成才之路 · 數(shù)學(xué),路漫漫其修遠(yuǎn)兮 吾將上下而求索,北師大版 · 選修2-1,空間向量與立體幾何,第二章,2.4 用向量討論垂直與平行,第二章,1垂直問題 (1)直線與直線垂直：只要兩直線的_垂直，兩直線必垂直 (2)直線與平面垂直：直線的_若與平面的_平行，則直線與平面垂直；反之亦成立 (3)平面與平面垂直：平面與平面垂直的充要條件是：_,方向向量,方向向量,法向量,兩平面的法向量互相垂直,2平行問題 (1)直線與直線平行：只要兩條直線的_ (2)直線與平面平行：直線的_若與平面的_垂直(直線不在平面內(nèi))，則直線與平面平行 (3)平面與平面平行：當(dāng)兩平面的_(兩平面不重合)時(shí)兩平面平行,方向向量平行且這兩條直線不共線即可,方向向量,法向量,法向量平行,3三垂線定理 (1)三垂線定理：若平面內(nèi)的一條直線垂直于平面外的一條直線在該平面上的_，則這兩條直線垂直 (2)三垂線定理的逆定理：若平面內(nèi)的一條直線垂直于平面外的一條直線，則這條直線也垂直于直線在該平面內(nèi)的_,投影,投影,2確定平面的法向量 平面的法向量就是平面法線的方向向量，因此可以先確定平面的法線，再取它的方向向量也可以直接判定向量與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，而得到平面的法向量確定平面的法向量通常有兩種方法：(1)幾何體中已經(jīng)給出有向線段，只需證明線面垂直；(2)幾何體中沒有具體的直線，此時(shí)可以采用待定系數(shù)法求解平面的法向量,3對(duì)于空間中平行關(guān)系的向量表示的三點(diǎn)說明 (1)直線與直線平行：關(guān)鍵看直線的方向向量是否共線 (2)直線與平面平行：關(guān)鍵看直線的方向向量與平面的法向量是否垂直；或者看直線的方向向量與平面內(nèi)的兩條相交直線的方向向量是否共面 (3)平面與平面平行：關(guān)鍵看兩平面的法向量是否共線,4關(guān)于三垂線定理的理解 (1)三垂線定理敘述的是平面內(nèi)直線a與平面的斜線b，及斜線b在平面內(nèi)的投影c三者之間的垂直關(guān)系 (2)這里a與b可以相交，可以異面 (3)三垂線定理是判斷或證明空間中線線垂直的主要依據(jù)，三垂線定理跨越了線面垂直，直接由線線垂直到線線垂直，為解決線線垂直提供了一條捷徑,5直線的方向向量與平面法向量在確定直線、平面的平行關(guān)系中的應(yīng)用 (1)若兩直線l1，l2的方向向量分別是u1，u2，則l1l2u1u2. (2)若兩平面，的一個(gè)法向量分別是n1，n2，則n1n2. (3)若直線l的方向向量是u，平面的一個(gè)法向量是n，則lunu·n0.,6判定空間線、面垂直關(guān)系時(shí)，直線的方向向量與平面的法向量的確定方法 在實(shí)際解題過程中，需要確定直線的方向向量和平面的法向量，通常是先確定直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出直線的方向向量；平面的法向量則通常需要確定平面內(nèi)不共線的三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后確定平面內(nèi)兩條直線的方向向量，最后用待定系數(shù)法求出平面法向量,1設(shè)兩條直線所成角為(為銳角)，則直線的方向向量的夾角與( ) A相等 B互補(bǔ) C互余 D相等或互補(bǔ) 答案 D,4在空間直角坐標(biāo)系中，平面xOz的一個(gè)法向量是( ) A(1,0,0) B(0,1,0) C(0,0,1) D(0,1,1) 答案 B 5若直線l的方向向量為a(1,0,2)，平面的法向量為u(2,0，4)，則( ) Al Bl Cl Dl與斜交 答案 B 解析 u2a，au.u為平面的法向量，l.,如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M、N分別是C1C、B1C1的中點(diǎn)求證：MN平面A1BD,線面平行,如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AB5，AA14，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn) (1)求證：ACBC1； (2)求證：AC1平面CDB1.,如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H，M，N分別是正方體六個(gè)面的中心求證：平面EFG平面HMN.,面面平行,分析 用向量證明面面平行有兩個(gè)途徑：利用面面平行的判定定理，即證明一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量都平行于另一個(gè)平面；證明兩個(gè)平面的法向量平行,總結(jié)反思 證明面面平行的向量方法有兩種：第一種是分別求出兩平面的法向量，再證明兩法向量平行；第二種是證明一個(gè)平面有兩不共線向量平行于另一平面，轉(zhuǎn)化為線面平行的問題,在正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F、G分別為C1D1、B1C1、CC1的中點(diǎn) 求證：平面A1DB平面EFG. 證明 以D為原點(diǎn)，直線DA、DC、DD1分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,在正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別是BB1，D1B1的中點(diǎn) 求證：EF平面B1AC 分析 可以從純幾何的角度和向量運(yùn)算的角度進(jìn)行證明,線面垂直,解析 證法一：如圖，取A1B1的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，A1B，則FGA1D1，EGA1B,總結(jié)反思 用向量法證明線面垂直的方法與步驟 (1)基向量法 確定基向量作為空間的一個(gè)基底，用基向量表示有關(guān)直線的方向向量； 找出平面內(nèi)兩條相交直線的方向向量，并分別用基向量表示； 分別計(jì)算有關(guān)直線的方向向量與平面相交直線的方向向量的數(shù)量積，根據(jù)數(shù)量積為0，證得線線垂直，然后由線面垂直的判定定理得出結(jié)論,(2)坐標(biāo)法 方法一：建立空間直角坐標(biāo)系； 將直線的方向向量用坐標(biāo)表示； 找出平面內(nèi)兩條相交直線，并用坐標(biāo)表示它們的方向向量； 分別計(jì)算兩組向量的數(shù)量積，得到數(shù)量積為0. 方法二：建立空間直角坐標(biāo)系； 將直線的方向向量用坐標(biāo)表示； 求出平面的法向量； 判斷直線的方向向量與平面的法向量平行,在正三棱錐PABC中，三條側(cè)棱兩兩互相垂直，G是PAB的重心，E、F分別為BC、PB上的點(diǎn)，且BEECPFFB12. 求證：平面GEF平面PBC,面面垂直,證明 證法1：如圖，以三棱錐的頂點(diǎn)P為原點(diǎn)，以PA、PB、PC所在直線分別作為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,證明 FA平面ABCD，F(xiàn)AAD，F(xiàn)AAB，又ADAB，AF、AD、AB兩兩垂直如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)AB1，,如圖，在棱長(zhǎng)ABAD2，AA13的長(zhǎng)方體AC1中，點(diǎn)E是平面BCC1B1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)試確定點(diǎn)E的位置，使D1E平面AB1F.,探索性問題,在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCDA1B1C1D1的棱BC，DD1上是否分別存在點(diǎn)E，F(xiàn)，使得B1E平面ABF，若存在，請(qǐng)證明你的結(jié)論，并求出E，F(xiàn)滿足的條件；若不存在，說明理由 誤解 若在建系不恰當(dāng)，則會(huì)導(dǎo)致運(yùn)算煩瑣，甚至出錯(cuò)，致使結(jié)論錯(cuò)誤；若不知如何把線面的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量之間的關(guān)系，則本例無法繼續(xù)求解,正解 建立如圖空間直角坐標(biāo)系，,總結(jié)反思 1.準(zhǔn)確確定點(diǎn)的坐標(biāo) 認(rèn)真審題，分清題設(shè)條件，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，準(zhǔn)確寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)及合理設(shè)出待定點(diǎn)的坐標(biāo)，本例中E，F(xiàn)要在正方體的棱上，其坐標(biāo)必需滿足條件h，m0,1 2合理轉(zhuǎn)化已知條件 根據(jù)題設(shè)條件，將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系，準(zhǔn)確運(yùn)用向量運(yùn)算解答例如本例中處的轉(zhuǎn)化,