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成才之路 · 數(shù)學(xué),路漫漫其修遠(yuǎn)兮 吾將上下而求索,北師大版 · 必修3,算法初步,第二章,§1 算法的基本思想,第二章,電影《神槍手》中描述的凌靖是一個(gè)天生的狙擊手，他百發(fā)百中，最難打的位置對(duì)他來(lái)說(shuō)也是輕而易舉，是香港警察狙擊手隊(duì)伍的第一神槍手． 作為一名狙擊手，要想成功地完成一次狙擊任務(wù)，一般要按步驟完成以下幾步：,,第一步：觀察、等待目標(biāo)出現(xiàn)(用望遠(yuǎn)鏡或瞄準(zhǔn)鏡)； 第二步：瞄準(zhǔn)目標(biāo)； 第三步：計(jì)算(或估測(cè))風(fēng)速、距離、空氣濕度、空氣密度； 第四步：根據(jù)第三步的結(jié)果修正彈著點(diǎn)； 第五步：開(kāi)槍?zhuān)?第六步：迅速轉(zhuǎn)移(或隱蔽)． 以上這種完成狙擊任務(wù)的方法、步驟在數(shù)學(xué)上我們叫算法．,1．算法的概念 算法是解決某類(lèi)問(wèn)題的一系列________或________，只要按照這些________執(zhí)行，都能使問(wèn)題得到解決．一般來(lái)說(shuō)，“_________________”都是可以利用計(jì)算機(jī)幫助完成的． 2．算法的基本思想 在解決某些問(wèn)題時(shí)，需要設(shè)計(jì)出______________________的步驟，通過(guò)實(shí)施這些步驟來(lái)解決問(wèn)題，通常把這些步驟稱(chēng)為解決這些問(wèn)題的________．這種解決問(wèn)題的思想方法稱(chēng)為算法的基本思想．,步驟,程序,步驟,用算法解決問(wèn)題,一系列可操作或可計(jì)算,算法,3．算法的特征 (1)________：一個(gè)算法應(yīng)包括有限的操作步驟，能在執(zhí)行有窮的操作步驟之后結(jié)束． (2)________：算法的計(jì)算規(guī)則及相應(yīng)的計(jì)算步驟必須是唯一確定的． (3)________：算法中的每一個(gè)步驟都是可以在有限的時(shí)間內(nèi)完成的基本操作，并能得到確定的結(jié)果． (4)________：算法從初始步驟開(kāi)始，分為若干個(gè)明確的步驟，前一步是后一步的前提，后一步是前一步的后續(xù)，且除了最后一步外，每一個(gè)步驟只有一個(gè)確定的后續(xù)． (5)__________：解決同一問(wèn)題的算法可以是不唯一的．,有限性 確定性 可行性 順序性 不唯一性,1．以下對(duì)算法的描述正確的個(gè)數(shù)是( ) ①對(duì)一類(lèi)問(wèn)題都有效； ②對(duì)個(gè)別問(wèn)題有效； ③計(jì)算可以一步步地進(jìn)行，每一步都有唯一的結(jié)果； ④是一種通法，只要按部就班地做，總能得到結(jié)果． A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) [答案] C [解析] ①③④正確，均符合算法的概念與要求，②不正確．,2．算法的有限性是指( ) A．算法的最后必包含輸出 B．算法中每個(gè)操作步驟都是可執(zhí)行的 C．算法的步驟必須有限 D．以上說(shuō)法均不正確 [答案] C [解析] 由算法的要求可知，應(yīng)選C.,3．下列語(yǔ)句中是算法的個(gè)數(shù)是( ) ①?gòu)膹V州到北京旅游，先坐火車(chē)， 再坐飛機(jī)抵達(dá)； ②解一元一次方程的步驟是去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)、系數(shù)化為1； ③方程x2－1＝0有兩個(gè)實(shí)根； ④求1＋2＋3＋4的值，先計(jì)算1＋2＝3，再由3＋3＝6,6＋4＝10得最終結(jié)果10. A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) [答案] C,[分析] 解答本題可先正確理解算法的概念及其特點(diǎn)，然后逐一驗(yàn)證每個(gè)語(yǔ)句是否正確． [解析] ①中說(shuō)明了從廣州到北京的行程安排，完成任務(wù)；②中給出了一元一次方程這一類(lèi)問(wèn)題的解決方法；④中給出了求1＋2＋3＋4的一個(gè)過(guò)程，最終得出結(jié)果．對(duì)于③，并沒(méi)有說(shuō)明如何去算，故①②④是算法，③不是算法．,4．設(shè)計(jì)一個(gè)算法求方程5x＋2y＝22的正整數(shù)解，其最后輸出的結(jié)果應(yīng)為_(kāi)_______． [答案] (2,6)，(4,1),5．已知一個(gè)學(xué)生的語(yǔ)文成績(jī)?yōu)?9，數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?6，外語(yǔ)成績(jī)?yōu)?9. 求它的總分和平均成績(jī)的一個(gè)算法為： 1．取A＝89，B＝96，C＝99； 2．____①____； 3．____②____； 4．輸出D，E. [解析] 求總分需將三個(gè)數(shù)相加，求平均分，另需讓總分除以3即可．,[思路分析] 解答本題的關(guān)鍵是理解算法的意義及特征．,對(duì)算法意義的理解,[規(guī)范解答] 選項(xiàng)A，算法不能等同于解法；選項(xiàng)C，解決某一個(gè)具體問(wèn)題，算法不同結(jié)果應(yīng)該相同，否則就是算法構(gòu)造得有問(wèn)題；選項(xiàng)D，算法執(zhí)行的步驟可以有很多次，但不可以是無(wú)限次． [答案] B [規(guī)律總結(jié)] 算法一般是機(jī)械的，有時(shí)需要進(jìn)行大量的重復(fù)計(jì)算．只要按部就班地去做，總能算出結(jié)果．通常把算法過(guò)程稱(chēng)為“數(shù)學(xué)機(jī)械化”．?dāng)?shù)學(xué)機(jī)械化的最大優(yōu)點(diǎn)是它可以借助計(jì)算機(jī)來(lái)完成．,指出下列哪個(gè)不是算法( ) A．解方程2x－6＝0的過(guò)程是移項(xiàng)和系數(shù)化為1 B．從青島經(jīng)上海再到杭州旅游要先乘輪船到上海，再轉(zhuǎn)乘火車(chē) C．解方程2x2＋x－1＝0 D．利用公式S＝πr2計(jì)算半徑為3的圓的面積就是計(jì)算π×32 [答案] C [解析] 由算法概念知，C不是算法，而A、B、D三項(xiàng)都解決了一類(lèi)問(wèn)題，故為算法.,[思路分析] 解線(xiàn)性方程組的常用方法是加減消元法和代入消元法，這兩種方法沒(méi)有本質(zhì)的差別，為了適用于解一般的線(xiàn)性方程組，以便于在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)，我們用高斯消元法(即先將方程組化為一個(gè)三角形方程組，再通過(guò)回代方程求出方程組的解)解線(xiàn)性方程組．,解方程(組)的算法,方法二：算法如下： 第一步，由①式可以得到y(tǒng)＝7－2x， ⑤ 第二步，把y＝7－2x代入②，得x＝4. 第三步，把x＝4代入⑤，得y＝－1. 第四步，輸出4，－1.,[規(guī)律總結(jié)] 1.本題用了2種方法求解，對(duì)于問(wèn)題的求解過(guò)程，我們既要強(qiáng)調(diào)對(duì)“通法、通解”的理解，又要強(qiáng)調(diào)對(duì)所學(xué)知識(shí)的靈活運(yùn)用． 2．設(shè)計(jì)算法時(shí)，經(jīng)常遇到解方程(組)的問(wèn)題，一般是按照數(shù)學(xué)上解方程(組)的方法進(jìn)行設(shè)計(jì)，但應(yīng)注意全面考慮方程解的情況，即先確定方程(組)是否有解，有解時(shí)有幾個(gè)解，然后根據(jù)求解步驟設(shè)計(jì)算法步驟．,[解析] 算法步驟如下： 1．去分母(方程兩邊同乘以6)，得到3(x＋1)－2(x－1)＝6； 2．去括號(hào)，得到3x＋3－2x＋2＝6； 3．移項(xiàng)，得到3x－2x＝6－3－2； 4．合并同類(lèi)項(xiàng)，得到x＝1； 5．寫(xiě)出原方程的解x＝1.,[規(guī)范解答] 算法步驟如下： 1．比較a與b的大小，若ab，則m＝a；若ba，則m＝b； 2．比較m與c的大小，若mc，則m為最小數(shù)；若cm，則c為最小數(shù)．,篩選問(wèn)題的算法設(shè)計(jì),[規(guī)律總結(jié)] 求最小(大)數(shù)就是從中篩選出最小(大)的一個(gè)，篩選過(guò)程中的每一步都是比較兩個(gè)數(shù)的大小，保證了篩選的可行性，這種方法可以推廣到從多個(gè)不同數(shù)中篩選出滿(mǎn)足要求的一個(gè)．,在下列數(shù)字序列中，寫(xiě)出搜索89的算法： 21,3,0,9,15,72,89,91,93. [解析] 1.先找到序列中的第一個(gè)數(shù)m，m＝21； 2．將m與89比較，是否相等，如果相等，則搜索到89； 3．如果m與89不相等，則往下執(zhí)行； 4．繼續(xù)將序列中的其他數(shù)賦給m，重復(fù)第2步，直到搜索到89.,[思路分析] 應(yīng)首先運(yùn)具有威脅性的動(dòng)物狼，再運(yùn)羚羊，運(yùn)過(guò)河的狼還可以再運(yùn)回來(lái)，注意不能讓狼吃羊．,非數(shù)值性問(wèn)題的算法,[規(guī)范解答] (1) 1．人帶兩只狼過(guò)河； 2．人自己返回； 3．人帶一只狼過(guò)河； 4．人自己返回； 5．人帶兩只羚羊過(guò)河；,6．人帶兩只狼返回； 7．人帶一只羚羊過(guò)河； 8．人自己返回； 9．人帶兩只狼過(guò)河． (2)在人運(yùn)送動(dòng)物過(guò)河的過(guò)程中，人離開(kāi)岸邊時(shí)必須保證每個(gè)岸邊的羚羊的數(shù)目大于狼的數(shù)目．,[規(guī)律總結(jié)] 1.對(duì)于非數(shù)值性的問(wèn)題，在設(shè)計(jì)算法時(shí)，應(yīng)當(dāng)先建立過(guò)程模型，也就是找到解決問(wèn)題的方案，再把它細(xì)化為一步連接一步組成的步驟．從而設(shè)計(jì)出算法． 2．首先應(yīng)想到先運(yùn)兩只狼，這是唯一的首選步驟，只有這樣才可避免狼吃羊，帶過(guò)一只羊后，必須將狼帶回來(lái)才行．,兩個(gè)大人和兩個(gè)小孩一起渡河，渡口只有一條小船，每次只能渡一個(gè)大人或兩個(gè)小孩，他們四人都會(huì)劃船，但都不會(huì)游泳，他們?nèi)绾味珊?？?qǐng)寫(xiě)出你的渡河方案及算法． [解析] 因?yàn)橐淮沃荒芏蛇^(guò)一個(gè)大人或兩個(gè)小孩，而船還要回來(lái)渡其他人，所以只能讓兩個(gè)小孩先過(guò)河，渡河的方案算法為：,1．兩個(gè)小孩同船渡過(guò)河去； 2．一個(gè)小孩劃船回來(lái)； 3．一個(gè)大人獨(dú)自劃船渡過(guò)河去； 4．對(duì)岸的小孩劃船回來(lái)； 5．兩個(gè)小孩再同船渡過(guò)河去； 6．一個(gè)小孩劃船回來(lái)； 7．余下的一個(gè)大人獨(dú)自劃船渡過(guò)河去； 8．對(duì)岸的小孩劃船回來(lái)； 9．兩個(gè)小孩再同船渡過(guò)河去．,[錯(cuò)解] 小華采用的算法描述如下： 1 計(jì)算Δ＝b2－4ac； 2 若Δ0，則輸出方程的根． [辨析] 上述算法中有兩處錯(cuò)誤： 第一處是沒(méi)有考慮a是否為0，顯然a＝0時(shí)，方程無(wú)Δ，上述算法無(wú)效； 第二處錯(cuò)誤是漏掉了Δ＝0的情況．,[規(guī)律總結(jié)] 本例說(shuō)明算法一方面具有具體化、程序化、機(jī)械化的特點(diǎn)，同時(shí)又具有高度的抽象性、概括性和精確性，所以算法在表達(dá)問(wèn)題解決的過(guò)程中具有條理性、邏輯性的特點(diǎn)．,