第二章 數(shù)列 2.2 等差數(shù)列,我們經(jīng)常這樣數(shù)數(shù)，從0開(kāi)始，每隔5數(shù)一次，可以得到數(shù)列： 0，5，_，_,. ,復(fù)習(xí)回顧,水庫(kù)的管理人員為了保證優(yōu)質(zhì)魚(yú)類(lèi)有良好的生活環(huán)境，用定期放水清庫(kù)的辦法清理水庫(kù)中的雜魚(yú).如果一個(gè)水庫(kù)的水位為18m，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m，那么從開(kāi)始放水算起，到可以進(jìn)行清理工作的那天，水庫(kù)每天的水位而組成數(shù)列(單位：m): 18，15.5，13，10.5，8，5.5. ,上面兩個(gè)數(shù)列有一個(gè)共同特點(diǎn)： 從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都等于同一常數(shù).,定義中的光鍵詞是什么?,一般地,如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差等于同一常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列就叫等差數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差.,一、 等差數(shù)列定義,判定題：下列數(shù)列是否是等差數(shù)列？,. 9, 7, 5, 3, , -2n+11, ; . -1, 11, 23, 35, , 12n-13, ; . 1, 2, 1, 2, ; . 1, 2, 4, 6, 8, 10, ; . a, a, a, a, , a, ;,×,×,課堂練習(xí)：,由等差數(shù)列的定義知an-an-1=d， 當(dāng)d0時(shí),anan-1，則為遞增數(shù)列； 當(dāng)d=0時(shí),an=an-1，則為常數(shù)列； 當(dāng)d0時(shí),anan-1，則為遞減數(shù)列.,注意公差d：一定是由后項(xiàng)減前項(xiàng)所得.,二、等差中項(xiàng),觀察如下的兩個(gè)數(shù)之間，插入一個(gè)什么數(shù)后三個(gè)數(shù)就會(huì)成為一個(gè)等差數(shù)列：,（1）2 , , 4 （2）-1, , 5 （3）-12, , 0 （4）0, , 0,3,2,-6,0,如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)A，使a，A，b成等差數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項(xiàng).,一般地，如果等差數(shù)列 的首項(xiàng)是 公差是 ，我們根據(jù)等差數(shù)列的定義，可以得到,所以,因此，,三、等差數(shù)列通項(xiàng)公式,還可以用累加法得到等差數(shù)列通項(xiàng)公式：,一般地，如果等差數(shù)列 的首項(xiàng)是 公差是 ，我們根據(jù)等差數(shù)列的定義，可以得到,累加得：,例1 （1）求等差數(shù)列8，5，2，的第20項(xiàng). （2）-401是不是等差數(shù)列-5，-9，-13，的項(xiàng)？ 如果是，是第幾項(xiàng)？,五、運(yùn)用通項(xiàng)公式解題,1、求某一項(xiàng)或項(xiàng)數(shù),例2 某市出租車(chē)的計(jì)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)為1.2元/km，起步價(jià)為10元， 即最初的4km（不含4千米）計(jì)費(fèi)10元.如果某人乘坐該市的出 租車(chē)去往14km處的目的地，且一路暢通，等候時(shí)間為0，需要 支付多少車(chē)費(fèi)？,解：根據(jù)題意，該市出租車(chē)的行程大于或等于4km時(shí)， 每增加1km，乘客需要支付1.2元.所以，我們可以建立 一個(gè)等差數(shù)列 來(lái)計(jì)算車(chē)費(fèi).,令 ，表示4km處的車(chē)費(fèi)，公差 .那么， 當(dāng)出租車(chē)行至14km時(shí)， _，,此時(shí)需要支付車(chē)費(fèi) (元).,答：需要支付車(chē)費(fèi)23.2元.,六、實(shí)際應(yīng)用舉例,例3 已知數(shù)列 的通項(xiàng)公式為 其中 為常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列嗎？,分析：判定 是否為等差數(shù)列，可以利用等差數(shù)列的定義，也就是說(shuō) 是不是一個(gè)與 無(wú)關(guān)的常數(shù).,解：取數(shù)列 中的任意相鄰兩項(xiàng) 與 ，求差得,它是個(gè)與 無(wú)關(guān)的常數(shù)，所以 是等差數(shù)列.,七、等差數(shù)列的證明,練習(xí)1 在等差數(shù)列an中, (1)已知 a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20;,(2)已知 a3+a11=10，求 a6+a7+a8.,解： (1)由 a1+a20 = a6+ a15 = a9 +a12 及 a6+a9+a12+a15=20，可得a1+a20=10.,(2) a3+a11 =a6+a8 =2a7 ，又已知 a3+a11=10， a6+a7+a8= （a3+a11）=15.,（1）求等差數(shù)列 3 ，7 ， 11 ，的第4項(xiàng)和第10項(xiàng). （2）100是不是等差數(shù)列 2 ，9 ，16 ，的項(xiàng)？ 如果是，是第幾項(xiàng)？如果不是，說(shuō)明理由. （3） -20是不是等差數(shù)列 0 ，-3.5 ，-7 ，的項(xiàng)？如果是， 是第幾項(xiàng)？如果不是，說(shuō)明理由.,練習(xí)2：,解： （1） a1=3 ， d=7-3= 4 an=3+4（n-1） = 4n-1 a4=4×4-1=15 ， a10=4×10 1=39,（2） a1=2 ， d=9-2=7 an=2+7（n-1) = 7n-5 100=7n-5 n =15 100是該數(shù)列的第15項(xiàng).,（3） a1=0 ， d= -3.5 -0 = -3.5 an=0-3.5（n-1） = -3.5n+3.5 -20= -3.5n+3.5無(wú)正整數(shù)解， -20不是該數(shù)列的項(xiàng).,在等差數(shù)列an中， （1）已知 a4=10 , a7=19 ，求 a1與 d . （2）已知 a3=9 , a9=3 ，求 a12 .,練習(xí)3：,解： （1）由題意得 a1+3d= 10 a1+6d=19 解得： d=3 , a1=1 .,（2）由題意得 a1+2d= 9 a1+8d=3 解得： d= -1 , a1=11 . an=11-1（n-1）=12-n. a12= 12-12 =0.,小結(jié),1、掌握等差數(shù)列、等差數(shù)列的公差、等差中項(xiàng)等概念.,2、掌握等差數(shù)列通項(xiàng)公式的一般形式：,3、已知等差數(shù)列通項(xiàng)公式中的任意三個(gè)量，能用通項(xiàng)公式，求另外一個(gè)量.,4、能用數(shù)列的通項(xiàng)公式判斷某個(gè)數(shù)是否是這個(gè)數(shù)列 中的項(xiàng).,5、會(huì)用定義證明某個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列.,