§2 從位移的合成到向量的加法 2.1 向量的加法,1.向量加法的運(yùn)算法則 (1)三角形法則 圖示：,幾何意義：已知向量a,b,在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A,作 =a, =b,再作向量 ，則向量_叫作向量a與b的和,記作 _,即a+b=,a+b,(2)平行四邊形法則 圖示：,幾何意義：已知向量a,b，作 =a， =b，再作平行于 的 =b，連接DC，則四邊形ABCD為平行四邊形，向量_叫 作向量a與b的和,表示為_.,2.向量加法的運(yùn)算律 (1)交換律：a+b=_. (2)結(jié)合律：(a+b)+c=a+_.,b+a,(b+c),1判一判 (正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)向量的加法就是向量的模相加.( ) (2)向量相加其結(jié)果仍然是一個(gè)向量.( ) (3)任何向量與零向量的和都等于其本身.( ) 2做一做(請(qǐng)把正確的答案寫在橫線上) (1)ABC中， =_. (2)在平行四邊形ABCD中， =a, =b,則 等于_. (3)化簡 =_.,【解析】1.(1)錯(cuò)誤.向量有大小和方向，其和不是單純模相加. (2)正確.由三角形法則可知，其和是從起點(diǎn)指向終點(diǎn)的向量. (3)正確.由向量加法的三角形法則可得任何向量與零向量的和都是其本身. 答案：(1)× (2) (3),2.(1) 答案：0 (2) 答案：b (3) 答案：,【要點(diǎn)探究】 知識(shí)點(diǎn) 向量的加法法則及其運(yùn)算律 1.對(duì)向量加法的三角形法則和平行四邊形法則的理解 (1)兩個(gè)法則的使用條件不同 三角形法則適用于任意兩個(gè)非零向量求和,平行四邊形法則只適用于兩個(gè)不共線的向量求和. 當(dāng)兩個(gè)向量不共線時(shí)，兩個(gè)法則是一致的.,如圖所示： (平行四邊形法則)， 又因?yàn)?所以 (三角形法則). (2)在使用三角形法則時(shí),應(yīng)注意“首尾連接”;在使用平行四邊形法則時(shí)相加向量共起點(diǎn).,2.向量加法運(yùn)算律的推廣 向量加法的交換律和結(jié)合律對(duì)多個(gè)向量仍然成立，恰當(dāng)?shù)厥?用運(yùn)算律可以實(shí)現(xiàn)簡化運(yùn)算的目的.如在進(jìn)行多個(gè)向量的加法 運(yùn)算時(shí)，可以按照任意的次序和任意的組合進(jìn)行.如(a+b)+ (c+d)=(a+d)+(b+c).,【微思考】 (1)當(dāng)多個(gè)向量相加時(shí)，一般應(yīng)選擇哪個(gè)運(yùn)算法則？ 提示：當(dāng)多個(gè)向量相加時(shí)，一般采用三角形法則，首尾相連比較方便. (2)進(jìn)行多向量的化簡時(shí)應(yīng)注意什么問題？ 提示：進(jìn)行多向量的化簡時(shí)要靈活運(yùn)用向量運(yùn)算的交換律、結(jié)合律簡化運(yùn)算.,【即時(shí)練】 在ABC中，D，E分別是AB，AC上的點(diǎn)， DEBC,ABCF，連接CD，EF，那么(在 橫線上只填上一個(gè)向量) =_; =_; =_.,【解析】 答案： ,【題型示范】 類型一 向量的加法法則的簡單應(yīng)用 【典例1】 (1)在四邊形ABCD中，如圖所示， 用一個(gè)向量填空: a+b=_. b+c=_. a+b+c+d=_.,(2)如圖、，已知向量a和b，試作出a與b的和向量a+b.,【解題探究】1.題(1)中用到了向量加法的哪個(gè)法則？ 2.題(2)中設(shè)兩個(gè)不共線的向量a,b,如何作出它們的和向量？ 【探究提示】1.三角形法則. 2.作法： 在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O. 作 ,【自主解答】(1)利用三角形法則解答即可. 答案:e f 0 (2)先作 再作 得,【延伸探究】把題(2)中向量a,b的圖示換成如圖所示，結(jié)果會(huì)如何？ 【解題指南】結(jié)合三角形法則及平行四邊形法則求解.,【解析】(1)如圖所示,設(shè) 因?yàn)閍與b有公共點(diǎn)A,故過A 點(diǎn)作 連接OB， 即為a+b. (2)如圖所示,設(shè) 過O點(diǎn)作 則以O(shè)A,OB為鄰邊作 OACB,連接OC,則,【方法技巧】利用向量的加法法則作圖的方法 (1)使用三角形法則的具體方法是： 把用小寫字母表示的向量，用兩個(gè)大寫字母表示(其中后面向量的起點(diǎn)與其前一個(gè)向量的終點(diǎn)重合即用同一個(gè)字母來表示); 由第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向第二個(gè)向量終點(diǎn)的有向線段就表示這兩個(gè)向量的和.,(2)使用平行四邊形法則的具體方法是: 把兩個(gè)已知向量的起點(diǎn)平移到同一點(diǎn); 以這兩個(gè)已知向量為鄰邊作平行四邊形; 則以公共點(diǎn)為起點(diǎn)的對(duì)角線所在向量就是這兩個(gè)已知向量的和.,【變式訓(xùn)練】已知向量a,b，求作向量a+b. 【解析】在平面內(nèi)取一點(diǎn)O， 作 則,【誤區(qū)警示】作向量相等時(shí)要注意使向量所在直線平行，模相等，即方向相同、模相等.,【補(bǔ)償訓(xùn)練】若正方形ABCD的邊長為1， 試作出向量a+b+c，并求出其模的大小.,【解析】根據(jù)平行四邊形法則 可知， 根據(jù)三角形法則，延長AC， 在AC的延長線上作 則a+b+c= (如圖所示). 所以|a+b+c|=,類型二 向量的加法在實(shí)際問題中的應(yīng)用 【典例2】 (1)(2014·紅河高一檢測)小船以10 km/h的速度向垂直于 對(duì)岸的方向行駛，同時(shí)河水的流速為10 km/h，則小船實(shí)際航 行速度的大小為( ) A.20 km/h B.20 km/h C.10 km/h D.10 km/h,(2)如圖，用兩根繩子把重10 N的物體W吊在水平桿子AB上 ACW=150°，BCW=120°，求A和B處所受力的大小(忽 略繩子重量),【解題探究】1.題(1)中小船的實(shí)際航行速度是怎樣合成的？ 2.題(2)中四邊形CFWE具有怎樣的特殊性質(zhì)？ 【探究提示】1.小船的實(shí)際航行速度是由小船的靜水速度與水流速度合成的. 2.四邊形CFWE是矩形.,【自主解答】(1)選B.如圖，設(shè)船在靜水中的速度為|v1|= 10 km/h，河水的流速為|v2|=10 km/h 小船實(shí)際航行速度為v0，則由v12+v22=v02，得 =v02，所以|v0|=20 km/h，即小船實(shí)際航行速度的大小為 20 km/h故選B,(2)設(shè)A,B處所受力分別為f1,f2，10 N的重力用f表示，則f1+f2=f以重力作用點(diǎn)C為f1,f2的始點(diǎn)，在CFWE中， 則ECW=180°-150°=30°，F(xiàn)CW=180°- 120°=60°，F(xiàn)CE=90°,所以四邊形CEWF為矩形 所以 所以A處受力大小為5 N，B處受力大小為5 N.,【方法技巧】與向量加法相關(guān)的應(yīng)用問題的解法 首先要根據(jù)題意，利用平行四邊形(三角形)法則作出圖形，再確定圖形的性質(zhì)，通過圖形的性質(zhì)求出相關(guān)的邊或角，再利用求出的邊或角解釋實(shí)際意義.,【變式訓(xùn)練】一汽車向北行駛3 km，然后向北偏東60°方向行駛3 km，求汽車的位移 【解題指南】作出示意圖，三點(diǎn)正好組成了一個(gè)已知兩邊與一角的三角形，由有關(guān)三角形的定理即可求得汽車的位移.,【解析】根據(jù)題意畫出示意圖，汽車行駛的路線為ACB 在三角形ABC中，AC=BC=3，ACB=120°, 所以BAC=30°，AB= 故汽車的位移為北偏東30°方向，大小為 km,【補(bǔ)償訓(xùn)練】一位模型賽車手遙控一輛賽車向正東方向前進(jìn)1米，順時(shí)針方向轉(zhuǎn)彎60°，按直線向前行進(jìn)1米，再順時(shí)針方向轉(zhuǎn)彎60°，繼續(xù)按直線向前行1米如此操作六次. (1)按1100的比例，用向量表示賽車的位移. (2)觀察賽車位移示意圖，你能得到什么結(jié)論？,【解析】(1)如圖.第一次的位移：100米； 第二次的位移：AC=100 (米)； 第三次的位移：AD=200(米)； 第四次的位移：AE=100 (米)； 第五次的位移：100米； 第六次的位移：回到A點(diǎn)，即0米. (2)由賽車位移示意圖知，操作六次的路線是一邊長為1的正六邊形.,【易錯(cuò)誤區(qū)】向量化簡中的誤區(qū) 【典例】(2014·汕頭高一檢測)如圖，正六邊形ABCDEF中， =( ),【解析】選D.根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，易得 故選D.,【常見誤區(qū)】,【防范措施】 向量化簡中的技巧 結(jié)合圖形進(jìn)行向量化簡時(shí)要充分研究圖形的性質(zhì)，借助向 量相等進(jìn)行向量的轉(zhuǎn)化，這是向量化簡中常用的技巧，如本例 中向量 替代后才能進(jìn)行化簡.,【類題試解】已知D，E，F(xiàn)分別是ABC的邊AB，BC，CA的中點(diǎn)，則下列等式中不正確的是( ),【解析】選D.由向量加法的法則得 故選項(xiàng)A,B正確 因?yàn)镈,E,F分別是ABC的邊AB,BC,CA的中點(diǎn)， 因?yàn)?故選項(xiàng)C正確 由上知 故選項(xiàng)D不正確,