第二章 圓錐曲線與方程 2.1 曲線與方程 2.1.1 曲線與方程,曲線的方程和方程的曲線的定義,這個方程的解,曲線上的點,判斷:(正確的打“”,錯誤的打“×”) (1)以方程f(x,y)=0的解為坐標的點都在曲線上,那么方程f(x,y)=0就是曲線的方程.( ) (2)如果f(x,y)=0是某曲線C的方程,則曲線上的點的坐標都適合方程.( ) (3)x2+y2=1(x0)表示的曲線是單位圓.( ),提示:(1)錯誤.曲線的方程必須滿足兩個方面. (2)正確.滿足曲線的方程的定義. (3)錯誤.x2+y2=1(x0)表示以(0,0)為圓心,以1為半徑的圓在y軸右側(cè)的部分. 答案:(1)× (2) (3)×,【知識點撥】 曲線與方程的定義的三點說明 (1)純粹性:定義中的條件,闡明曲線上沒有坐標不是方程的解,也就是說曲線上所有的點都符合這個條件而毫無例外. (2)完備性:定義中的條件,闡明符合條件的所有解對應(yīng)的點都在曲線上而毫無遺漏.,(3)實質(zhì):定義的實質(zhì)是平面曲線的點集M|P(M)和方程f(x,y)=0的解集(x,y)|f(x,y)=0之間的一一對應(yīng)關(guān)系.具體如下: 由曲線和方程的這一對應(yīng)關(guān)系,既可以通過方程研究曲線的性質(zhì),又可以通過曲線求出曲線的方程.,類型 一 曲線的方程與方程的曲線的概念 【典型例題】 1.設(shè)方程f(x,y)=0的解集非空,如果命題“坐標滿足方程f(x,y)=0的點都在曲線C上”是不正確的,則下面命題中正確的是( ) A.坐標滿足f(x,y)=0的點都不在曲線C上 B.曲線C上的點的坐標不滿足f(x,y)=0 C.坐標滿足f(x,y)=0的點有些在曲線C上,有些不在曲線C上 D.一定有不在曲線C上的點,其坐標滿足f(x,y)=0,2.已知點M( ,-m)在方程x2+(y-1)2=10表示的曲線上,求實數(shù)m的值. 【解題探究】1.在什么條件下才能判斷方程是曲線的方程,曲線是方程的曲線? 2.點在方程所表示的曲線上的含義是什么?,探究提示: 1.判斷方程是曲線的方程,曲線是方程的曲線時,必須具備兩個條件,即曲線上點的坐標都是這個方程的解;以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點.二者缺一不可,是不可分割的整體. 2.點在方程表示的曲線上的含義是此點的坐標滿足此曲線的方程,即把點的坐標代入方程成立.,【解析】1.選D.“坐標滿足方程f(x,y)=0的點都在曲線C上”不正確,就是說“坐標滿足方程f(x,y)=0的點不都在曲線C上”是正確的.這意味著一定有這樣的點(x0,y0),雖然滿足方程f(x0,y0)=0,但(x0,y0)C,即一定有不在曲線C上的點,其坐標滿足f(x,y)=0,故應(yīng)選D.,2.點M( ,-m)在方程x2+(y-1)2=10表示的曲線上, x= ,y=-m適合方程x2+(y-1)2=10, 即( )2+(-m-1)2=10, 解得m=2或m= 故實數(shù)m的值為2或,【拓展提升】 1.判斷“方程是曲線的方程”和“曲線是方程的曲線”的方法 2.點P(x0,y0)與曲線C:f(x,y)=0的關(guān)系 (1)點P在曲線C上f(x0,y0)=0. (2)點P不在曲線C上f(x0,y0)0.,【變式訓(xùn)練】“以方程f(x,y)=0的解為坐標的點都是曲線C上的點”是“曲線C的方程是f(x,y)=0”的( ) A.充分條件 B.必要條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件,【解題指南】解決本題的關(guān)鍵是分清楚哪個是條件,哪個是結(jié)論,然后考慮是否滿足兩個條件. 【解析】選B.“曲線C的方程是f(x,y)=0”“以方程f(x,y)=0的解為坐標的點是曲線C上的點”,但滿足f(x,y)=0不能說明“f(x,y)=0”為曲線方程.,類型 二 曲線與方程的判定問題 【典型例題】 1.方程(x+y-1) =0表示的曲線是( ) A.兩條互相垂直的直線 B.兩條射線 C.一條直線和一條射線 D.一個點(2,-1),2.下列方程表示如圖所示的直線C,對嗎?為什么? (1) =0. (2)x2-y2=0. (3)|x|-y=0.,【解題探究】1.必修2中接觸到的曲線有哪些,它們對應(yīng)的方程分別是什么? 2.判斷方程表示什么類型曲線一般先從哪里入手? 探究提示: 1.必修2中接觸到的曲線主要有直線和圓,它們所對應(yīng)的方程分別是Ax+By+C=0(AB0),(x-a)2+(y-b)2=r2. 2.判斷方程表示何種曲線,一般先把方程化為熟悉的類型,如直線、圓的方程形式.,【解析】1.選C.(x+y-1) =0, 或x-y-3=0, 前者表示射線x+y-1=0(x2),后者表示一條直線. 2.(1)不對,方程 =0中,須x0,y0. 所以 =0表示直線C中第一象限的部分. (2)不對.方程x2-y2=0可化為x2=y2即|x|=|y|, 它表示四個象限的角平分線即y=±x. (3)不對.方程|x|-y=0可化為y=|x|. 如點(-1,1)滿足方程,但不在直線C上.,【互動探究】若把題1中的方程改為(x+y-1)( -1)=0, 表示什么曲線? 【解題指南】解答本題,要注意題目中的隱含條件x-30. 【解析】因為(x+y-1)( -1)=0,所以可得 或者 -1=0,也就是x+y-1=0(x3)或x=4. 故方程表示一條射線和一條直線.,【拓展提升】 1.曲線與方程的判定技巧 (1)若方程f(x,y)=0無實數(shù)解,則與之對應(yīng)的曲線是不存在的.反之曲線不存在,則方程f(x,y)=0無實數(shù)解. (2)判斷點是否在曲線上,其實質(zhì)就是判斷點的坐標是否適合曲線的方程. (3)判定方程是否是曲線的方程或判定曲線是否是方程的曲線,只要一一檢驗定義中的“兩條性質(zhì)”是否都滿足,并作出相應(yīng)的回答即可.這是解決“曲線”與“方程”問題的關(guān)鍵.,2.方程表示的曲線的判斷步驟,【變式訓(xùn)練】方程 所表示的曲線圖形是( ) A.兩條線段 B.兩條直線 C.兩條射線 D.一條直線和一條線段 【解析】選A.原方程可化為 1-|x|=1-y,即y=|x|. 又1-y0即y1, 1-|x|0即-1x1, 方程表示如圖所示的兩條線段.,類型 三 曲線的交點問題 【典型例題】 1.若直線x-2y-2k=0與y=x+k的交點在曲線x2+y2=25上,則k的值是( ) A.1 B.-1 C.1或-1 D.以上都不對 2.求直線y=x+3被拋物線y=2x2截得的線段的長度.,【解題探究】1.怎樣求曲線的交點? 2.兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2)之間的距離公式是什么? 探究提示: 1.解兩條曲線的方程聯(lián)立的方程組,可以求出曲線的交點. 2.若P1(x1,y1),P2(x2,y2), 則,【解析】1.選C.聯(lián)立得方程組 解得交點為 (-4k,-3k),代入圓的方程中. 即(-4k)2+(-3k)2=25,k=±1. 2.方法一:由 解得 或 即直線與拋物線的交點坐標為A(-1,2),B( ). 所截線段的長為,方法二:設(shè)直線y=x+3與拋物線y=2x2的交點坐標為A(x1,y1),B(x2,y2),則由方程組 得2x2-x-3=0,0, 又A(x1,y1),B(x2,y2)都在直線y=x+3上, y1=x1+3,y2=x2+3,y2-y1=x2-x1,|AB|= = = 所截線段的長為 .,【拓展提升】 1.求曲線交點的三個步驟,2.兩曲線的交點坐標與相應(yīng)方程組的解之間的關(guān)系 曲線C1,C2的方程分別為f(x,y)=0和g(x,y)=0. (1)若P(x0,y0)為C1,C2交點,則 (2)交點的個數(shù)與 的解的組數(shù)相同. 特別地,C1與C2沒有公共點 沒有解.,【變式訓(xùn)練】已知兩曲線的方程為C1:2x-5y+5=0,C2:y=- , 判斷兩曲線有無交點.若有交點,求出交點坐標,若無交點,說明理由. 【解題指南】兩曲線的交點坐標即兩曲線方程的公共解,將兩曲線方程聯(lián)立方程組,方程組有幾組解,則兩曲線就有幾個交點,故將兩曲線交點問題轉(zhuǎn)化為方程組解的個數(shù)問題.,【解析】聯(lián)立得方程組 由,消去y 得2x2+5x+50=0 ,=25-4×2×500, 因為方程無實數(shù)解,從而方程組無實數(shù)解,因此曲線 C1:2x-5y+5=0與C2:y=- 無交點.,【易錯誤區(qū)】方程變形中不是恒等變換致誤 【典例】(2013·滄州高二檢測)方程|x|+|y|=|xy|+1表示的曲線是 . 【解析】對于方程|x|+|y|=|xy|+1, x0,y0時,x+y=xy+1即(x-1)(1-y)=0, 也就是x=1,y=1, 這時曲線表示x=1,y=1在第一象限的部分及x軸,y軸上的點(1,0)和(0,1).,x0,y0時,x-y=-xy+1即(x-1)(y+1)=0, 這時曲線表示x=1,y=-1在第四象限的部分及x軸,y軸上的點(1,0)和(0,-1). x0,y0時,-x+y=-xy+1,即(x+1)(y-1)=0, 這時曲線表示x=-1,y=1在第二象限的部分及x軸,y軸上的點 (-1,0)和(0,1).,x0,y0時,-x-y=xy+1即(x+1)(y+1)=0, 這時曲線表示x=-1,y=-1在第三象限的部分及x軸,y軸上的點(-1,0)和(0,-1). 故綜上可知|x|+|y|=|xy|+1表示的曲線為x=±1,y=±1四條直線. 答案:四條直線,【誤區(qū)警示】,【防范措施】 1.合理進行分類討論 解決帶有絕對值符號的題目,首先要正確地分類,在統(tǒng)一的分類標準下,把不確定元素進行分類討論,如本例中x,y根據(jù)題意分了四種情況討論. 2.條件結(jié)論并向分析 解決問題時多觀察,多思考,要適時把條件和結(jié)論并向分析,同時可以從結(jié)論選項中找出差別,有利于解題,如本例中每種討論的結(jié)果都要結(jié)合所對應(yīng)的條件分析所對應(yīng)的曲線.,【類題試解】方程y= 所表示的曲線是 . 【解析】y= =|x-1|= 所以方程表 示直線y=x-1,y=-x+1在x軸及x軸上方的部分,即兩條射線. 答案:兩條射線,1.直線x-y=0與曲線xy=1的交點是( ) A.(1,1) B.(-1,-1) C.(1,1),(-1,-1) D.(0,0) 【解析】選C.由 得 或,2.下面四組方程表示同一條曲線的一組是( ) A.y2=x與y= B.y=lgx2與y=2lgx C. =1與lg(y+1)=lg(x-2) D.x2+y2=1與|y|=,【解析】選D.主要考慮x,y的取值范圍,A中y2=x中yR, 而y= 中y0,B中y=lgx2中x0,而y=2lgx中x0;C中 =1中yR,x2,而lg(y+1)=lg(x-2)中y-1,x2, 故只有D正確.,3.已知直線l:x+y-3=0及曲線C:(x-3)2+(y-2)2=2,則點M(2,1)( ) A.在直線l上,但不在曲線C上 B.在直線l上,也在曲線C上 C.不在直線l上,也不在曲線C上 D.不在直線l上,但在曲線C上 【解析】選B.因為點M(2,1)適合于直線x+y-3=0,也適合于曲線(x-3)2+(y-2)2=2,所以點M在直線l上,也在曲線C上.,4.已知02,點P(cos,sin)在曲線(x-2)2+y2=3上,則的值是 . 【解析】因為P(cos,sin)在曲線(x-2)2+y2=3上, (cos-2)2+sin2=3. 整理得cos= , 又02,= 答案:,5.方程(x2-4)2+(y2-4)2=0表示的圖形是 . 【解析】由 得 或 或 或 故方程(x2-4)2+(y2-4)2=0 表示的圖形是四個點. 答案:四個點,6.判斷下列說法是否正確: (1)方程(x+y)· =0表示的曲線是圓或直線. (2)方程2x2+y2-4x+2y+3=0表示一個點. 【解析】(1)錯誤.由(x+y)· =0得 或x2+y2-4=0,前者表示直線y=-x在圓 x2+y2=4外的兩條射線(包括端點),后者表示圓x2+y2=4. 所以表示的是圓和兩條射線.,(2)正確.方程左邊配方得2(x-1)2+(y+1)2=0, 由2(x-1)20,(y+1)20, 知 解得 故方程表示的圖形是一個點且坐標是(1,-1).,