要的射擊次數(shù) C.某工廠加工的某種鋼管內(nèi)徑與規(guī)定的內(nèi)徑尺寸之差1 D.電話號碼“110”每分鐘被呼叫的次數(shù)1,(2)指出下列隨機(jī)變量是否是離散型隨機(jī)變量,并說明理由. 湖南矮寨大橋橋面一側(cè)每隔30米有一路燈,將所有路燈進(jìn)行編號,隨機(jī)選某一路燈,其編號X; 在一次數(shù)學(xué)競賽中,設(shè)一、二、三等獎,小明同學(xué)參加競賽獲得的獎次X; 一天內(nèi)氣溫的變化值X.,【解題探究】1.題(1)A項中對應(yīng)的試驗結(jié)果是什么? 2.判斷離散型隨機(jī)變量的關(guān)鍵是什么? 【探究提示】1.可能的試驗結(jié)果是1,2,3,4,5. 2.關(guān)鍵是判斷離散型隨機(jī)變量的所有取值是否可以一一列出.,【自主解答】(1)選C.從5張已編號的卡片(從1號到5號)中任取一張,被取出的號數(shù)的可能取值為1,2,3,4,5,故A是離散型隨機(jī)變量;連續(xù)不斷射擊,首次命中目標(biāo)所需要的射擊次數(shù)的可能取值為1,2,3,4,5,故B是離散型隨機(jī)變量;某工廠加工的某種鋼管內(nèi)徑與規(guī)定的內(nèi)徑尺寸之差1,其取值不能夠一一列出,故C不是離散型隨機(jī)變量;電話號碼“110”每分鐘被呼叫的次數(shù)1的可能取值為0,1,2,3,4,5,故D是離散型隨機(jī)變量.,(2)橋面上的路燈是可數(shù)的,編號X可以一一列出,是離散型隨機(jī)變量; 小明獲獎等次X可以一一列出,是離散型隨機(jī)變量; 一天內(nèi)的氣溫變化值X,可以在某區(qū)間內(nèi)連續(xù)取值,不能一一列出,不是離散型隨機(jī)變量.,【方法技巧】判斷離散型隨機(jī)變量的方法 判斷一個隨機(jī)變量是否是離散型隨機(jī)變量的關(guān)鍵是判斷隨機(jī)變量的所有取值是否可以一一列出,具體方法如下: (1)明確隨機(jī)試驗的所有可能結(jié)果. (2)將隨機(jī)試驗的結(jié)果數(shù)量化. (3)確定試驗結(jié)果所對應(yīng)的實數(shù)是否可以一一列出,如能一一列出,則該隨機(jī)變量是離散型隨機(jī)變量,否則不是.,【變式訓(xùn)練】一個袋中裝有5個白球和5個黑球,從中任取3個,其中所含白球的個數(shù)為. (1)列表說明可能出現(xiàn)的結(jié)果與對應(yīng)的的值. (2)若規(guī)定抽取的3個球中,每抽到一個白球加5分,抽到黑球不加分,且最后結(jié)果都加上6分,求最終得分的可能取值,并判定是否為離散型隨機(jī)變量.,【解析】(1)列表如下: (2)由題意可得:=5+6,而可能的取值范圍為0,1,2,3,所以對應(yīng)的各值是:5×0+6,5×1+6,5×2+6,5×3+6.故的可能取值為6,11,16,21.顯然,為離散型隨機(jī)變量.,【補(bǔ)償訓(xùn)練】判斷下列各個變量是否是隨機(jī)變量,若是,是否是離散型隨機(jī)變量. (1)某信息臺一天接到的咨詢電話個數(shù). (2)從10張已編好號碼的卡片(從1號到10號)中任取一張,被抽出卡片的號數(shù). (3)某林場的樹木最高達(dá)30m,在此林場中任取一棵樹木的高度. (4)體積為27cm3的正方體的棱長.,【解析】(1)接到的咨詢電話的個數(shù)可能是0,1,2,3,出現(xiàn)哪一個結(jié)果是隨機(jī)的,因此是隨機(jī)變量,并且是離散型隨機(jī)變量. (2)抽出卡片的號數(shù)是不確定的,是隨機(jī)變量.被抽取的卡片號數(shù)可以一一列出,符合離散型隨機(jī)變量的定義,是離散型隨機(jī)變量. (3)林場樹木的高度是一個隨機(jī)變量,它可能取(0,30內(nèi)的一切值,無法一一列出,不是離散型隨機(jī)變量. (4)體積為27cm3的正方體的棱長為3cm,為定值,不是隨機(jī)變量.,類型二 用隨機(jī)變量表示隨機(jī)試驗的結(jié)果 【典例2】 (1)拋擲一顆骰子,設(shè)正面向上的點數(shù)為X,那么X為偶數(shù)表示的隨機(jī)試驗結(jié)果是 . (2)寫出下列隨機(jī)變量可能取的值,并說明這些值所表示的隨機(jī)試驗的結(jié)果. 袋中有大小相同的紅球10個,白球5個,從袋中每次任取1個球,取后不放回,直到取出的球是白球為止,所需要的取球次數(shù). 從標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6的6張卡片中任取2張,所取卡片上的數(shù)字之和.,【解題探究】 1.題(1)中點數(shù)X是偶數(shù)時X的取值有哪些? 2.題(2)中任取的2張卡片與取出的次序有關(guān)系嗎? 【探究提示】1.X=2,4,6. 2.與取出的次序沒有關(guān)系.,【自主解答】(1)拋擲一顆骰子,可能出現(xiàn)的點數(shù)是1,2,3,4,5,6,X為偶數(shù)表示的隨機(jī)試驗結(jié)果為向上的面出現(xiàn)2,4,6點. 答案:向上的面出現(xiàn)2,4,6點 (2)設(shè)所需的取球次數(shù)為X,則X=1,2,3,4,10,11,X=i表示前(i-1)次取到的均是紅球,第i次取到白球,這里i=1,2,3,4,11. 設(shè)所取卡片上的數(shù)字之和為X,則X=3,4,5,11. X=3,表示“取出標(biāo)有1,2的兩張卡片”;,X=4,表示“取出標(biāo)有1,3的兩張卡片”; X=5,表示“取出標(biāo)有2,3或1,4的兩張卡片”; X=6,表示“取出標(biāo)有2,4或1,5的兩張卡片”; X=7,表示“取出標(biāo)有3,4或2,5或1,6的兩張卡片”; X=8,表示“取出標(biāo)有2,6或3,5的兩張卡片”; X=9,表示“取出標(biāo)有3,6或4,5的兩張卡片”; X=10,表示“取出標(biāo)有4,6的兩張卡片”; X=11,表示“取出標(biāo)有5,6的兩張卡片”.,【延伸探究】若本題(2)中條件不變,所取卡片上的數(shù)字之差的絕對值為隨機(jī)變量,請問有哪些取值?其中=4表示什么含義? 【解題指南】由1,2,3,4,5,6這6個數(shù)兩兩相減,取其絕對值. 【解析】的所有可能取值有:1,2,3,4,5,共5個. =4表示“取出標(biāo)有1,5或2,6的兩張卡片”.,【方法技巧】解答用隨機(jī)變量表示隨機(jī)試驗的結(jié)果問題的關(guān)鍵點和注意點 (1)關(guān)鍵點:解決此類問題的關(guān)鍵是明確隨機(jī)變量的所有可能取值,以及取每一個值對應(yīng)的意義,即一個隨機(jī)變量的取值對應(yīng)一個或多個隨機(jī)試驗的結(jié)果. (2)注意點:解答過程中不要漏掉某些試驗結(jié)果.,【變式訓(xùn)練】寫出下列隨機(jī)變量的可能值,并說明隨機(jī)變量的取值表示的事件. 在含有5件次品的200件產(chǎn)品中任意抽取4件,其中次品件數(shù)X是一個隨機(jī)變量.,【解析】隨機(jī)變量X的可能取值為0,1,2,3,4. X=0,表示“抽取0件次品”; X=1,表示“抽取1件次品”; X=2,表示“抽取2件次品”; X=3,表示“抽取3件次品”; X=4,表示“抽取4件次品”.,【易錯誤區(qū)】對隨機(jī)變量的試驗結(jié)果表述不全致誤 【典例】一個木箱中裝有6個大小相同的籃球,編號為1,2,3,4, 5,6,現(xiàn)隨機(jī)抽取3個籃球,以表示取出的籃球的最大號碼,則 的試驗結(jié)果有 種.,【解析】從6個球中選出3個球, 當(dāng)=3時,另兩個球從1,2中選取,有一種抽法; 當(dāng)=4時,另兩個球從1,2,3中選取,有 =3種; 當(dāng)=5時,另兩個球從1,2,3,4中選取,有 =6種; 當(dāng)=6時,另兩個球從1,2,3,4,5中選取,有 =10種. 所以,的試驗結(jié)果共有1+3+6+10=20種. 答案：20,【常見誤區(qū)】,【防范措施】 1.正確提取條件信息 對題目中給出的條件作出正確判斷是解決數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵,如本例中“以表示取出的籃球的最大號碼”指的是“隨機(jī)抽取3個籃球”中的最大號碼,而不是=6. 2.考慮問題要全面 對于問題的解答要全面考慮,尤其在解答隨機(jī)變量的可能取值時,注意不要漏解,如本例中僅考慮了=6時的情形,卻忽略了=3,=4,=5的情況.,【類題試解】一用戶在打電話時忘記了號碼的最后三個數(shù)字,只記得最后三個數(shù)字兩兩不同,且都大于5,于是他隨機(jī)撥最后三個數(shù)字(兩兩不同),設(shè)他撥到所要號碼時撥打的次數(shù)為,則隨機(jī)變量的可能取值共有 種. 【解析】后三個數(shù)字兩兩不同且都大于5的電話號碼共有 =24種. 答案:24,