成才之路 · 數(shù)學(xué),路漫漫其修遠(yuǎn)兮 吾將上下而求索,北師大版 · 必修1,函 數(shù),第二章,第二章,§3 函數(shù)的單調(diào)性,你知道2008年北京奧運會開幕式時間為什么由原定的7月25日推遲到8月8日嗎？ 通過查閱資料，我們了解到開幕式推遲的主要原因是天氣，北京的天氣到8月中旬，平均氣溫、平均降雨量和平均降雨天數(shù)等均開始下降，比較適宜大型國際體育賽事 在日常生活中，我們會關(guān)心很多數(shù)據(jù)的變化(如食品的價格、燃油價格等)，所有這些數(shù)據(jù)的變化，用函數(shù)觀點看，其實就是隨著自變量的變化，函數(shù)值是變大還是變小的問題，也就是本節(jié)我們所要研究的函數(shù)的單調(diào)性問題.,1.函數(shù)的遞增與遞減 在函數(shù)yf(x)的定義域內(nèi)的一個區(qū)間A上，如果對于任意兩個數(shù)x1，x2A，當(dāng)x1x2時，都有f(x1)f(x2)，那么就稱函數(shù)yf(x)在區(qū)間A上是_，有時也稱函數(shù)yf(x)在區(qū)間A上是_在函數(shù)yf(x)的定義域內(nèi)的一個區(qū)間A上，如果對于任意兩個數(shù)x1，x2A，當(dāng)_時，都有_，那么就稱函數(shù)yf(x)在區(qū)間A上是減少的，有時也稱函數(shù)yf(x)在區(qū)間A上是_,增加的,遞增的,x1x2,f(x1)f(x2),遞減的,2函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 如果yf(x)在區(qū)間A上是增加的或減少的，那么稱A為_在單調(diào)區(qū)間上，如果函數(shù)是增加的，那么它的圖像是_；如果函數(shù)是_，那么它的圖像是下降的對于函數(shù)yf(x)的定義域內(nèi)的一個子集A，如果對于任意兩數(shù)x1，x2A，當(dāng)x1x2時，都有f(x1)f(x2)，就稱函數(shù)yf(x)在數(shù)集A上是_在函數(shù)yf(x)在定義域的一個子集A上，如果對于任意兩數(shù)x1，x2A，當(dāng)x1x2時，都有_，就稱函數(shù)yf(x)在數(shù)集A上是_,單調(diào)區(qū)間,上升的,減少的,增加的,f(x1)f(x2),減少的,3函數(shù)的單調(diào)性 如果函數(shù)_，那么就稱函數(shù)yf(x)在這個子集上具有單調(diào)性如果函數(shù)yf(x)在整個定義域內(nèi)是增加的或是減少的，我們分別稱這個函數(shù)為_或_，統(tǒng)稱為_,在定義域的某個子集上是增加的或是減少的,增函數(shù),減函數(shù),單調(diào)函數(shù),1.函數(shù)f(x)x2的遞增區(qū)間為( ) A(，0 B0，) C(，) D(1，) 答案 A 解析 由函數(shù)f(x)x2的圖像可知，它的遞增區(qū)間為(，0故選A.,3函數(shù)f(x)的圖像如圖所示，則( ) A函數(shù)f(x)在1,2上是增加的 B函數(shù)f(x)在1,2上是減少的 C函數(shù)f(x)在1,4上是減少的 D函數(shù)f(x)在2,4上是增加的 答案 A 解析 結(jié)合圖像可知函數(shù)f(x)在1,2上是“上升”的，故A正確,答案 (，0) 解析 由反比例函數(shù)的單調(diào)性知，b0，bf(2)，則x的取值范圍是_ 答案 (3，) 解析 f(x)是R上的增函數(shù)，且f(x1)f(2)，x12，x3.,已知四個函數(shù)的圖像如下圖所示，其中在定義域內(nèi)具有單調(diào)性的函數(shù)是( ) 思路分析 已知函數(shù)的圖像判斷其單調(diào)性應(yīng)從它的圖像是上升的還是下降的角度來考慮 規(guī)范解答 根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義結(jié)合函數(shù)圖像可知函數(shù)B在定義域內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù) 答案 B,函數(shù)單調(diào)性的判斷,下列命題正確的是( ) A定義在(a，b)上的函數(shù)f(x)，若存在x1，x2(a，b)，使得x1x2時有f(x1)f(x2)，那么f(x)在(a，b)上是增加的 B定義在(a，b)上的函數(shù)f(x)，若有無窮多對x1，x2(a，b)，使得x1x2時有f(x1)f(x2)，那么f(x)在(a，b)上是增加的 C若f(x)在區(qū)間I1上為增加的，在區(qū)間I2上也是增加的，那么f(x)在I1I2上也一定是增加的 D若f(x)在區(qū)間I上是增加的且f(x1)f(x2)(x1，x2I)，那么x1x2,答案 D,利用定義證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性,規(guī)律總結(jié) 證明函數(shù)在某個區(qū)間上的單調(diào)性的步驟： (1)取值：在給定區(qū)間上任取兩個值x1，x2，且x1x2； (2)作差變形：計算f(x1)f(x2)，通過因式分解、通分、配方、分母(分子)有理化等方法變形； (3)定號：判斷上式的符號，若不能確定，則分區(qū)間討論； (4)結(jié)論：根據(jù)差的符號，得出單調(diào)性的結(jié)論,求函數(shù)單調(diào)區(qū)間,思路分析 求給定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間通常采用以下方法：(1)利用已知函數(shù)的單調(diào)性；(2)圖像法；(3)定義法(利用單調(diào)性的定義探討),答案 A,(2)函數(shù)y3x26x12在區(qū)間_上為增函數(shù)，在區(qū)間_上為減函數(shù) 答案 1，) (，1 解析 y3x26x123(x1)215， 它的圖像開口向上，對稱軸為x1. 在1，)上為增函數(shù)，在(，1上為減函數(shù).,利用函數(shù)的單調(diào)性求最值,思路分析 (1)結(jié)合函數(shù)f(x)的圖像分析f(x)的單調(diào)性，從而確定其最大值； (2)利用函數(shù)增加、減少的定義判斷f(x)在2,6上的單調(diào)性，再求最值,規(guī)律總結(jié) 1.熟記運用函數(shù)單調(diào)性求最值的步驟： (1)判斷：先判斷函數(shù)的單調(diào)性 (2)求值：利用單調(diào)性代入自變量的值求得最值 2明確利用單調(diào)性求最大值、最小值易出錯的幾點： (1)寫出最值時要寫最高(低)點的縱坐標(biāo)，而不是橫坐標(biāo) (2)求最值忘記求定義域 (3)求最值，尤其是閉區(qū)間上的最值，不判斷單調(diào)性而直接將兩端點值代入,利用單調(diào)性求參數(shù)取值范圍,規(guī)律總結(jié) 利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的步驟：把自變量“裝在”定義域內(nèi)；找出x1，x2的關(guān)系，得出函數(shù)的單調(diào)性，從而得出函數(shù)值之間的關(guān)系(注意也可逆用)；最后再應(yīng)用分類討論、數(shù)形結(jié)合等思想解決問題,已知yf(x)在定義域(1,1)上是減少的，且f(1a)f(2a1)，求a的取值范圍 分析 不等式f(1a)f(2a1)為抽象不等式，不能直接求解考慮到函數(shù)的單調(diào)性，可將函數(shù)值的不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量取值的不等關(guān)系，即轉(zhuǎn)化為具體不等式來求解,若函數(shù)f(x)x22(a1)x4的單調(diào)遞減區(qū)間是(，4，則實數(shù)a的取值范圍是_ 錯解 函數(shù)f(x)的圖像的對稱軸為直線x1a，由于函數(shù)在區(qū)間(，4上單調(diào)遞減，因此1a4， 即a3. 辨析 錯解中把單調(diào)區(qū)間誤認(rèn)為是在區(qū)間上單調(diào),正解 因為函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(，4，且函數(shù)圖像的對稱軸為直線x1a，所以有1a4，即a3. 答案 a3 規(guī)律總結(jié) 單調(diào)區(qū)間是一個整體概念，比如說函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是I，指的是函數(shù)遞減的最大范圍為區(qū)間I.而函數(shù)在某一區(qū)間上單調(diào)，則指此區(qū)間是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子集所以我們在解決函數(shù)的單調(diào)性問題時，一定要仔細(xì)讀題，明確條件含義,