成才之路 · 數(shù)學(xué),路漫漫其修遠(yuǎn)兮 吾將上下而求索,北師大 版· 選修1-1,圓錐曲線與方程,第二章,§2 拋 物 線 2.2 拋物線的簡單性質(zhì),第二章,1.了解拋物線的范圍、對稱性、頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線等幾何性質(zhì) 2會(huì)利用拋物線的性質(zhì)解決一些簡單的拋物線問題.,拋物線y22px(p0)的簡單幾何性質(zhì) (1)對稱性：以y代y，方程y22px(p0)不變，因此這條拋物線是以_軸為對稱軸的軸對稱圖形 拋物線的對稱軸叫作拋物線的_，拋物線只有一條對稱軸 (2)頂點(diǎn)：拋物線和它的_的交點(diǎn)叫作拋物線的頂點(diǎn),拋物線的幾何性質(zhì),x,軸,軸,(3)離心率：拋物線上的點(diǎn)到_的距離和它到_的距離的比，叫作拋物線的離心率，拋物線的離心率為1. (4)通徑：過焦點(diǎn)垂直于軸的弦稱為拋物線的通徑，其長為_. (5)范圍：由y22px0，p0知x0，所以拋物線在y軸的_側(cè)；當(dāng)x的值增大時(shí)，|y|也_，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸，p值越大，它開口_.,焦點(diǎn),準(zhǔn)線,2p,右,增大,越開闊,1.將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，消元后得到一元二次方程，若0，則直線與拋物線_，若0，則直線與拋物線_，若0，則直線與拋物線_特別地，當(dāng)直線與拋物線的軸平行時(shí)，直線與拋物線有_個(gè)公共點(diǎn) 2在求解直線與拋物線的位置關(guān)系的問題時(shí)，要注意運(yùn)用函數(shù)與方程思想，將位置關(guān)系問題轉(zhuǎn)化為方程_的問題,直線與拋物線的位置關(guān)系及拋物線的焦點(diǎn)弦,相切,相交,沒有公共點(diǎn),一,根,1.焦半徑 拋物線上一點(diǎn)與焦點(diǎn)F連接的線段叫作焦半徑，設(shè)拋物線上任一點(diǎn)A(x0，y0)，則四種標(biāo)準(zhǔn)方程形式下的焦半徑公式為,2.焦點(diǎn)弦問題 如圖所示：AB是拋物線y22px(p0)過焦點(diǎn)F的一條弦，設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中點(diǎn)M(x0，y0)，拋物線的準(zhǔn)線為l.,答案 B,答案 A 解析 拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對稱軸， 拋物線的方程為標(biāo)準(zhǔn)形式 當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)， 拋物線過點(diǎn)(1,2)，,3過拋物線y28x的焦點(diǎn)，作傾斜角為45°的直線，則被拋物線截得的弦長為( ) A8 B16 C32 D61 答案 B 解析 由拋物線y28x的焦點(diǎn)為(2,0)，得直線的方程為yx2. 代入y28x，得(x2)28x，即x212x40. x1x212，弦長x1x2p12416.,4頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸是x軸，并且頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于6的拋物線方程是_ 答案 y224x或y224x,5過拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)F作傾斜角為45°的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若線段AB的長為8，則p_. 答案 2,若拋物線y22px(p0)上有一點(diǎn)M，其橫坐標(biāo)為9，它到焦點(diǎn)的距離為10，求拋物線方程和M點(diǎn)的坐標(biāo),拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,方法規(guī)律總結(jié) 求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程要明確四個(gè)步驟： (1)定位置(根據(jù)條件確定拋物線的焦點(diǎn)位置及開口)； (2)設(shè)方程(根據(jù)焦點(diǎn)和開口設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程)； (3)找關(guān)系(根據(jù)條件列出關(guān)于p的方程)； (4)得出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,已知拋物線的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，焦點(diǎn)在x軸上，其上一點(diǎn)P(3，m)到焦點(diǎn)F的距離為5，則拋物線方程為( ) Ay28x By28x Cy24x Dy24x 答案 B,拋物線的焦點(diǎn)弦問題,已知直線l經(jīng)過拋物線y26x的焦點(diǎn)F，且與拋物線相交于A、B兩點(diǎn) (1)若直線l的傾斜角為60°，求|AB|的值； (2)若|AB|9，求線段AB的中點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離,(1)斜率為2的直線經(jīng)過拋物線y24x的焦點(diǎn)，與拋物線相交于兩點(diǎn)A、B，則線段AB的長度為_ (2)過拋物線y28x的焦點(diǎn)作直線l，交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，則|AB|的長度為_ 答案 (1)5 (2)10,解析 (1)如圖，由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，焦點(diǎn)F(1,0)，準(zhǔn)線方程x1.,由題設(shè)，直線AB的方程為：y2x2. 代入拋物線方程y24x， 整理得：x23x10. 設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)，由拋物線定義可知，|AF|等于點(diǎn)A到準(zhǔn)線x1的距離|AA|， 即|AF|AA|x11，同理|BF|x21， |AB|AF|BF|x1x22325.,最值問題,設(shè)P是拋物線y24x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線焦點(diǎn) (1)求點(diǎn)P到點(diǎn)A(1,1)的距離與點(diǎn)P到直線x1的距離之和的最小值； (2)若B(3,2)，求|PB|PF|的最小值,方法規(guī)律總結(jié) 與拋物線有關(guān)的最值問題，一是涉及到焦點(diǎn)或準(zhǔn)線的距離，可利用拋物線的定義(即拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于該點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離)，構(gòu)造出“兩點(diǎn)間線段最短”或“點(diǎn)到直線的垂線段最短”使問題獲解；二是拋物線上的點(diǎn)到某曲線或直線的距離最小，常轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值求解,直線與拋物線的位置關(guān)系及定點(diǎn)定值問題,如圖，過拋物線y2x上一點(diǎn)A(4,2)作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線AB、AC交拋物線于B、C兩點(diǎn)，求證：直線BC的斜率是定值,(2015·福建文，19)已知點(diǎn)F為拋物線E：y22px(p0)的焦點(diǎn)，點(diǎn)A(2，m)在拋物線E上，且|AF|3. (1)求拋物線E的方程； (2)已知點(diǎn)G(1,0)，延長AF交拋物線E于點(diǎn)B，證明：以點(diǎn)F為圓心且與直線GA相切的圓，必與直線GB相切 答案 (1)y24x (2)略,考慮問題要全面,辨析 本題造成錯(cuò)解的原因有兩個(gè)：一是遺漏了直線不存在斜率的情況，只考慮了斜率存在的直線；二是方程組消元后的方程認(rèn)定為二次方程，事實(shí)上，當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為零的一次方程的解也符合題意,